Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес
.pdf
|
|
|
|
|
работы |
|
|
||
|
эти оставшиеся векторы являются ли линейно зависимыми? |
|
|||||||
9. Дайте определение базиса системы векторов. |
|
|
|
||||||
10. |
Сколько существует способов разложения любого вектора из системы |
||||||||
|
векторов по векторам базиса этой системы? |
|
|
|
|
||||
11. |
Какая линейно независимая часть системы вект р в является базисом этой |
||||||||
|
системы? |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Какая система векторов имеет базис? |
|
|
|
|
|
|||
13. |
Какое количество векторов может быть в к ждом базисе данной системы |
||||||||
|
векторов? |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Ранг данной системы векторов является |
постоянной |
или переменной |
||||||
|
|
самостоятельной |
|
ВПО |
|
|
|
||
|
величиной? |
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Каким числом определяется размерность векторного пространстваМБИ |
? |
|||||||
16. |
Какое утверждение дает возможн сть сформирвать процедуру отыскания |
||||||||
|
базиса системы векторов? |
|
|
|
|
. |
|
||
Решить самостоятельно |
|
|
|
2013 |
г |
|
|||
1. |
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой: |
||||||||
1) |
А1 |
= (5, 7, 12), А2 =(0, –1, 4), А3 |
=(2, 3, 4). А4 =(3, 5, 4), А5 =(8, 6, –3); |
|
|||||
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
2) |
А1 = (2, 10, 12), А2 =(1, –6, –8), А3 =(3, 4, 4). А4 |
=(5, 3, 2), А5 |
=(8, 9, 0); |
||||||
3) |
А1 = (–2, 9, –2), А2 =(–3, 2, –1), А3 =(5, 3, 2). А4 =(–4, 4, –3), А5 =(–1, 16, –3); |
||||||||
4) |
А1 = (5, 2, 4), А2 =(6, 9, 8), А3 =(1, 2, 2). А4 =(2, 5, 3), А5 =(1, 7, 4); |
|
|||||||
5) |
А1 = (0, 1, 1), А2 =(3, 1, 1), А3 =(2, 1, 0). А4 =(1, 0, 1), А5 =(3, 4, 2); |
|
|||||||
2. |
|
|
|
Москва |
|
|
|
||
Для систем векторов п.1 найти все базисы. Разложить все векторы системы |
|||||||||
|
по векторам одн го из базисов системы. Определить ранг каждой системы |
||||||||
|
Для |
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение А |
|
|
|
|
Модель «затраты – выпуск» |
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим еще одно приложение линейной алгебры в экономике. |
|||||||||||||
Предположим, что в замкнутой экономической системе функционируют две |
||||||||||||||
зависимые друг от друга отрасли А и В. Характер функционирования и связей |
||||||||||||||
между отраслями задан таблицей «затраты выпуск»: |
|
|
|
|
||||||||||
|
Отрасль потребитель |
Затраты |
|
Конечный |
|
Общее |
||||||||
|
|
|
|
|
|
продукт – |
производство |
|||||||
|
|
|
|
|
А |
|
В |
(С) |
п одукция |
|
(выпуск) |
|||
Отрасль производитель |
|
для рынка |
|
продукции |
||||||||||
Производство (выпуск) А |
60 |
|
64 |
|
работы |
МБИ |
200 |
|||||||
|
|
|
|
76 |
||||||||||
продукции |
|
|
B |
100 |
|
48 |
|
|
|
12 |
160 |
|||
|
|
|
|
(С) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные капитал (затраты) |
40 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общие затраты |
|
200 |
160 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Эксперты прогнозируют, что через Т лет спрос на продукцию.отрасли А |
|||||||||||||
упадет до 70 ед., а на продукцию отрасли В возрастет до 60 ед. г |
||||||||||||||
|
Как должно измениться функционирование отраслей (без учета НТП) и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВПО |
|
|
|
|
связь между ними, чтобы удовл творить прогнозируемое изменение спроса на |
||||||||||||||
продукцию, производимую отраслями? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
▲ Для того , чтобы вый и на прогнозируемый объем спроса продукци, |
|||||||||||||
т.е. на конечный продукт в виде вектора DT = (70. 60), отрасль А должна |
||||||||||||||
выпускать x1 |
ед. пр дукции, а отрасль В – x2 ед. продукции2013. |
|
|
|||||||||||
|
Из таблицы видно, что сегодня для производства 200 ед. продукции |
|||||||||||||
отрасль А использует 60 ед. продукцииЧОУ, произ еденной самой |
отраслью А, и |
|||||||||||||
100 ед. продукции, произ еденной отраслью В. Следовательно, для |
||||||||||||||
производства 1 ед. продукции |
трасль |
А |
|
использует 60/200 ед. продукции |
||||||||||
отрасли А и 100/200 ед. продукции отра ли В. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Аналогично, для производства 160 ед. продукции отрасль |
В использует |
||||||||||||
64 ед. продукции, произведенные отраслью А, и 48 ед. продукции, |
||||||||||||||
произведенной |
с мой отраслью |
В. Следовательно, для производства 1 ед. |
||||||||||||
продукции отрасль |
В использует 64/160 ед. продукции отрасли |
А и 48/160 ед. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|||
продукции отраслисамостоятельнойВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом, через Т лет для производства x1 ед. продукции отрасль А |
|||||||||||||
до жна использова ь (60/200)x1 ед. продукции, произведенной самой отраслью |
||||||||||||||
А, и (64/160)x2 ед. продукции, произведенной отраслью В. Тогда общий объем |
||||||||||||||
производства |
продукции отрасли А через Т лет можно выразить |
|||||||||||||
соотношением: |
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
|
|
|
x1 = (60/200)x1 + (64/160)x2 +70. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
32
|
Аналогично рассуждая о производстве продукции отрасли В через Т лет, |
||||||||||||||||||||||||||||
придем к выводу, что для производства |
|
|
x2 |
ед. продукции отрасль В должна |
|||||||||||||||||||||||||
использовать (100/200)x1 ед. продукции, произведенной отраслью А, и |
|||||||||||||||||||||||||||||
(48/160)x2 ед. продукции, произведенной самой о раслью |
|
В. Тогда общий |
|||||||||||||||||||||||||||
объем производства продукции |
отрасли |
|
В |
через |
Т лет |
можно выразить |
|||||||||||||||||||||||
соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 = (100/200)x1 + (48/160)x2 +60. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Таким образом, функционирование и вз имосвязь отраслей А и В через Т |
||||||||||||||||||||||||||||
лет можно описать системой двух линейных у авнений с двумя неизвестными: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = (60/200)x1 + (64/160)x2 +70. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
МБИx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = (100/200)x1 + (48/160)x2 |
+60. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
с матрицей условий А = |
|
0,3 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вектором |
|
|||||||||||
|
0,5 |
0,3 |
, вектором неизвестных Х = |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||
конечного продукта D = |
70 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Запишем теперь СЛУ в матричной форме, т.е. Х=АХ+D |
Х–АХ=D |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(Е–А)Х=D (Е–А) |
–1 |
(Е–А)Х=(Е–А) |
–1 |
D |
Х=(Е–А) |
–1 |
|
г |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
D. Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
чтобы найти вектор производства продукции через Т лет необходимо решить |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВПО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение Х=(Е–А)–1D. Для этого находим матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Е–А = |
1 |
0 |
– 0,3 |
0,4 |
= |
0,7 |
|
|
0,4 |
. Затем методом Гаусса находим |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0,5 |
0,3 |
|
0,5 |
|
|
|
0,7 |
|
|
|
2013 |
|
|
|
|
|
|||||||
матрицу (Е–А)–1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0,7 |
–0,4 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Далее |
|
|
|
вычисляем |
|
|
|
производства |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
|
||||||||||||||||||
–0,5 |
0,7 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
продукции в отраслях А и В , а именно: |
|
|||||||||||||||||||
1 |
–4/7 |
|
10/7 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
40 / 29 |
70 |
|
7300 / 29 |
|
|
||||||||||
0 |
29/70 |
|
5/7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
70 / 29 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Х = 50 / 29 |
70 / 29 |
60 |
= |
7700 / 29 . |
|
|||||||||||||||||
1 |
0 |
|
|
70/29 |
|
40/29 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
50/29 |
|
70/29 |
|
|
|
Для |
|
нового |
набора конечного |
|
продукта |
D |
|||||||||||||
=(70, 60) определим новые за раты начального капитала. Так как сегодня |
|||||||||||||||||||||||||||||
отрасль |
А для производства |
200 ед. пр дукции использует 40 ед. начального |
|||||||||||||||||||||||||||
капитала, т.е. на производство 1 ед. продукции используется 40/200 ед. |
|||||||||||||||||||||||||||||
начального капитала, то ч р з Т лет для производства x1=7300/29 ед. продукции |
|||||||||||||||||||||||||||||
отрасли А потребуется (40/200)(7300/29) = 1460/29 ед. начального капитала. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|
|
160 |
ед. продукции |
||||||||||||||||||
|
Аналогично, сего ня отрасль |
В для производства |
|
||||||||||||||||||||||||||
использует 48 ед. начального капитала, т.е. на производство 1ед. продукции |
|||||||||||||||||||||||||||||
испо ьзуется 48/160 ед. начального капитала. Поэтому через Т лет для |
|||||||||||||||||||||||||||||
производства x2= 7700/29 ед. продукции отрасли В потребуется |
|||||||||||||||||||||||||||||
(48/160)(7700/29) = 2310/29 ед. начального капитала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, функционирование и взаимосвязь отраслей А и В через |
|||||||||||||||||||||||||||||
Т лет можно представить в виде таблицы «затраты выпуск» вида: |
|
|
|
33
|
Отрасль потребитель |
Затраты |
|
Конечный |
|
Общее |
|||||||||
|
|
|
|
|
продукт – |
|
производство |
||||||||
Отрасль |
|
А |
|
В |
(С) |
продукция |
|
(выпуск) |
|||||||
производитель |
|
|
для рынка |
|
продукции |
||||||||||
Производство |
А |
2190/29 |
3080/29 |
работы |
70 |
|
|
|
|
7300/29 |
|||||
(выпуск) продукции |
B |
3650/29 |
2310/29 |
60 |
|
|
|
|
7700/29 |
||||||
Начальные капитал |
(С) |
1460/29 |
2310/29 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(затраты) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Общие затраты |
|
7300/29 |
7700/29 |
|
|
|
|
|
|
||||||
где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2190/29=(60/200)(7300/29) – количество ед. продукции, произведенное |
|||||||||||||||
|
отраслью А и использованное этой отраслью |
МБИдля производства |
|||||||||||||
|
7300/29 ед. продукции через Т лет; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3650/29=(100/200)(7300/29) – количество ед. продукции, произведенное |
|||||||||||||||
|
отраслью В и использован ое отраслью |
А для производства 7300/29 ед. |
|||||||||||||
|
продукции через Т лет; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|||||
3080/29=(64/160)(7700/29) – ко ичество |
ед. |
продукции, |
|||||||||||||
|
|
произведенное |
|||||||||||||
|
отраслью А и использованное отраслью |
В для производства 7700/29 ед. |
|||||||||||||
|
продукции через Т л т; |
|
|
|
ВПО |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2310/29=(48/160)(7700/29) – количество ед. продукции, произведенное |
|||||||||||||||
|
отраслью В и использованное этой |
отраслью |
|
для |
производства |
||||||||||
|
7700/29 ед. продукции через Т лет; |
|
|
|
2013 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
самостоятельной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
|
|
|
Приложение В |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Расчетное задание по линейной алгебре |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задание 1. Вычислить определитель матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
2 |
3 |
1 |
4 |
|
5 |
|
4 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
5 |
|
0 |
3 |
0 |
3 |
4 |
|
1 |
0 |
0 |
6 |
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
0 |
|
6 |
МБИ |
2 |
4 |
0 |
4 |
1 |
||
|
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
|
0 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
|
0 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
5 |
4 |
6 |
7 |
1 |
|
|
5 |
6 |
4 |
7 |
|
1 |
|
|
|
5 |
6 |
7 |
4 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
3 |
|
3 |
0 |
3 |
2 |
2 |
|
0 |
3 |
3 |
2 |
2 |
|
|
0 |
3 |
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
6 |
1 |
3 |
2 |
4 |
5 |
|
7 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
5 |
|
8 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
2 |
|
0 |
3 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
|
|
2 |
0 |
0 |
6 |
|
4 |
|
|
|
2 |
1 |
4 |
0 |
0 |
|
4 |
5 |
самостоятельной |
|
3 |
3 |
1 |
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
|||||||||
|
6 |
2 |
1 |
|
4 |
4 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
3 |
3 |
0 |
0 |
2 |
|
|
4 |
4 |
2 |
9 |
|
0 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
4 |
9 |
3 |
0 |
3 |
2 |
2 |
10 |
5 |
4 |
6 |
7 |
1 |
|
11 |
0 |
ВПО |
0 |
|
3 |
12 |
|
0 |
3 |
3 |
2 |
2 |
||
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
5 |
|
|
г |
5 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
.2 3 1 4 0 |
||||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
|
5 |
5 |
4 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
3 |
3 |
0 |
2 |
2 |
|
5 |
5 |
0 |
0 |
4 |
|
|
1 |
2 |
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
0 |
0 |
1 |
13 |
6 |
6 |
5 |
6 |
1 |
14 |
2 |
1 |
0 |
4 |
4ЧОУ |
9 |
2 |
2 |
2 |
|
3 |
|
6 |
|
1 |
4 |
4 |
4 |
4 |
||
2 |
1 |
3 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
5 |
4 |
|
15 |
5 |
4 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
1 |
4 |
3 |
2 |
|||
|
0 |
5 |
2 |
0 |
1 |
|
3 |
3 |
0 |
0 |
3 |
|
|
2 |
0 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
|
1 |
6 |
5 |
0 |
0 |
|
0 |
2 |
2 |
1 |
5 |
|
|
3 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
6 |
6 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
4 |
0 |
2 |
1 |
|
|
7 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
4 |
4 |
0 |
|
2 |
2 |
0 |
3 |
3 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
3 |
2 |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
4 |
4 |
0 |
1 |
17 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
18 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
Москва |
0 |
2 |
|
1 |
20 |
|
4 |
4 |
0 |
0 |
2 |
||||
|
19 |
0 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
6 |
6 |
5 |
|
0 |
3 |
4 |
2 |
1 |
|
|
2 |
7 |
2 |
2 |
|
0 |
|
|
|
2 |
1 |
6 |
5 |
4 |
|
0 |
0 |
2 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
3 |
0 |
0 |
|
|
1 |
2 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
1 |
студентов |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
5 |
5 |
0 |
2 |
0 |
||||
|
1 |
|
4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
21 |
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
22 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
23 |
3 |
4 |
3 |
4 |
|
3 |
24 |
|
3 |
2 |
3 |
2 |
4 |
|
|
8 |
0 |
8 |
0 |
8 |
|
0 |
4 |
0 |
4 |
6 |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
0 |
4 |
4 |
0 |
|
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
3 |
0 |
2 |
2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
0 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
6 |
4 |
0 |
0 |
1 |
|
5 |
0 |
4 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
2 |
2 |
3 |
|
|
0 |
4 |
4 |
4 |
|
0 |
|
|
|
4 |
2 |
3 |
1 |
1 |
25 |
2 |
2 |
0 |
3 |
3 |
26 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
27 |
3 |
4 |
2 |
0 |
|
0 |
28 |
|
3 |
4 |
0 |
4 |
1 |
|
Для |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
0 |
3 |
3 |
3 |
|
1 |
3 |
0 |
0 |
5 |
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
5 |
4 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
5 |
5 |
0 |
|
0 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
|
0 |
3 |
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
2 |
2 |
1 |
4 |
|
0 |
|
|
|
6 |
6 |
0 |
0 |
6 |
29 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
30 |
0 |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
31 |
0 |
0 |
3 |
3 |
|
3 |
32 |
|
0 |
0 |
4 |
4 |
2 |
|
|
3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
3 |
3 |
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
|
|
4 |
0 |
2 |
0 |
|
4 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
|
4 |
4 |
0 |
5 |
4 |
|
5 |
4 |
0 |
2 |
6 |
|
|
0 |
3 |
3 |
3 |
|
0 |
|
|
|
4 |
5 |
0 |
6 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
4 |
1 |
4 |
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
35
5. 3x1 +4x2 +x3 +2x4 = 3, |
6. 2x1 |
+x2 +4xработы3 +3x4 = –3, |
Задание 2. Решить систему |
линейных |
уравнений методом Гаусса. Найти |
базисное решение и неравное ему частное решение. Для частного решения
сделать проверку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
x1 +x2 +3x3 –2x4 +3x5 |
= 1, |
2. |
2x1 +x2 –6x3 +4x4 +x5 = –14, |
||||||||||||||||||||||
3x1 |
+5x2 |
+3x3 |
+5x4 |
= 6, |
|
|
|
5x1 |
+3x2 |
+5x3 |
+3x4 |
=МБИ–6, |
||||||||||||||
|
2x1 |
|
+2x2 |
+4x3 |
–x4 +3x5 |
= 2, |
– 2x1 |
+6x2 |
–8x3 |
+x4 |
|
–3x5 |
|
= 13, |
||||||||||||
|
3x1 +3x2 +5x3 –2x4 +3x5 |
= 1. |
|
– x1 +x2 +2x3 +2x4 +2x5 |
|
=–2. |
||||||||||||||||||||
3. |
–9x1 |
+3x2 –2x3 +x4 –3x5 |
= 22, |
4. 13x1 –21x2 +47x3 +5x4 +4x5 =7, |
||||||||||||||||||||||
|
–3x1 |
+3x2 +2x3 +4x4 |
= 67, |
|
9x1 –9x2 +27x3 +3x4 +2x5 = –1, |
|||||||||||||||||||||
|
7x1 |
|
+3 x3 |
+2x4 |
+3x5 |
= 32. |
|
x1 –21x2 +23x3 +2x4 +3x5 = 6. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
самостоятельной |
|
|
ВПО |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
6x1 +8x2 +x3 +5x4 |
= 8, |
|
|
|
5x1 |
+x2 +8x3 |
+6x4 |
|
|
= –8, |
||||||||||||||||
3x1 +5x2 +3x3 +7x4 |
= 8. |
|
|
|
7x1 |
+3x2 +5x3 +3x4 |
= –8. |
г |
||||||||||||||||||
7. |
2x1 +x2 –5x3 +14x4 +4x5 = 0, |
8. |
5x1 |
+7x2 |
+3x3 |
–31x4 |
+19x5 =11, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
|
|||
–3x1 +2x2 +39x3 –7x4 –13x5 = –7, |
–3x1 +2x2 +x3 |
|
|
|
|
|
+ x5 |
= 8, |
||||||||||||||||||
|
4x1 +3x2 –x3 +32x4 +6x5 = –2. |
|
3x1 +4x2 +2x3 –18x4 +11x5 =7. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. 5x1 +7x2 +2x3 +7x4 +14x5 = 6, |
10. |
–2x1 +5x2 +3x3 +7x4 + 5x5 =10, |
||||||||||||||||||||||||
|
2x1 –3 x3 –6x4 +4x5 |
= –9, |
|
|
4x1 –7x2 –5x3 –9x4 –23x5 = –7, |
|||||||||||||||||||||
|
2x1 +3x2 +x3 +4x4 +6x5 |
= 3. |
|
5x1 +19x2 +3x3 +35x4 +36x5 =4. |
||||||||||||||||||||||
11. –13x1 +25x2 +x3 +2x4 +3x5 =0, |
12. |
6x1 –8x2 –x3 + x4 +3x5 |
|
= –5,. |
||||||||||||||||||||||
|
–2x1 |
+3x2 –10x3 +4x5 = –9. |
|
–2xМосква1 +2x2 –6x3 +2x4 |
–4x5 =2. |
|||||||||||||||||||||
|
2x2 |
–2 x4 |
+3x5 |
= –5, |
|
|
2x2 +x3 +4x4 +3x5 |
= –1, |
||||||||||||||||||
|
–13x1 +27x2 +5x3 +4x4 –2x5 =11. |
|
–7x1 +13x2 +3x3 +5x4 +2x5 = 4. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
2x1 |
+5x2 +7x3 +9x4 +7x5 = 14, |
14. –2x1 –3x2 +4x3 +6x4 +10x5 =–3, |
|||||||||||||||||||||||
|
–7x1 |
+2x2 +4x3 –3x4 –5x5 |
= –1, |
|
|
3x1 +x2 –2x3 –4x4 –6x5 =10, |
||||||||||||||||||||
|
–5x1 |
+4x2 +3x3 –2x4 –x5 |
= 2. |
|
|
3x1 –4x2 +x3 –5x4 +4x5 = 7. |
||||||||||||||||||||
15. x1 +2x2 + x4 |
= 8, |
|
|
|
16. x1 +2x2 +3x3 –4x4 +4x5 = 5, |
|||||||||||||||||||||
|
2x2 +3x3 +7x4 +5x5 |
=18, |
|
2x1 +x2 +2x3 + 2x5 |
|
= 5, |
|
|||||||||||||||||||
|
x1 +2x2 +3x3 +8x4 +3x5 =20. |
|
2x1 +3x2 +3x3 –2x4 +6x5 =5. |
|||||||||||||||||||||||
17. |
2x1 |
+3x2 –2x3 +12x4 +8x5 =3, |
18. 2x1 +3x2 +x3 +13x4 +9x5 =8, |
|||||||||||||||||||||||
|
2x1 |
+2x2 +10x4 +6x5 =8, |
|
|
x1 –2x2 +4x3 –4x4 +x5 |
|
= –3, |
|||||||||||||||||||
|
Для |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
19. |
x1 +3x2 +2x3 |
+2x4 |
–2x5 |
= –1, |
20. x1 |
+3x2 |
+2x3 |
+5x4 |
+8x5 |
= 15, |
||||||||||||||||
|
2x1 +2x2 +x3 |
|
= 3, |
|
|
|
|
|
2x1 +2x2 +3x3 +7x5 |
= 13, |
||||||||||||||||
|
3x1 +x2 +2x3 –2x4 +2x5 |
= 1. |
|
–x1 –2x2 +x3 –8x4 –3x5 = 3. |
||||||||||||||||||||||
21. |
x1 +2x2 –2x3 +3x4 –x5 |
= 3, |
22. x1 –2x2 +3x3 –x4 +2x5 =10, |
|||||||||||||||||||||||
|
2x1 +3x2 –x3 +4x4 –x5 = 5, |
|
2x1 +2x2 –3x3 –2x4 –2x5 = –4, |
|||||||||||||||||||||||
|
–3x |
|
+x |
|
–15x |
+5x |
–4x |
= –2. |
–3x |
|
+4x |
+2x |
|
+3x |
|
–4x |
|
|
= 26. |
36
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
|
|
|||
23. |
x1 +2x2 –2x3 +x4 +x5 |
= 0, |
|
24. x1 +2x2 +2x3 |
–4x4 –2x5 =0, |
||||||||
|
2x1+2x2 –2x4 |
= 7, |
|
|
|
2x1 –2x2 +x3 –2x4 +2x5 = –3, |
|||||||
|
x1 +3x2 –4x3 +3x4 +2x5 = –2. |
x1 +2x2 –2x3 +4x4 –2x5 = 4. |
|||||||||||
25. |
2x1 +x2 –2x3 –3x4 +x5 = –1, |
26. 2x1 – x3 +x4 +x5 |
= 4, |
|
= 2. |
||||||||
|
–5x1 +6x2 +x3 |
+3x4 |
+15x5 |
= –6. |
–6x1 |
+2x2 |
–3x3 |
–8x4 |
+10xМБИ5 |
||||
|
3x1 +3x2 +2x3 |
+2x4 |
+11x5 |
=4, |
2x1 |
+x2 –x3 +5x4 |
–x5 = –6, |
||||||
|
5x1 +4x2 +x3 +2x4 +15x5 = 5. |
3x1 +5x2 +10x4 –2x5 = –1. |
|
||||||||||
27. |
–3x1 +4x2 +x3 +3x4 –2x5 = 26, |
28. 4x1 +2x2 +3x3 +x4 +23x5 = –10, |
|||||||||||
|
–3x1 +3x2 +x3 +2x4 +2x5 = 20, |
–5x1 +2x2 –3x3 +2x4 +9x5 = –7, |
|||||||||||
|
7x1 +x2 – 2x4 +3x5 |
= 3. |
|
x1 –2x2 +2x3 –x4 –8x5 = 5. |
|||||||||
29. |
–5x1 +8x2 +3x3 +4x4 |
+25x5 = 2, |
30. 4x2 –3x3 +2x4 +14x5 = 7, |
|
|||||||||
|
самостоятельной |
–2x2 |
+2x3 |
+2x4 |
= 1, |
|
|||||||
|
–4x1 +6x2 +2x3 +3x4 |
+18x5 = 0, |
2x1 |
|
|||||||||
31. |
2x1 –3x2 +5x3 +7x4 |
= 1, |
|
32. 9x1 |
|
ВПО |
|
= 4, |
|
. |
|||
|
–3x2 +5x3 |
+6x4 |
|
||||||||||
|
4x1 –6x2 +2x3 +3x4 |
= 2, |
|
6x1 |
–2x2 +3x3 |
+x4 |
= 5, |
г |
|||||
|
2x1 –3x2 –11x3 –15x4 |
= 1, |
|
3x1 |
–x2 +3x3 +14x4 |
= –3. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
|
Задание 3. Является ли данная система векторов линейно зависимой? Найти |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
базис данной системы векторов. Разложить вектора системы по найденному |
|||||||||||||
базису. Перейти к новому базису и разложить по нему вектора системы. |
|||||||||||||
1. |
А1=(1,–1,0), А2=(–5, 4,–2), А3=(2, 2, 2), А4=(–1,–1,1), А5=(3, 0, 3); |
||||||||||||
2. |
А1=( 2,3,4 ), А2=(–4,–6,–8 ), А3=(5,4,17), А4=(3, |
,11 ), А5=(4,7,5 ); |
|||||||||||
3. |
А1=(6,9,6), А2=(–2,–3,–2), А3=(2,4,6), А4=(5,8,7), А5=(7,9,1); |
||||||||||||
4. |
А1=(2,–3,4), А2=(–4,6,–8), А3=(5,–7,3), А4=(–20,–28,12), А5=(4,3,8); |
||||||||||||
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
А1=(5,2,7), А2=(6,3,9), А3=(–2,–1,–3), А4=(7,4,5), А5=(4,2,6); |
||||||||||||
6. |
А1=(1,3,2), А2=(–1,2,3), А3=(6,9,3), А4=(–3,–9,–6), А5=(2,–4,–6); |
||||||||||||
7. |
А1=(3,2,4), А2=(2,3,1), А3=(1,1,–1), А4=(2,2,–2), А5=(5,5,–5); |
||||||||||||
8. |
А1=(–3,–5,2), А2=(–2,–3,2), А3=(2,3,–2), А4=(4,7,3), А5=(1,2,3); |
||||||||||||
9. |
А1=(2,6,4), А2=(–1,–3,–2), А3=(1,1,–1), А4=(7,4,2), А5=(5,7,7); |
||||||||||||
10. |
А1=(2,–2,2), А2=(3,3,–2), А3=(4,5,3), А4=(2,1,3), А5=(4,7,9); |
|
|||||||||||
11. |
А1=(2,5,7), А2=(3,1,3), А3=(4,5,8), А4=(–3,8,8), А5=(–6,–2,–6); |
||||||||||||
12. |
А1=(4,1,3), А2=(–2,–1,3), А3=(1,–2,2), А4=(5,–3,0), А5=(7,3,–1); |
||||||||||||
13. |
А1=(1,2,7), А2=(7,5,4), А3=(2,3,9), АМосква4=(3,2,1), А5=(6,4,2); |
|
|
||||||||||
14. |
А1=(3,5,3), А2=(–9,–8,–5), А3=(2,1,1), А4=(9,8,7), А5=(5,6,5); |
||||||||||||
15. |
А1=(5,2,–11), А2=(2,4,2), А3=(7,3,–15), А4=(–3,–6,–3), А5=(1,2,1); |
||||||||||||
16. |
А1=(1,1,2), А2=(2,1,1), А3=(4,4,8), А4=(6,3,3), А5=(5,5,10); |
|
|
||||||||||
17. |
А1=(2,4,5), А2=(3,3,4), А3=(3,2,5), А4=(–3,4,2), А5=(–6,–1,–2); |
||||||||||||
18. |
А1=(2,1,3), А2=(1,3,5), А3=(2,3,1), А4=(1,1,–1), А5=(3,3,–3); |
|
|||||||||||
19. |
ДляА1=(1,3,5), А2=(2,4,6), А3=(3,5,7), А4=(–1,2,5), А5=(–3,0,3); |
|
37
20. |
А1=(3,2,4), А2=(4,3,5), А3=(6,9,3), А4=(–4,–6,–2), А5=(3,4,2); |
|
|||||||||||||
21. |
А1=(1,0,2), А2=(2,0,3), А3=(3,0,4), А4=(1,1,0), А5=(2,2,0); |
|
|
||||||||||||
22. |
А1=(2,1,3), А2=(3,2,4), А3=(4,3,5), А4=(5,4,6), А5=(5,3,7); |
|
|
||||||||||||
23. |
А1=(–2,2,3), А2=(–1,1,2), А3=(–3,3,4), А4=(2,–1,1), А5=(1,1,1); |
||||||||||||||
24. |
А1=(2,2,0), А2=(0,2,2), А3=(2,0,2), А4=(2,4,2), А5=(2,2,4); |
|
|
||||||||||||
25. |
А1=(2,2,1), А2=(3,2,1), А3=(5,4,2), А4=(–2,0,0), А5=(9,8,4); |
|
|
||||||||||||
26. |
А1=(4,3,2), А2=(3,2,1), А3=(5,4,2), А4=(2,0,–2), А5=(0,3,4); |
|
|
||||||||||||
27. |
А1=(1,1,2), А2=(2,2,3), А3=(3,3,4), А4=(4,4,5), А5=(–1,–1,0); |
|
|||||||||||||
28. |
А1=(–3,–2,1), А2=(–2,0,2), А3=(–3,2,2), А4=(2,3,5), А5=(–1,1,6); |
||||||||||||||
29. |
А1=(2,2,3), А2=(1,–1,2), А3=(3,1,1), А4=(4,0,–1), А5=(5,–1,–3); |
||||||||||||||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
|
|
|||
А1=(1,1,–1), А2=(2,3,–2), А3=(1,2,–1), А4=(3,5,–3), А5=(5,8,–5); |
|||||||||||||||
31. |
А1=(2,1,4), А2=(3,3,1), А3=(2,–2,3), А4=(–1,2,2), А5=(5,2,4);МБИ |
|
|||||||||||||
32. |
А1=(0,1,1), А2=(–1,1,4), А3=(–4,2,1), А4=(2,2,–4), А5=(8,7,6). |
|
|||||||||||||
Задание |
4. Найти обратную матрицу |
А–1 |
к |
данной матрице А. Сделать |
|||||||||||
проверку |
умножением |
найденной |
матрицы |
на |
исходную |
|
. |
||||||||
матрицу слева и |
|||||||||||||||
справа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Матрицу |
А получить из матрицы в 1-м задании, |
вычеркиванием первой |
||||||||||||
и пятой строк, а также первого и пятого столбца. |
ВПО |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 5. Найти матрицу «затраты |
выпуск» для конечного спроса продукции |
||||||||||||||
отраслей |
– А, |
В, (С) |
народного |
хозяйства |
через |
Т лет. Конечный спрос |
|||||||||
продукции отраслей задан матрицей Dk, где индекс |
k |
2013 |
|
|
|||||||||||
соответствует номеру |
|||||||||||||||
варианта. |
Исходная годовая зависимость между отраслями А, В. (С) задана |
||||||||||||||
матрицей «затраты выпу к» в таблице |
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ида: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Отрасль потребитель |
|
Затраты |
Конечный |
|
Общее |
||||||||
|
|
|
|
|
|
продукт – |
производство |
||||||||
|
Отр сль |
|
|
А |
В |
(С) |
продукция |
|
(выпуск) |
||||||
|
производитель |
|
для рынка |
продукции |
|||||||||||
|
Производство |
А |
|
|
Москва |
|
|
|
|
|
|||||
Для |
(выпусксамостоятельной) про укции B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(С) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные капитал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(затраты) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общие затраты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные: |
|
|
|
|
работы |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
52 |
20 |
80 |
|
D1 |
D2 |
120 |
384 |
|
96 |
600 |
|
|
||
|
58 |
41 |
|
МБИ |
|||||||||||
56 |
26 |
48 |
130 |
|
79 |
49 |
420 |
280 |
252 |
952 |
|||||
16 |
52 |
|
|
|
|
D5 |
D6 |
60 |
288 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
12 |
3 |
|
1 |
20 |
80 |
16 |
|
|
80 |
44 |
220 |
|||
|
1 |
8 |
|
|
|||||||||||
8 |
9 |
6 |
|
7 |
30 |
10 |
3 |
60 |
48 |
|
|
20 |
32 |
160 |
|
2 |
3 |
3 |
|
7 |
15 |
7 |
3 |
40 |
32 |
|
|
60 |
68 |
200 |
|
6 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
40 |
64 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16 |
30 |
20 |
14 |
80 |
D9 |
D10 |
20 |
40 |
|
|
30 |
10 |
100 |
||
20 |
25 |
|
|
||||||||||||
32 |
15 |
80 |
23 |
160 |
50 |
40 |
30 |
20 |
|
ВПО |
60 |
200 |
|||
|
|
90 |
|||||||||||||
24 |
75 |
40 |
61 |
200 |
70 |
75 |
40 |
100 |
|
60 |
100 |
300 |
|||
8 |
30 |
60 |
|
|
D13 |
D14 |
10 |
40 |
|
120 |
|
|
г |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
20 |
48 |
18 |
14 |
100 |
24 |
30 |
22 |
80 |
|
|
76 |
42 |
220 . |
||
30 |
12 |
64 |
24 |
130 |
33 |
40 |
88 |
40 |
|
|
38 |
34 |
200 |
||
30 |
36 |
36 |
78 |
180 |
75 |
80 |
66 |
60 |
|
|
57 |
7 |
190 |
||
20 |
34 |
62 |
|
|
|
|
ЧОУ |
20 |
|
|
19 |
|
|
|
|
20 |
0 |
40 |
40 |
100 |
D17 |
D18 |
10 |
5 |
|
|
40 |
45 |
1 |
0 |
|
70 |
50 |
|
|
||||||||||||
40 |
40 |
100 |
20 |
200 |
50 |
50 |
30 |
0 |
|
|
30 |
40 |
100 |
||
0 |
80 |
40 |
80 |
200 |
120 |
100 |
20 |
40 |
|
|
0 |
40 |
100 |
||
40 |
80 |
20 |
|
|
|
|
Москва |
30 |
|
|
|
||||
|
|
D21 |
D22 |
40 |
55 |
|
|
|
|
|
|||||
30 |
Для |
20 |
20 |
студентов |
11 |
40 |
|
|
38 |
21 |
110 |
||||
60 |
130 |
40 |
30 |
|
|
||||||||||
35 |
15 |
70 |
30 |
150 |
50 |
45 |
44 |
20 |
|
|
19 |
17 |
100 |
||
25 |
40 |
45 |
90 |
200 |
60 |
120 |
32 |
30 |
|
|
28 |
5 |
95 |
||
40 |
35 |
65 |
|
|
D25 |
D26 |
23 |
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|
60 |
75 |
65 |
200 |
|
104 |
100 |
240 |
220 |
|
90 |
600 |
|
|
||
80 |
30 |
40 |
150 |
|
172 |
150 |
300 |
90 |
|
|
60 |
450 |
|
|
|
60 |
45 |
|
|
|
|
D29 |
D30 |
60 |
90 |
|
|
|
|
|
|
30 |
56 |
24 |
110 |
|
240 |
750 |
210 |
1200 |
|
|
|||||
|
74 |
50 |
|
|
|||||||||||
50 |
8 |
22 |
80 |
|
37 |
50 |
720 |
450 |
330 |
1500 |
|
|
|||
30 |
16 |
|
|
|
|
|
|
240 |
300 |
|
|
|
|
|
D3 D4 140 160
287 220
D7 D8 50 80
60 50
80 70
D11 D12
150 95
280 200
420 200
D15 D16
68 50
51 50
17 20
D19 D20
100 90
50 70
80 90
D23 D24
30 15
30 30
10 20
D27 D28
63 80
105 100
D31 D32
312 300
299 300
39
|
|
|
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2. 1. Введение в линейную оптимизацию |
|
|
||||||||
|
Из курса математического анализа [4] извес но, ч о для непрерывных |
|||||||||||||||
функций нескольких переменных fi (X), i M=(1,2,…,m), где Х=(х1, … , хj, … , |
||||||||||||||||
хn), множество вида W = { X Rn : fi (X) 0, |
i I; fi |
(X) = 0, |
i M\I} является |
|||||||||||||
замкнутым, т.е. оно содержит все свои предельные точки. Если при этом |
||||||||||||||||
множество W является еще и ограниченным, т.е. это множество можно |
||||||||||||||||
поместить в n-мерный параллелепипед, то непрерывная на этом множестве |
||||||||||||||||
функция f (X) достигает как глобального минимума, так и глобального |
||||||||||||||||
максимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если при этом все указанные функции зависят от двух переменных, то |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МБИ |
|
|
нахождение глобального экстремума (минимума или максимума) функции f (X) |
||||||||||||||||
на множестве W можно осуществить графически. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пусть необходимо найти наибольшее (наименьшее) |
значение линейной |
||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
f(x1, x2) = γ1 x1 + γ2 x2 +γ0 |
|
|
.(1) |
|||||||
на множестве W, принадлежащем плоскости и заданном системойг |
линейных |
|||||||||||||||
неравенств: |
|
|
|
|
ai1 х1 + ai1 х2 |
|
bi , i=1,2, … , n. |
|
(2) |
|||||||
|
Для |
|
решения |
поставл нной |
|
задачи |
ВПО |
|
|
что |
скалярное |
|||||
|
|
|
вспомним, |
|||||||||||||
произведение двух векторов Г = ( γ1, γ2) и Х = (x1, x2) (где вектор Х есть радиус– |
||||||||||||||||
вектор точки Х(х1, х2)) |
определяется: либо как (Г,Х) = γ1 x1 + γ2 x2, либо как |
|||||||||||||||
(Г,Х) |
= |
Г |
Х |
Cosφ, |
где φ – угол |
между |
данными векторами. Последнее |
|||||||||
определение эквивалентно соотношению (Г, Х) = |
2013 |
|
где ПрГ Х– |
|||||||||||||
Г |
ПрГХ , |
|||||||||||||||
проекция вектора Х на вектор Г. Абсолютная величина этой проекции равна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
расстоянию от начала координат до прямой линии L, задаваемой уравнением |
||||||||||||||||
вида γ1 x1 + γ2 x2 + [γ0 – f(x1,х2)] = 0 (рис.1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
grad f(X) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
X(x1,x2) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ПрГХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
γ1x1+ γ2x2=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для |
|
|
|
|
|
студентов |
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|