![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Лекция 1.Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Лекция 2. Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Лекция 3.Предел последовательности Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.
- •Лекция 4.Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Лекция 5.Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный придел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Лекция 8. Первообразная функция.Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Лекция 10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14.Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка.
- •Лекция 15.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Лекция 16.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Лекция 18. Числовые ряды.Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Лекция 19. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Лекция 20. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Лекция 10.Интегрирование тригонометрических функций.
1 тип.
Возможны два случая:
1. Если хотя бы один из показателей m илиn‒ нечетный, то соответствующая функция подводится под дифференциал и интеграл сводится к вычислению двух интегралов от степенных функций по формуле:
Пример:
Решение:
Если оба показателя m илиn‒ нечетные, то множитель для подведения под дифференциал отделяют от меньшей из степеней.
2. Если оба показателя степени m илиn‒ четные, интеграл находится понижением порядка (степени) в два раза с помощью следующих формул тригонометрии:
Пример:
Решение:
2 тип.
Интегралы вида
берутся по следующим формулам тригонометрии:
Пример:
Решение:
3 тип.
Интегралы
вида,
где
‒ рациональная функция относительно
.
Интегралы
этого вида берутся универсальной
подстановкой
,
далее используются формулы тригонометрии,
выражающие
через
:
Пример:
Решение:
Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
1 тип.
Интегралы вида
берутся
выделением полного квадрата под корнем
и сводятся к следующим табличным:
Пример 1:
Решение:
Пример 2:
Решение:
2 тип.
Интегралы вида
берутся выделением в числителе производной от подкоренного выражения:
,
при этом исходный интеграл разобьется
на сумму двух интегралов.
Первый из них
Второй интеграл относится к интегралам первого типа, рассмотренным выше.
Пример:
Решение:
Лекция 11.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ‒ ЛЕЙБНИЦА.
Определенным интегралом от функции f(x)на промежутке[a;b] называется приращение первообразной функции F(x) при изменении аргумента от x = aдо x = b.
Обозначается
где a ‒ нижний предел интегрирования, а b‒верхний предел интегрирования.
Из определения следует:
Пример.
Решение:
Свойства определенного интеграла.
3. Если функции y = f(x)иy = g(x) интегрируемы на отрезке[a, b], то
то есть постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.
5.
Если
,
то
Приемы вычисления определенного интеграла такие же, как и неопределенного интеграла.
Метод замены переменной в определенном интеграле.
При выполнении замены переменной в определенном интеграле надо:1. под знаком интеграла заменить старую переменную на новую;
2. пересчитать пределы интегрирования.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле
получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.Которая примет вид:
Пример1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Лекция 12.КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
Криволинейной трапецией называется геометрическая фигура,ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f (x), отрезками прямых x = a иx = bи отрезком [a; b] осиOX.
Разобьем
отрезок [a;
b]
на n‒
отрезков точками
.
На каждом отрезке
выбираем
точку
(кси),
Построим
прямоугольники с основанием:
и
высотой
f(),
тогда
Сумма
называетсяинтегральной
суммой.
при
Получим:
Рис. 1
Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенным интегралом от функции f (x) на промежутке [a; b] называется предел интегральной суммы(1).
Геометрический смысл.
Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции
f(x) на промежутке [a; b] численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции:
Геометрические приложения определенного интеграла.
1. Вычисление Sфигуры.
1)
Если геометрическая фигура ограничена
графиками двух непрерывных неотрицательных
функций
и
.
2)
Если геометрическая фигура ограничена
графиком
3)
Если
Пример.
Решение:
(3; 5), (6; 8) ‒ точки пересечения линии.
Второйспособ:
(5; 9) ‒ вершина параболы.
Лекция 13. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
1. Задача о нахождении закона движения материальной точки.
Обозначив‒
путь в момент времени
,
‒скорость,
тогда из физического смысла производной
следует, что
или
Если
,
то получим
,
проинтегрировав это равенство, получим
закон движения:
2. Задача о размножении бактерий.
Пусть
‒
число бактерий в момент времени
.Так
как скорость размножения бактерий
пропорциональна их количеству, то по
аналогии с предыдущим.
где
‒ коэффициент пропорциональности.
Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений.
1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию yи ее производные или дифференциалы.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Пример.
Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько произвольных постоянных C, каков порядок дифференциального уравнения.
так как
то
Частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при определенных начальных значениях независимой переменной и искомой функции.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения называется задачей Каши.
Геометрическиобщее
решение дифференциального уравнения
представляет собой семейство интегральных
кривых; частное решение ‒ единственная
кривая, проходящая через данную точку
.