- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Лекция 1.Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Лекция 2. Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Лекция 3.Предел последовательности Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.
- •Лекция 4.Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Лекция 5.Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный придел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Лекция 8. Первообразная функция.Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Лекция 10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14.Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка.
- •Лекция 15.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Лекция 16.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Лекция 18. Числовые ряды.Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Лекция 19. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Лекция 20. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Это дифференциальные уравнения вида:
или
Проинтегрировав, найдем y.
Пример.
Решение:
Пусть
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается заменой
Подставим в исходное уравнение, получим
Проинтегрировав, найдем функцию Z, а затем функцию y.
Пример.
Решение:
Пусть
Тогда , так как
Лекция 14.Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается подстановкой:
Подставим полученное в уравнение :
Подставив в равенство значение функцииu, получим дифференциальное уравнениес разделяющимся переменными.Решив которое, найдем функцию v, а затем и функцию y.
Пример.
Решение:
Подставим в уравнение ,
Подставим значения uв равенство (2), получим:
Тогда,
Так как при x=1, , то подставив в общее решение, получим:
Подставим значение Cв общее решение, получим:
Проверка:
Лекция 15.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Иногда решение дифференциальных уравнений второго порядка можно свести к последовательному решению двух дифференциальных уравненийпервого порядка. Тогда говорят, что дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.
Это дифференциальные уравнения вида:
или
Пример 1.
Пример 2.
Уравнения этого типа решаются заменой переменной Следовательно,
Подставим в дифференциальное уравнение .
Подставив значение zв дифференциальное уравнение , найдем функциюy.
Пример.
Решение:
Так как при x= 1, y = 0 и при x = 1, , то
Ответ:.
Лекция 16.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Это дифференциальные уравнения вида:
При получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Для его решения составим характеристическое уравнение:
При его решении возможны следующие три случая:
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка находим по формуле:
2. ЕслиD=0, то общее решение находится по формуле:
Тогдаобщее решение дифференциального уравнения находим по формуле:
3. , то корни комплексно - сопряженные.
Тогда общее решение находится по формуле:
Пример 1.
Решение:
При
При
Ответ:
Пример 2.
Решение:
2 способ:
При
При
Ответ:
Пример 3.
Решение:
При
Ответ:
Лекция 17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравненияравняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения.
Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решенияпо виду,а затем метод неопределенных коэффициентов.
Возможны следующие виды :
1. Если многочленn ‒ й степени.
где‒ многочлен, той же степени, что и, но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, илиr= 1, илиr= 2.
Пример.
Решение:
Подставим в исходное уравнение.
2. Если правая часть уравнения , где α ‒ любое число, тогда
, где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, илиr= 1, илиr= 2.
В частном случае , то, гдеA‒неопределенный коэффициент.
Пример.
Решение:
3. Если ,aиb‒ действительные числа.
,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с(еслиD< 0) и r= 0(если D≥ 0).
Пример.
Решение:
D= 0
Ответ:.