![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Лекция 1.Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Лекция 2. Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Лекция 3.Предел последовательности Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.
- •Лекция 4.Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Лекция 5.Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный придел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Лекция 8. Первообразная функция.Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Лекция 10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14.Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка.
- •Лекция 15.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Лекция 16.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Лекция 18. Числовые ряды.Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Лекция 19. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Лекция 20. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
Теорема. Для того чтобы, дифференцируемая в интервале (a, b), функция y = f (x) возрастала (убывала) на интервале (a, b)необходимо и достаточно, чтобы ее производная
f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0)для∀ x ∈ (a,b).
Рис. 1 График возрастающей функции
f ′(x) = kкас = tgα> 0, т. к. α – острый угол.
Рис. 2 График убывающей функции
tgα< 0, т. к. α – тупой угол.
Экстремум функции (исследование функции на экстремум)
Определение. Точка x0называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует δ − окрестность точки x0, такая, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенствоf (x)< f (x0),
(f (x)< f (x0)).
Определение.Значение функции в точках максимума (минимума) называют экстремумами функции (extmax, extmin).
Рис. 3
Рис. 4
Теорема
(необходимое условие экстремума).
Если дифференцируемая функция у
= f(х)
в точкеимеет
экстремум, то ее производная в этой
точке равна нулю, то есть
Теорема
(достаточное условие экстремума).
Если функция у
= f
(х)
дифференцируема в некоторой окрестности
критической точки
(кроме, быть может, самой точки
)
и при переходе аргументаx
через нее слева направо производная
меняет
знак с плюса на минус, то
‒
точка максимума; если
меняет
знак с минуса на плюс, то
‒
точка минимума.
Определение.
Точки, в которых производнаяравна
нулю или не существует, называютсякритическими
точками
функции.
Пример.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
Решение:
1)
D
(y)
= R,
то есть
.
2)
Эти
критические точки разбивают всю область
определения функции на интервалы: (˗∞;
0), (0; 1) и (1; +∞). Полученные результаты
удобно представить в виде следующей
таблицы:
x |
(˗∞; 0), |
0 |
(0;1) |
1 |
(1;+∞) |
|
˗ |
0 |
˗ |
0 |
+ |
y |
|
нет экстр. |
|
min |
|
Из
таблицы видно, что в точке х
= 0 нет экстремума, а х
= 1 ‒ точка минимума. Минимум этой функции
равен:
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.
3) y(0) = 5, (0; 5) ˗ точка пересечения с OY.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b], либо на границе отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] необходимо:
1)найти критические точки функции в интервале (a, b);
2)вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x= а и х = b;
4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на
отрезке [0; 3].
Находим критические точки:
Эти
точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y(1)
= ‒ 3; y(2)
= ‒ 4; y(0)
= ‒ 8; y(3)
= 1;
в
точке x =
3 и
в точкеx =
0.
Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
Функция y = f (x) называется выпуклойвверх на промежутке (a, b), если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой), если ее график лежит над касательной.
Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба.
Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:
1.
Найдеми критические точки второго рода, то
есть точки в которых вторая производная
равна нулю или не существует.
2.
Нанести критические точки на числовую
прямую, разбивая ее на промежутки. Найти
знак второй производной на каждом
промежутке; если
,
то функция выпуклая вверх, если
,
то функция выпуклая вниз.
3.
Если при переходе через критическую
точку второго рода
поменяет знак и в этой точке вторая
производная равна нулю, то эта точка ‒
абсцисса точки перегиба. Найти ее
ординату
.
Рис.5
Рис. 6