7.4. Предельный анализ экономических процессов Краткая теория

1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемыепредельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуютне состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Издержки производства. Если издержки производстварассматривать как функцию выпускаемой продукции, т.е., тобудет выражатьпредельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции.Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции:.

2. Производительность труда. Пусть функциявыражает объем произведенной продукцииза время. Тогда производная объема произведенной продукции по времениесть производительность труда в момент.

3. Функция потребления и сбережения. Если- национальный доход,- функция потребления (часть дохода, которая тратится), а- функция сбережения, то

.(7.33)

Дифференцируя, получим, что

,(7.34)

где - предельная склонность к потреблению; - предельная склонность к сбережению.

4. Эластичность.Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

или,(7.35)

где

(7.36)

– относительная скорость изменения (темп)функции.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.

Если эластичность спроса , то спрос считаетсяэластичным, если–нейтральным (с единичной эластичностью), а если–неэластичнымотносительно цены.

7.131. Функция издержек производства продукции некоторой фирмой имеет вид:(ден. ед.). Найти средние и предельные издержки производства и вычислить их значение при.

Решение.Найдем производнуюи ее значение- предельные издержки производства:

.

Средние издержки:

;

.

Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема на одну единицу продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед.

7.132. Функция потребления некоторой страны имеет вид:

,

где - совокупный национальный доход (ден. ед.). Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27 ден. ед.

Решение: Предельная склонность к потреблению:; ее значение:.

Предельная склонность к сбережению:

; ее значение:.

7.133. Объем производства зимней обуви, выпускаемый некоторой фирмой, может описан уравнением(ед), где- календарный месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения: а) в начале года (); б) в середине года (); в) в конце года ().

Решение.Производительность труда выражается производной(ед./мес.), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производнойи логарифмической производной:(ед./мес.²),(ед./мес.).

В заданные моменты времени соответственно имеем (ед./мес.),(ед./мес².),(ед./мес.),(ед./мес.),(ед./мес².),(ед./мес.),(ед./мес.²),(ед./мес.²),(ед./мес.).

7.134. Функция спросаи предложение, гдеи- количество товаров, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени,- цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, то есть цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.

Решение: а) Равновесная цена определяется из условия, т.е.; откуда, т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности по спросу и предложению по формуле (7.35):

;.

Для равновесной цены имеем;.

Так как полученные значения эластичности меньше 1 (по абсолютной величине), то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

в) При увеличении цены на 10% от равновесной спрос уменьшается на, следовательно, доходвозрастает приближенно на 9%.

7.135. Зависимость между спросоми ценойза единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается соотношением. Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия прии приден. ед.?

Решение. Эластичность спроса по формуле (7.35) есть.

Спрос нейтрален, если . Решая это уравнение, имеем. Далее, принимая во внимание, чтои(т.е.), получим, что если- спрос является неэластичным; при- спрос эластичен.

Рекомендации.Если цена единицы продукции составляет 100 ден. ед., то спрос является неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости продукции 150 ден. ед. спрос является эластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложение о снижении цены, выручка от реализации будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.

7.136. Задана функцияполных затрат предприятия на производствоединиц продукции. Определить связь между коэффициентом эластичности полных и средних затрат.

Решение. Средние затраты на единицу продукции равны:. По формуле (7.35.) коэффициенты эластичности полных и средних затрат равны:;

, т.е. коэффициент эластичности средних затрат на единицу меньше коэффициента эластичности полных затрат.

7.137.Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукциина предприятии выражается функцией. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

7.138.Выручка от продажи конфет составляет, где- объем проданной продукции (тыс. ед.). Найти среднюю и предельную выручку, если продано: а) 10 тыс. ед.; б) 60 тыс. ед.

7.139.Функция издержек производстваот объема выпускаемой продукцииимеет вид. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

7.140.Себестоимость продукциисвязана с объемом выпускаемой продукцииуравнением:. Определить среднюю и предельную себестоимость выпускаемой продукции при объеме, равной 10 ед.

7.141. Производительность труда бригады может описана уравнением, где- рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда прии.

7.142. Себестоимость производства телевизоров(в тыс. руб.) описывается функцией,, где- объем выпускаемой продукции в месяц (тыс. ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости и при выпуске 20 и 40 тыс. ед. продукции.

7.143. Функция потребления некоторой страны имеет вид:, где- совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

7.144. Функция потребления некоторой страны имеет вид:, где- совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

7.145.Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия(млн. руб.) и объемом выпускаемых изделий(тыс. шт.) выражается уравнением. Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятия об изменении величины объема выпускаемой продукции?

7.146. Функция полных затрат в зависимости от объема выпускаемой продукции задана соотношением:. При каком объеме производства предельные и средние затраты совпадают? Найти коэффициенты эластичности полных и средних затрат при данном объеме.

7.147. Зависимость между объемом выпуска готовой продукции(млн. руб.) и объемом производственных фондов(млн. руб.) выражается уравнением. Найти эластичность выпуска продукции для предприятия, имеющего фонды в размере 40 млн. руб.

7.148. Зависимость между себестоимостью единицы продукции(в руб.) и выпуском продукции(в млн. руб.) выражается уравнением. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции на 30 млн. руб.

7.149. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии(тыс. ед.) и затратами на их изготовление(тыс. руб.) для предприятия отрасли выражается уравнением. Найти эластичность затрат для предприятий, выпускающих по 10 тыс. деталей в партии.

7.150. Найти эластичность функции спроса при заданной стоимости: а),; б),; в),и.

7.151. Для следующих функций спроса найти значение, при которых спрос является эластичным: а); б); в).

7.152.Задана функция спросаи предложенияот цены:,. Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для равновесной цены; в) изменение дохода при изменении равновесной цены на 5 %.

7.153.Функции спросаи предложенияна некоторый товар от его ценызадаются уравнениями:,. Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для равновесной цены; в) изменение дохода при изменении равновесной цены на 5 %.

7.154. Зависимость потребленияот доходазадается функцией. Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметраи стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

26