- •Часть II
- •Введение
- •Методы сетевого планирования и управления
- •1.1.Сетевая модель и ее основные элементы
- •1.2. Параметры сетевой модели с учетом временных характеристик
- •1.3. Методы расчета параметров сетевой модели
- •Вероятностные модели систем
- •2.1. Ориентированный граф состояния системы. Марковские процессы.
- •2.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний
- •2.3. Системы массового обслуживания (смо)
- •2.3.1. Общая характеристика смо
- •2.3.2. Математическая модель однофазной смо и показатели ее эффективности.
- •2.3.3. Смо с конечной очередью
- •2.3.4. Смо с отказами
- •2.3.5. Чистая смо с ожиданием.
- •2.3.6. Смешанные системы массового обслуживания
- •2.3.7. Особенности применения моделей массового обслуживания
- •Управление запасами
- •3.1. Системы управления запасами
- •3.2.Управление запасами при детерминированном стационарном спросе
- •3.2.1. Мгновенная поставка, возникновение дефицита не допускается.
- •3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита допускается.
- •3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью
- •3.3. Однокаскадные суз при вероятностном дискретном спросе
- •Методы принятия технических решений
- •4.1. Основная формальная структура принятия решений
- •4.1.1. Матрица решений
- •4.1.2.Оценочная функция
- •4.1.3.Особые случаи
- •4.2. Классические критерии принятия решений
- •4.2.1.Минимаксный критерий
- •4.2.2.Критерий Байеса —Лапласа
- •4.2.3.Критерий Сэвиджа
- •4.2.4.Расширенный минимаксный критерий
- •4.2.5.Применение классических критериев
- •4.3. Производные критерии
- •4.3.1.Критерий Гурвица
- •4.3.2.Критерий Ходжа-Лемана
- •4.3.3.Критерий Гермейера
- •4.3.4.Bl(mm)-критерий
- •4.3.5.Критерий произведений
- •4.3.6.Принятие решений согласно производным критериям
- •Литература
- •Часть II
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
2.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний
Введем обозначения:
Pk(t) – вероятность того, что система в момент времениt находится в состоянииSk(k=0, 1, 2, …,N);
Pik(t) – условная вероятность того, что система, будучи в моментtв состоянииSi, за время перейдет в состояниеSk(ki).
Так как Pik(t) – вероятность появления хотя бы одного события за времяt, то
,
где ik– интенсивность потока событий, под воздействием которого система переходит из состоянияSiв состояниеSk.
Разлагая показательную функцию в ряд Тейлора, имеем:
. (2.5)
Пусть в момент времени tсистема находится в одном из возможных состояний. Определим вероятностьPk(t+) того, что в момент t+tона будет находиться в состоянииSk(k=0,1,…,N).
Предположим, что за время tсистема может только один раз изменить свое состояние. Это означает, что система может попасть в состояниеSkдвумя способами.
В момент tсистема находилась в одном из состоянийSi(ik), которое соединено дугой (i,k) с состояниемSk , а за времяtперешла в состояниеSk . Вероятность этого события, где– множество дуг, заходящих в вершинуSk . Например, для состоянияS1(рис. 2.1),P1=P0(t)P01(t)+P2(t)P21(t) .
В момент tсистема находилась в состоянииSkи за времяtне вышла из него ни по одной из дуг, исходящих из вершиныSk.. Вероятность этого события, где– множество дуг, исходящих из вершины Sk. Для состоянияS1(рис. 2.1),P2=P1(t)[1–P10(t)–P12(t)] , где [P10(t)+P12(t)] – вероятность того, что система, будучи в моментtв состоянииS1, за времяtперейдет из него в состояниеS0илиS2.
Так как оба способа несовместны, то
(2.6)
Перенесем Pk(t) в левую часть и разделим все члены уравнения (2.6) наt, получим
.
В результате предельного перехода при t0 с учетом выражения (2.5) получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова
(2.7)
Уравнение (2.7) в отличие от уравнения (2.6) является точным, так как члены, соответствующие двум и более переходам системы за время tи опущенные в выражении (2.6), в результате предельного перехода обращаются в нуль. Действительно, пусть за времяtсистема может перейти из состоянияSiв состояние Skчерез состояниеSj. Условная вероятность этого события с учетом формулы (2.5)
При записи правой части уравнения (2.7) целесообразно руководствоваться мнемоническим правилом : «то, что втекает, прибавляется, а что вытекает – вычитается».
Для рассматриваемого примера (рис 2.1) уравнения Колмогорова имеют вид (читателю рекомендуется записать их самостоятельно)
Интегрируя систему линейных дифференциальных уравнений (2.7) с учетом условия нормировки (2.1) при заданных начальных условиях (например, Pk(0)=1, а для всехi k Pi(0)=0 – в начальный момент система находится в состоянииSk), можно определить распределение для вероятностей состояний системы в любой момент времени.
На практике часто наибольший интерес представляет поведение системы в установившемся режиме при t. Здесь сразу же возникает вопрос, как поведут себя вероятностиPk(t) приt, стремятся ли они к каким либо пределам, существует ли в системе некоторый установившийся (стационарный) режим.
Предельные вероятности существуют и не зависят от начального состояния системы, если граф ее состояний конечен и существует маршрут между любой парой его вершин, то есть система может перейти из каждого состояния в любое другое за конечное число шагов. Такие системы называют эргодическими.
Предельная вероятность Pk– это средняя доля времени, в течение которого система находится в состоянииSk. Если, например,Pk=0,3, то это означает, что в состоянииSkсистема времени ее функционирования.
Для вычисления предельных вероятностей в уравнениях (2.7) производные приравнивают нулю и получают систему линейных алгебраических уравнений
(2.8)
Так как система (2.8) однородна, то при вычислении вероятностей Pkодно из уравнений (2.8) заменяют нормировочным условием
.
При аналитическом исследовании удобно использовать следующий способ решения системы (2.8): сначала все предельные вероятности выражают через какую-либо одну, а затем их подставляют в условие нормировки.