4.4 Однородные функции

Функция f(x,y) называется однороднойk-ой степени однородности, если выполняется равенство:

.

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.

4.5 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где– однородная функция нулевой степени однородности. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановкиy=xt, dy=xdt+tdx.

Примеры

1) ;

xdy=(x+y)dx, y=xt, dy=xdt+tdx

x(xdt+tdx)=(x+xt)dx

xdt+tdx=(1+t)dx

xdt+tdx=dx+tdx

xdt=dx

, вернемся к старой переменной

.

2)

Пусть y=xt, dy=xdt+tdx,

;

-е^-t=ln|x|+C.

Вернемся к старым переменным: .

4.6 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде , гдеP(x),Q(x)– заданные функции (функция y и ее производная или дифференциалdy входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени и порознь друг от друга).

Один из способов решения – метод Бернулли (подстановка Бернулли).

Будем искать решение в виде y=UV, тогдаПодставим в уравнение

.ВыберемVтак, чтобы, тогда.

Таким образом, решение данного линейного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными:

, решая его находимV, подставляемVво второе:

, из которого находимU.

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

Примеры(см. задание 4):

1) .

Пусть , тогда,

, сведем его к двум уравнениям

1) ;

2) , решаем их последовательно.

а)

(ищем частный интеграл)

V = cos x.

б)

U = sin x + C,

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

.

2) ,при.

;

; ;

а)

б)

– общее решение. Выделим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:;;

4.7 Линейные однородные д.У. Второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида

,

(1)

где – константы.

Общее решение такого уравнения имеет вид

где – произвольные постоянные

-общее решение однородного уравнения,

-линейно независимые частные решения уравнения (1).

Определение. Функциииназываются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b), если при

Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения

,

(2)

называемого характеристическим, в котором степень kравна порядку производной в уравнении (1).

При этом возможны следующие случаи:

1. При уравнение (2) имеет действительные различные корни, тогда частные решения ДУ (1) имеют вид,(в чем можно убедится непосредственной подстановкой).

Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:

2. При характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня, тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции, общее решение (1) имеет вид

3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида.

Тогда частные решения

Общее решение (1) имеет вид

Примеры(см. задание 5):

1) , составим характеристическое уравнение:

;;.

2) , составим характеристическое уравнение

;

;

.

3)

4)