- •Математика и информатика Учебное пособие
- •Содержание:
- •§1. Математические предложения и доказательства.
- •§2. Элементы теории множеств.
- •П.2 Подмножество. Основные числовые множества.
- •П.3 Операции над множествами.
- •П.4 Диаграммы Эйлера-Венна.
- •§ 3. Декартово произведение множеств. Соответствия. Бинарные отношения и их свойства. Отображения.
- •§ 4. Элементы комбинаторики. Соединения без повторений и с повторениями. Правила суммы и произведения.
- •П.1 Соединения без повторений
- •П.2 Соединения с повторениями
- •П.3. Правила суммы и произведения
- •§ 5. Элементы теории вероятностей. П.1 Классическое и статистическое определения вероятности.
- •П.2 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •П.3 Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •П.4 Формула полной вероятности. Формула Байесса. Формула Бернулли.
- •Вопрос 2.Шкалы измерения
- •Методы первичной статистической обработки результатов эксперимента
- •Выборочное среднее
- •Дисперсия
- •§ 9. Информация и информационные процессы п.1. Понятие об информации. Носители информации. Количественная мера информации. Кодирование информации
- •П.2. Понятие о системах счисления. Системы счисления, применяемые в цифровых эвм
- •Системы счисления, применяемые в цифровых эвм
- •П.3. Перевод чисел из одной с.С. В другую
- •П.4. Арифметика двоичных чисел
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§11 Алгоритм и его свойства. Методика составления алгоритмов. П.1. Понятие алгоритма. Свойства алгоритмов. Способы задания алгоритмов.
- •П.2.Типы алгоритмов.
- •Следование
- •Цикл – до(Рис. 58)
- •Цикл с параметром(Рис. 59)
- •П.3 Базовые алгоритмические структуры
- •П.4.Основные этапы решения задач на эвм.
§2. Элементы теории множеств.
п.1 Понятие множества.
Основу теории математики-науки составляют понятия (одни из которых определяются, а другие не определяются, а лишь поясняются на конкретных примерах) и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений. Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.
Опр.2.1.1Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятиемножества.Множество можно представить себе каксоединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку (множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.).
Опр.2.1.2 Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества букв русского алфавита).
«…Самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных предметов в одно целое, именно в множество М, элементами которого (после акта объединения) будут данные предметы» [Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М. Учпедгиз, 1948].
Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).
Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:
А; {а, b, c}; {,,,}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.
Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа (в противном случае используется символ ).
Запись аА означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: {,,}.
Запись 4{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.
Основными способами задания множества являются:
перечисление всех его элементов: А={а1, а2, а3, …, аn};
описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: М={хN х2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.
Опр.2.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.
Опр.2.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .
Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов в некотором множестве А через m(А). Например, если А={а, b, c}, то m(А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m(N) = ∞.