Глава 6. Пределы и непрерывность Краткая теория

1. Если по некоторому закону каждому натуральному числуппоставлено в соответствие определенное числоа_п, то говорят, что заданачисловая последовательность{а_п}.

2. ЧислоАназываетсяпределом числовой последовательности{а_п}, если для любого> 0 найдется такой номерN,зависящий от, что для всех членов последовательности с номерамип>Nверно неравенство.

3. ЧислоА называетсяпределом функцииу = f(х)при х , если для любого

 > 0 найдется также число S> 0, зависящее от, что для всеххтаких, что |х|>Sбудет верно неравенство.

4. ЧислоАназываетсяпределом функции f(х)прих x₀, если для любого> 0 найдется число> 0, зависящее от, что для всех ≠x₀и удовлетворяющих условию

|x – x₀| <выполняется неравенство

5. Функция(х) называетсябесконечно малойвеличиной прих x₀(или

х ), если

6. Функцияf(x)называетсябесконечно большойвеличиной прих x₀, если для любогоМ > 0 найдется такое число> 0, зависящее отМ, что для всехх ≠x₀и удовлетворяющих условию |x – x₀| <будет верно неравенство

7.Свойства бесконечно малых.Если(х) и(х) — бесконечно малые величины при х x₀(илих ), то будут бесконечно малыми величины:(х)(х);с(х),с– постоянная;f(x)(х) (f(x) – ограниченная функция);(х)(х);

8.Свойства бесконечно больших. Еслиf(x)и(х)– бесконечно большие величины прих x₀(илих ), то будут бесконечно большими величинами:f(x) + (х) ((х) — ограниченная функция);f(x)/(х)((х)имеет предел).

9. Если функция(х) есть бесконечно малая величина прих x₀(илих ), то функцияявляется бесконечно большой, и обратно, еслиf(x)бесконечно большая функция прих x₀(х ) , тоявляется бесконечно малой величиной.

10. Сравнение порядков бесконечно малых.Если(х) и(х) — бесконечно малые величины прих x₀(х ) ито приk= 0 бесконечно малая(х) называется бесконечно малойболее высокого порядкамалости, чем(х); при 0 <k<—одного порядкамалости; приk=—более низкого порядкамалости, чем(х).

Еслиk = 1, то бесконечно малые(х) и(х) называютсяэквивалентными:(х)(х).

11.Примерыэквивалентных бесконечно малыхвеличин прих 0:sinx x;ln(1+x)x; (1 + x) ^m 1+mx;arcsin x x;arctg x x; 1 –cos xx²/2.

12.Предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

13.Теоремы о пределах:

1) .

2) Если

то:

14.Если,, то.

15.Первый замечательный предел:

16.Второй замечательный предел (числое):

6.1. Определение предела. Простейшие пределы

Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

6.4. Найти

Решение.Подставляем вместо хв выражение под знаком предела 3, получим

.

6.5. Найти.

Решение. Знаменатель дробих³прих является бесконечно большой величиной,прих является бесконечно малой величиной, следовательно, искомый предел равен нулю.

6.6. Найти

Решение. Знаменатель дроби (х— 4) прих 4 является бесконечно малой величиной, тогда 1/(х – 4) – бесконечно большая величина; числитель дроби 2х²является функцией, предел которой отличен от нуля

Функция 2х²/(х – 4) является бесконечно большой величиной, т.е. искомый предел равен.