Лекция №4

Пересечение поверхностей

ОБЩИЙ ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение линии пересечения двух поверхностей осуществляется по схеме, аналогичной схеме построения линии пересечения двух плоскостей:

а) выбирается вспомогательный посредник (плоскость или поверхность);

б) строятся линии пересечения посредником данных поверхностей в отдельности,

в) точки пересечения полученных линий между собой и будут принадлежать искомой линии пересечения двух данных поверхностей.

Повторив построения с использованием нескольких посредников и соединив соответственно точки, получим искомую, линию пересечения.

Посредники (плоскости или поверхности) берутся так, чтобы линии их пересечения с данными поверхностями были простейшими. Как и в случае плоских сечений, сначала определяют опорные точки кривой сечения, т. е. точки на очерковых линиях, высшую и низшую, а затем и другие.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

 

Рис 1.

Посредниками могут быть плоскости уровня или проецирующие.

Если цилиндрическую поверхность можно «преобразовать в проецирующую, применив перемену плоскости проекций (рис. 2) или вращение, целесообразно этим воспользоваться.

В некоторых случаях в качестве посредников целесообразно выбирать не плоскости,

а поверхности: конические, цилиндрические или сферические.

Рис.2

Рис 3.

На рис. 3 использованы горизонтальные плоскости, поскольку одна из по­верхностей есть поверхность вращения. Точка 6 пересечения ребра SA не может быть найдена вспомогательной горизонтальной плоскостью, поэтому построена дополнительно точка 5

Пересечение линии 1 3 5 ребром SA определило. точку 6.

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось (рис. 4). Приведены случаи пересечения соосных поверхностей, которые пересекаются по параллелям, в силу чего на фронтальной проекции эти параллели проецируются в отрезки прямой линии.

Лекция №5

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР

Свойство пересечения поверхности вращения с соосной с ней сферой по окружности, проецирующейся на соответствующую плоскость проекций в отрезок прямой линии, используется при построении линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями, лежащими в плоскости, параллельной какой - либо плоскости проекций. Если плоскость этих осей занимает случайное положение, то вращением или перемещением плоскости проекций можно перейти к ее частному положению, когда она станет параллельной плоскости проекций.

Способ сферических сечений заключается в следующем. Дана фронтальная проекция двух цилиндров, горизонтального А и вертикального В, пересекающимися в точке С осями, лежащими во фронтальной плоскости . Берется сфера, вообще говоря, произвольного радиуса. Эта сфера будет пересекать поверхность А по окружностям а2 а2‘ и b2 b2', а поверхность В по окружностям c2 c2‘ и d2 d2', (окружности спроецировались в отрезки прямых). Точки их пересечения 22 42 22‘ 42‘ как общие для обеих поверхностей, будут принадлежать линии их пересечения. Для определения самых близких к наблюдателю точек 32 и 32' надо взять сферу (R мin), вписанную в одну поверхность, но так, чтобы она пересёкала вторую поверхность.

Точки пересечения очерковых образующих 12 52 12‘ 52 ‘ также будут принадлежать линии пересечения.

Плоскость пересекающихся осей поверхностей является плоскостью симметрии для обеихповерхностей, а также и для линии их пересечения. Поэтому каждая точка проекции этой линииявляется двойной. Она определяет конкурирующие точки. Если исходные поверхности есть поверхности второго порядка, то линия проецируется на плоскость симметрии кривой второго порядка: гиперболой, как в данном случае, или параболой.

Построить линию пересечения поверхностей двух цилиндров

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ТЕОРЕМА МОНЖА

 

Поверхности второго порядка имеют большое применение в архитектурно - строительной прак­тике, как геометрическая основа многих архитектурных форм и конструкций. Вопросу пересечения этих поверхностей необходимо уделить особое внимание и привести теорему Г. Монжа, имеющую важное значение в конструировании ряда поверхностей покрытий.

Теорема Г. Монжа формулируется так: если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности того же порядка (или вписаны в нее), то они пересекаются по двум плоским кривым.

Пересечение поверхностей происходит по двум эллипсам 1 - 5 и 5 - 10, которые на плоскость симметрии (плоскость Рп2) проецируются в отрезки прямых. Известно, что пересечение двух поверхностей второго порядка в общем случае дает кривую четвертого порядка. Поэтому если уже известно, что в пересечении получилась одна кривая второго порядка, то в составе линии пересечения должна быть еще одна кривая второго порядка. Последняя может быть и мнимой кривой.

 

Построить линию пересечения поверхностей цилиндра и конуса

Задача сводится к построению кривой 4-го порядка во фронтальной проекции. Последовательно будем брать точки сечения на горизонтальной проекции, и, используя фронтальную плоскость уровня, находить их проекции на фронтальной плоскости проекций.

Через точку 11 проведем фронтальную плоскость уровня Рп1 , она рассечёт сферу по окружности радиуса R1 , на пересечении этого радиуса на фронтальной проекции с вертикальной линией связи. Найдём точку 12 . Далее проводим след плоскости Rп1 через точки 21 и 81 . Радиус сечения сферы будет равен R1| . Этим радиусом проводим дугу из точки О2 и по вертикальной линии связи из точек 21 и 82 находим на дуге точки 22 и 82.

Следующая плоскость Тп1 , радиус R||1 . Точка 32 и 72 будут лежать на очерке цилиндра. Далее плоскость Qп1 , радиус R|||1 , точки 42 и 62 находятся на вертикальной линии связи, проведённой из точек 41 и 61 до дуги радиусом R|||1 .

Последняя плоскость Nп1 , радиус R||||1 , точка 52 лежит на пересечении радиуса R||||1 , с осью цилиндра. Линия сечения 32 42 52 62 72 - видимая и проводится сплошной линией. А линия 32 22 12 82 72 - невидимая ( штрихпунктирная).