6. Теория вероятностей

6.1 События. Операции над событиями

1. Событие, которое в результате данного испытания может произойти, а может и не произойти, называется случайнымсобытием. Обозначаются события:A, B, ….

2. Событие называется достовернымв данном испытании, если оно в этом испытании непременно произойдет. ОбозначаетсяU.

3. Событие называется невозможнымв данном испытании, если оно в этом испытании заведомо не произойдет. ОбозначаетсяV.

4. Два (или несколько) событий называются несовместимыми(илинесовместными), если появление одного из них исключает возможность появления другого (других) в одном и том же испытании.

5. События называются единственно возможными, если в данном испытании одно из них непременно произойдет.

6. События называются равно возможнымив данном испытании, если условия их появления одинаковые и нет оснований утверждать, что какое-нибудь имеет больше шансов появиться, чем другое в одном и том же испытании.

7. Суммойдвух событийАиВназывается событиеС=А+В, состоящее в появлении илиА, илиВ, или обоих вместе.

8. Суммойсобытийназывается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий, т. е. или, или, …, или, или какой-то их части, или всех вместе.

9. Суммойдвух несовместных событийАиВназывается событие, состоящее в появлении илиА, илиВ.

10. Произведениемили общей частью событийАиВназывается событие, состоящее в появлении иА, иВодновременно.

6.2 Вероятность события

ВероятностьюсобытияАназывается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всевозможных элементарных исходов испытания, т. е., гдеm– число элементарных исходов, при которых наступает событиеА(благоприятствующие исходы),n– число всех возможных исходов данного испытания. Это классическое определение вероятности события.

1) Пусть U– достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлениюU, т. е.m=n, тогда

P(U)=1.

2) V– невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е.m=0, тогда

P(V)=0.

3) А– случайное событие, 0<m<n, тогда, т. е.

0<P(A)<1.

Пример. Монету бросаем два раза. Определить вероятность того, что герб появится не менее одного раза.

Пусть А– событие, состоящее в появлении герба не менее одного раза. Элементарные исходы такие ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, всего четыре исхода, из них благоприятствующих появлению событияА– три, тогда.

6.3 Элементы комбинаторики

1. Пусть имеем три элемента a, b, c. Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента:ab, ba, ac, ca, bc, cb– их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называютсяразмещениями, обозначаются.

.

2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками, обозначаются.

3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями, обозначаются.

,

или

.

Следует помнить, что .

Пример.Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение.

5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределитьспособами, 2 билета среди 6 девушек можно распределитьспособами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов, а число всех возможных исходов. Тогда

.