000000315551
.pdf
Рис.8.1.5. Разложение скорости в полярных координатах
Тогда уравнение (5) можно записать в виде:
|
d |
2 |
d |
|
|
dr |
|
eB |
|
d (r2 ) |
. |
|||||
|
|
mr |
|
|
eBr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
2 |
|
|
|
dt |
|
|||
Интегрируя его, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
mr2d /dt=Ber2/2+C. |
|
(6) |
||||||||||
Константу С определяем из начальных условий: при t=0 |
||||||||||||||||
|
|
r=rk; |
|
|
|
|
d /dt(0)=0, |
|
||||||||
где rк — радиус катода. Следовательно, уравнение (6) принимает вид: |
||||||||||||||||
|
|
mr2d /dt=eB(r2-rk2)/2. |
|
|
||||||||||||
А так как величина rd /dt |
— это угловая компонента скорости v (см. |
|||||||||||||||
рис.8.1.5), то из последнего уравнения получаем: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
r2 r2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
. |
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
v B |
|
2r |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В наивысшей точке критической траектории электрон имеет только угловую компоненту скорости v (см. рис.8.1.2), так как в этой точке он движется перпендикулярно радиусу. Тогда по закону сохранения энергии:
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
eU , |
(8) |
2 |
|
r ra |
|||
где U — напряжение между анодом и катодом, eU — потенциальная энергия электрона у поверхности анода относительно катода. Из (7) и (8) получаем выражение для критического поля:
|
2ra |
|
|
|
|
|
Bк р |
|
2m |
U . |
(9) |
||
ra2 rk2 |
|
e |
||||
|
|
|
|
|
||
Заметим, что при узком зазоре между анодом и катодом, т.е. при ra rk=d rk, формула (9) переходит в (4). Обычно в реальных диодах: ra rk, что мы и будем принимать в дальнейшем. Тогда формула (9) вырождается в такую:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
1 |
|
8m |
U . |
(10) |
|
к р |
|
|
||||||
|
|
ra |
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Отсюда получаем для искомого удельного заряда электрона:
e |
8U |
. |
(11) |
|
|
|
|
||
m |
B 2 r2 |
|
|
|
|
|
к р a |
|
|
8.1.3. Причины уменьшения точности метода
При выводе формулы (11) предполагалось следующее:
1)начальные скорости вылетающих из катода электронов — нулевые;
2)анод и катод являются точно цилиндрическими и коаксиальными;
3)катод является эквипотенциальной поверхностью, т.е. разности потенциалов между любой точкой катода и анодом одинаковы;
4)поле В однородно и направлено точно вдоль оси диода.
Реально же ни одно из этих условий не выполнено. Причины этого следующие.
1. Электроны вылетают из катода с различными начальными скоростями, подчиняющимися распределению Максвелла. Средняя кинетическая энергия электронов, эмитированных катодом:
mv2/2~kT,
где к=1.38 10-23 Дж/К — константа Больцмана, a Т — температура катода. Такую же энергию электроны приобретают, разгоняясь разностью потен-
циалов , удовлетворяющей условию: e=mv2/2.
Сравнивая последние два соотношения, получаем для “неопределенности” напряжения U между анодом и катодом:
~ ke T T 3000K
0,3B .
Хотя эта величина и не слишком велика по сравнению с рабочими напряжениями в диоде (порядка десятков вольт), но, в соответствии с распределением Максвелла, много электронов имеют и гораздо более высокие выходные скорости. В связи с этим, накал катода в настоящей работе задается по возможности более слабым.
2. Анод и катод в промышленных диодах не являются точно ни цилиндрическими, ни коаксиальными, так как эти лампы не предназначены специально для данного опыта. Это приводит к тому, что электроны достигают разных участков анода при разных полях В, т.е. величина Bкр оказывается размытой, а значит спад анодного тока на рис.8.1.3 будет не резким, а пологим.
|
3. В вакуумном диоде ЗЦ18П, используемом в |
|
|
настоящей работе (или возможен вариант 1Ц11П), ка- |
|
|
тодом является вольфрамовая нить, которая непосред- |
|
|
ственно нагревается пропускаемым через нее током |
|
|
(катод прямого накала). А поскольку нить непосредст- |
|
|
венно присоединена к источнику накального напряже- |
|
Рис.8.1.6. Напря- |
ния Uнак~2 В (см. рис.8.1.6), то потенциалы разных ее |
|
точек относительно анода различны, и максимальное |
||
жения в диоде |
прямого накала отличие между началом и концом спирали как раз и равно напряжению накала в 2 В. Это также приводит к размыванию спада графика Ia(В), показанного на рис.8.1.3, и, следова-
тельно, к понижению точности определения величин Вкр и е/m.
Рис.8.1.7. Искажение магнитного поля ферромагнитным цилиндром
4. Диод в эксперименте можно достаточно точно ориентировать вдоль оси соленоида, но это еще не значит, что магнитное поле внутри диода будет осевым. Дело здесь в том, что у промышленных вакуумных диодов анод и выводы лампы сделаны из железа, которое, являясь ферромагнетиком, сильно искажает магнитное поле вблизи себя. У поля В появляется радиальная компонента (см. рис.8.1.7), да и сама величина его изменяется, причем в разных местах диода по разному. В результате этого, процессы в диоде уже не описываются формулой (11).
Все эти причины и ухудшают точность определения е/m методом магнетрона, причем последняя оказывается особенно удручающей. Однако, по крайней мере порядок величины е/m этим методом на промышленном диоде ЗЦ18П или 1Ц11П оценить все-таки можно.
8.1.4. Схема установки
Схема экспериментальной установки для определения удельного заряда электрона е/m показана на рис.8.1.8. Диод с цилиндрическим анодом и вольфрамовой нитью накала, протянутой по его оси, смонтирован на специальном держателе с четырьмя выходными проводами: анод-катод (а-к) и парой накальных (н-н). Держатель позволяет вводить диод в середину катушки K (соленоида), создающей осевое магнитное поле В, и фиксировать его там. Напряжение накала (около 2 В) вырабатывается источником Uн и регулировке не подлежит. Источник анодного напряжения Uа — регулируемый от 0 до 50 В. Вольтметр и миллиамперметр могут быть встроенными в источник Uа, либо отдельными. Регулируемый источник Uк питает катушку, ток через которую измеряется
амперметром, например, тестером. Магнитное поле в центре катушки, там где устанавливается диод, вычисляется по формуле соленоида, к которому пересчитаны витки катушки по специальным измерениям магнитного поля в ней.
8.1.5. Программа работы
8.1.5.l. Измерения
1.Собрать установку в соответствии с рис.8.1.8. Ввести диод в центр катушки.
2.Включить источники Uа и Uk, предварительно выведя до минимума (до нуля) их выходные напряжения.
3.Установив анодное напряжение Ua=20 В, снять зависимость анодного тока от тока катушки: Ia(Ik). Ток Ia достаточно варьировать от 0 до 600-700 мА, когда падающий участок анодного тока вполне обозначится. Значения Ia можно фиксировать через 50-100 мА тока катушки, но
вобласти начала падения Ia, обведенной на рис.8.1.9 пунктиром, этот интервал надо уменьшить до 25-50 мА тока катушки Ik.
4.Выполнить задание п.3 для анодных напряжений Ua=30, 40 и
50 В.
5.Установить нулевые напряжения источников и выключить их.
6.Записать данные катушки, указанные на ее этикетке. Радиус анода принять равным 4 мм.
8.1.5.2.Обработка результатов
1.Для четырех анодных напряжении — 20, 30, 40 и 50 В — по-
строить графики Ia(Ik). Все графики строятся на одном листе миллиметровой бумаги достаточно большого размера.
2.Для каждого анодного напряжения по графикам определить критический ток катушки, а затем по формуле соленоида вычислить и со-
ответствующие критические магнитные поля Вкр. Поскольку граница спада графика Ia(Ik) сильно размыта, то в качестве “критической точки” рекомендуется выбирать точку максимальной кривизны: на рис.9 она обозначена буквой М.
3.По четырем полученным значениям Bкр построить отдельный график зависимости В2кр(U). В соответствии с формулой (10), это должна быть прямая, проходящая через начало координат, однако реально полученные четыре точки скорее всего не лягут на такую прямую. В этом случае через них следует провести некоторую оптимальную аппроксимирующую прямую. Такая прямая проводится по методу наименьших квадратов (МНК), который описан в приложении 1. Критерием оптимальности в этом методе является минимум суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от аппроксимирующей прямой.
Найти по МНК (см. прил.1) коэффициент наклона проходящей через начало координат аппроксимирующей прямой и провести ее на графике, где отложены экспериментальные точки.
4.По коэффициенту наклона полученной прямой и формуле (11) определить удельный заряд электрона е/m. Сопоставить его со справочным значением.
5.По аппроксимирующей прямой и четырем экспериментальным точкам вычислить среднюю относительную погрешность определения величины В в процентах. Примерно такая же погрешность будет и у величины е/m.
Рис.8.1.9. К выбору значения критического поля Bкр
Вычисленная таким образом погрешность будет чисто условной и существенно заниженной, так как при этом совершенно не учитываются ухудшающие факторы, перечисленные в разделе 8.1.3.
8.1.6.Контрольные вопросы и задания
1.Что такое критическое магнитное поле в методе магнетрона?
2.Записать в декартовых координатах уравнения движения электрона в скрещенных однородных полях В и Е и решить их с нулевыми начальными условиями.
3.Вывести формулу (11).
4.Какова траектория движения электрона, влетающего в однородное магнитное поле под углом к вектору В?
5.Какова траектория движения электрона, влетающего в однородное электрическое поле под углом к вектору Е ?
6.Перечислить причины уменьшения точности метода магнетрона.
7.Какие ещё существуют методы определения удельного заряда электрона?
8.1.7.Литература
1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: “Наука”, 1985. §§ 178, 179, 181184.
2.Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т.3: “Электричество”. М.: “Наука”,
1977. §§ 86, 89.
8.2. Изучение свойств ферромагнетиков7 (Лабораторная работа №16)
Цель работы: изучение явления ферромагнетизма; знакомство с основными методами получения характеристик ферромагнетиков: кривой намагничивания и петли гистерезиса, определение по петле гистерезиса коэрцитивной силы, остаточной индукции и потерь энергии при перемагничивании образца.
8.2.1.Введение
8.2.1.1.Намагничивание вещества
Если в магнитное поле внести образец какого-либо вещества, то он будет определенным образом взаимодействовать с этим полем: ориентироваться, втягиваться в область более сильного поля или выталкиваться из нее. Кроме того, магнитное поле изменится как вне образца, так и внутри него. Это связано с тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент — намагничиваться. Причина намагничивания вещества заключается в следующем.
Молекулы многих веществ обладают собственными магнитными моментами, включающими в себя орбитальные и спиновые магнитные моменты электронов. Такие вещества называются парамагнетиками. Каждому молекулярному магнитному моменту можно поставить в соответствие элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле. Такие элементарные токи называются молекулярными токами. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспорядочно, и суммарный магнитный момент вещества равен нулю. Если же образец вещества поместить во внешнее поле, то под его воздействием молекулярные магнитные моменты приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении — вдоль внешнего поля, и суммарный магнитный момент образца становится отличным от нуля — вещество намагничивается.
В некоторых веществах молекулы не имеют собственного магнитного момента в отсутствие внешнего поля, так как векторная сумма всех орбитальных и спиновых магнитных моментов их электронов оказывает-
7 Экспериментальная часть выполняется за два занятия:
занятие 1 - выполняется раздел 8.2.3; занятие 2 - выполняется раздел 8.2.4.
ся нулевой. Такие вещества называются диамагнетиками. Внесение таких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные токи в молекулах; у молекул появляются магнитные моменты, ориентирующиеся преимущественно в одном направлении, в данном случае — против внешнего поля. Следовательно образец такого вещества также приобретает магнитный момент, т.е. намагничивается.
Степень намагничивания вещества характеризуется намагниченностью М. Она определяется как полный магнитный момент единицы объема вещества, под которым понимается векторная сумма всех молекулярных магнитных моментов pm. Если среднее число молекул в единице объема равно n ( средняя плотность молекул), а их средний магнитный момент равен <pm>, то по определению:
|
|
1 |
|
|
M n pm |
|
pm |
||
V |
||||
|
|
|
||
8.2.1.2. Магнитное поле в веществе и вектор Н
Упорядочение молекулярных токов при внесении вещества во внешнее магнитное поле B0 порождает дополнительное поле В', которое, складываясь с B0 и дает результирующее магнитное поле В в веществе и окружающем его пространстве:
|
|
|
э |
(1) |
B B0 |
B |
|
||
Но, поскольку истинное магнитное поле в каждой точке вещества (микрополе), строго определяемое по формуле Лоренца F=q[v B], резко непостоянно в пределах межъядерных расстояний как в пространстве, так и во времени, то под величинами В' и В в формуле (1) понимается поле, усредненное по некоторому объему V вещества (макрополе). Этот объем должен быть достаточно мал, с тем чтобы имело смысл говорить о локальном значении поля В данном месте вещества, и в то же время он должен содержать достаточно много молекул, чтобы среднее поле было гладкой функцией пространственных координат.
Поскольку магнитное поле в веществе В, определяемое формулой (1), создается как внешними источниками — токами проводимости, текущими по проводам, так и внутренними — эквивалентными молекулярными токами, то уравнение Максвелла для циркуляции вектора В в этом случае будет иметь вид:
|
|
0 |
|
|
|
|
Bdl |
( j |
j |
)dS , |
(2) |
||
L |
|
S |
|
|
|
|
где j и j - плотность токов проводимости и молекулярных токов, "нанизанных" на заданный контур L обхода, а S — произвольная поверхность, натянутая на L и ориентированная по отношению к обходу контура пра-
вилом правого винта. Можно показать, что с молекулярными токами j связана циркуляция вектора намагниченности:
|
|
|
|
|
|
|
Mdl |
j |
dS . |
(3) |
|
L |
|
S |
|
|
|
Выбирая циркуляции в уравнениях (2) и (3) по одному и тому же контуру, получим:
|
|
|
|
( B / 0 |
M )dl |
jdS . |
|
L S
Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначим вектором |
||||
т.е. : |
|
|
|
|
|
M , |
|||
H B |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
тогда: |
|
|
|
|
|
|
|||
Hdl |
jdS . |
|||
L |
|
|
S |
|
Н,
(4)
(5)
Формула (5) выражает теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора H по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.
Вектор H, выражаемый в (4) комбинацией двух различных величин — это вспомогательный вектор, не являющийся самостоятельной характеристикой поля или состояния вещества. Однако его использование часто оказывается удобным в связи со свойством (5), особенно в области ферромагнетизма, где для всех материалов известны зависимости В(Н). Поле H в свою очередь в большинстве случаев удается выразить по формуле (5) через ток проводимости, текущий по виткам намагничивающей обмотки8. Таким образом, для определения магнитного поля B в веществе, а также намагниченности вещества, может оказаться достаточным измерить амперметром ток намагничивающей обмотки.
8.2.1.3. Связь между векторами М, В и Н у диа- и парамагнетиков
Из теории диа- и парамагнетизма следует, |
что намагниченность М ве- |
||
ществ линейно и однозначно связана с магнитным полем B в данной точ- |
|||
ке вещества. Следовательно (учитывая, что M, согласно (4), имеет раз- |
|||
мерность B/ 0), можно записать: |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
M |
B |
. |
(6) |
|
0 |
|
|
8 В общем случае формула (5) определяет лишь интегральное свойство вектора H — его циркуляцию. Само же поле этого вектора циркуляция не определяет.
Безразмерный коэффициент пропорциональности называется магнитной восприимчивостью вещества. У парамагнетиков M B, следовательно для них >0. У диамагнетиков M H, и для них < 09.
Намагниченность М принято связывать однако не с В, а с вектором Н. Искомую связь можно получить, подставив В из (6) в (4):
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
H . |
(7) |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
||||
Однако, как показывают теория и эксперимент, диа- и парамагнетики являются очень слабомагнитными веществами, так как у них <<1 (более точно: 10-3). Поэтому вместо соотношений (6) или (7) принято записывать:
|
|
|
M H |
(8) |
|
При подстановке величины М из (8) в (4) получим связь между векторами
В и Н:
|
|
|
B (1 |
) 0 H 0 H |
|
Ввеличина =1+ называется магнитной проницаемостью вещества. Итак, общими характерными особенностями диа- и парамагне-
тиков являются следующие:
а) слабое намагничивание во внешнем поле, т.е. <<1 и 1, а следовательно, согласно (4), небольшое отличие магнитного поля в них B= 0H от внешнего невозмущенного B0= 0H;
б) линейная и однозначная зависимость М(Н) и В(Н); в) полное исчезновение намагниченности при снятии внешнего
магнитного поля.
8.2.2.Основные характеристики ферромагнетиков
8.2.2.1.Кривая намагничивания
Ферромагнетиками называются материалы, способные иметь спонтанную намагниченность, т.е. намагниченность в отсутствие внешнего магнитного поля. К ним относятся железо, кобальт, никель, их различные сплавы друг с другом, а также с марганцем, хромом, алюминием и т.д. В отличие от пара- и диамагнетиков, ферромагнетики являются сильномагнитными веществами. Кроме того, зависимость М(Н) у них существенно нелинейна и неоднозначна. Кривая, изображающая зависимость М(Н), называется кривой намагничивания ферромагнетика.
9 Магнетики подразумеваются изотропными. Для анизотропных диа- и парамагнетиков — тензор.
У ферромагнетиков с изотропной структурой (чистое железо, горячекатанная сталь и др.) векторы М, В и Н практически коллинеарны при любом направлении В. К резко анизотропным ферромагнетикам относится холоднокатанная сталь, широко применяемая в электротехнике. Для такой стали М, В и Н параллельны лишь при намагничивании по двум направлениям — направлению прокатки и перпендикулярному к нему. В дальнейшем для определенности будем говорить только об этих случаях, т.е. предполагать, что М, В и Н коллинеарны и направлены по некоторой прямой х (однонаправленное намагничивание), а под кривыми
намагничивания понимать зависимости между величинами В=Вx, М=Мx и
Н=Нx.10
Зависимость М(Н) у ферромагнетиков не имеет точного аналитического выражения и определяется экспериментальным путем. Вид кривой намагничивания зависит от начального значения намагниченности образца. Кривая, полученная при исходном размагниченном состоянии, называется пер-
Рис.8.2.1. Общий вид кри- вичной кривой намагничивания. Эта кривая вой намагничивания является наиболее определенной характеристикой ферромагнитного материала (хотя и в этом случае остается некоторая неопределенность, связанная с условиями
размагничивания), поэтому далее под термином "кривая намагничивания" будем иметь в виду именно первичную кривую.
Общий вид кривой намагничивания показан на рис.8.2.1. Уже при сравнительно небольших полях Н — обычно порядка 102-103 А/м намагниченность ферромагнетиков достигает насыщения (Мs) и далее практически не растет при увеличении поля Н.
Кривые намагничивания ферромагнетиков удобно представлять, однако, не в координатах (Н,М), а в координатах (Н, В), где В — результирующее магнитное поле в ферромагнитном материале, создаваемое как внешними источниками — обычно токами проводимости, так и внутренними, связанными с упорядочением у электронов ферромагнетика орбитального и спинового магнитных моментов. Это результирующее магнитное поле в электротехнике принято называть магнитной индукцией. Так как В= 0M+ 0H, то кривая намагничивания в координатах (Н,В) после достижения насыщения намагниченности продолжает расти по линейному закону:
10 Более сложным является пространственное перемагничивание, когда вектора B и M изменяются по модулю и направлению