П.2. Понятие о системах счисления. Системы счисления, применяемые в цифровых эвм

Под системой счисления понимается способ записи чисел с помощью определенного набора знаков (цифр). Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Например, Арабская система счисления является позиционной, а Римская система счисления - непозиционной.

В позиционной система счисления значение каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число. Например, в числе 777 первая слева семерка означает количество сотен, содержащихся в числе, вторая - количество десятков, третья - количество единиц.

В Римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. Пример, число ХХХ. Здесь цифра Х в любом месте означает число десять (а вся запись - число 10+10+10+30).

Непозиционные системы счисления неудобны для вычислений, поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления.

Пусть p - некоторое целое число, большее 1, которое будем называть основанием системы счисления. Принимая за основание системы счисления различные числа (десять, восемь, пять, два и др.), получим соответственно десятичную, восьмеричную, пятиричную, двоичную и другие системы счисления. Количество различных цифр, применяемых в позиционной система счисления, равно основанию p. Например, в десятичной системе счисления используются десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; в пятиричной - пять цифр:0,1,2,3,4 и т.д.

Любое число в позиционной системе счисления записывается в виде последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. С помощью этих цифр числа записываются в сокращенной форме. Например, запись 6207,3 представляет собой следующую сумму:

6207,3=610³+210²+010¹+710⁰+310^-1.

Слева от знака равенства число записано в сокращенной записи, а справа - в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами (полная запись числа). Как видим, в сокращенной записи число изображается с помощью коэффициентов, стоящих перед степенями основания системы счисления.

Чтобы получить сокращенную запись числа в любой системе счисления, его надо представить в виде суммы степеней основания системы счисления с соответствующими коэффициентами:

N_p=K _npⁿ+ K _n-1p^n-1+...+ K _ipⁱ+...+ K ₁p¹+ K ₀p⁰+ K _-1p^-1+... (1)

Здесь: N_p - число в p-ичной системе счисления; p - основание системы; i - номер разряда; K _i - коэффициент, стоящий в i-ом разряде.

Сокращенная запись числа N_p будет иметь вид:

N_p= K _nK _n-1...K _i...K ₁K _0,K _-1... (2)

Двоичная система счисления. Двоичная система счисления имеет только две цифры: 0 и 1. Это минимальное количество цифр, которое может быть принято в системе счисления. Основание системы два записывается как 10₂.

В соответствии с выражением (1) число N₂ представляет собой сумму:

N₂=K _n2ⁿ+ K _n-12^n-1+...+ K _i2ⁱ+...+ K ₁2¹+ K ₀2⁰+ K _-12^-1+...

Здесь коэффициенты K _i (i=n, n-1, ...) могут принимать только два значения: 0 и1. Запишем теперь в двоичной системе счисления число 85:

85=12⁶+02⁵+12⁴+02³+ 12²+ 02¹+12⁰, или 85 = 1010101₂.

Восьмеричная система счисления. Цифры - 0,1,2,3,4,5,6,7. Число восемь (основание системы) записывается двумя цифрами как 10, т.е. 8=10₈.

Запишем в восьмеричной системе число восемьдесят пять (85). В соответствии с выражением (1) разложим число 85 по степеням основания:

85=18²+28¹+58⁰

Коэффициенты перед степенями восьмерок дадут сокращенную запись числа: 85=125₈ (индекс снизу указывает основание системы счисления; для десятичной системы счисления индекс можно не указывать).

Шестнадцатиричная система счисления. Для написания шестнадцатиричных чисел требуется 16 различных цифр. Десять первых из них совпадают с соответствующими цифрами десятичной системы: 0,1,...,9. Для обозначения шести следующих цифр, отвечающих значениям десятичных чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 используются буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F соответственно.

Число шестнадцать (основание системы) записывается как 10₁₆.

Запишем в шестнадцатиричной системе число 85.

85=516¹+516⁰=55₁₆.

Сделаем еще два примера:

500 = 116²+1516¹+416⁰=1F4₁₆.

971 = 316²+1216¹+1116⁰=3CB₁₆.

Аналогичным образом будут записываться числа в системах счисления с другими основаниями. Справа даётся таблица (табл.3.1.), в которой для сравнения приводятся записи чисел от нуля до двадцати в различных системах счисления - p=10, 2, 3, 5, 8, 16.

Системы счисления
Десятичная	двоичная	Троичная	Пятиричная	Восьмеричная	Шестнадцатиричная
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	4	4	4
5	101	12	10	5	5
6	110	20	11	6	6
7	111	21	12	7	7
8	1000	22	13	10	8
9	1001	100	14	11	9
10	1010	101	20	12	A
11	1011	102	21	13	B
12	1100	110	22	14	C
13	1101	111	23	15	D
14	1110	112	24	16	E
15	1111	120	30	17	F
16	10000	121	31	20	10
17	10001	122	32	21	11
18	10010	200	33	22	12
19	10011	201	34	23	13
20	10100	202	40	24	14