Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес
.pdfdet A = det AT. |
|
работы |
|
|
|
|
|
Доказательство можно провести для определителя 3-го порядка |
|||
используя его определение или свойство 1. |
|
|
|
Замечание. Из свойства 2 следует, что столбцы и с роки определителя |
|||
a11 a12 a13 |
a12 a11 a13 |
|
МБИ |
матрицы равносильны. Поэтому последующие св йства определителей будем формулировать только для столбцов.
3. Если поменять местами два столбца матрицы, то абсолютная величина
определителя |
матрицы |
не |
изменится, |
|
знак |
|
изменится |
на |
||||||||||
противоположенный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Например, для определителя матрицы 3-го порядка , используя его |
|
|||||||||||||||
|
|
|
a |
|
самостоятельнойa a |
ВПО |
|
|
|
|
|
|||||||
определение, можно доказать, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
det |
a21 |
a22 |
|
a23 |
|
= |
– det a22 |
a21 |
a23 . |
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
|
a23 |
a31 |
a33 |
|
|
|
г |
|
|
|||
4. Определитель матрицы А11 с двумя одинаковыми столбцами равен нулю. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
|
|
Например, пусть в матрице 3-го порядка одинаковы два первых столбца. |
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
||
det |
a11 |
a11 |
|
a13 |
= |
. Пом няв м стами эти столбцы, по свойству 3 получим |
||||||||||||
a21 |
a21 |
|
a23 |
|||||||||||||||
|
a31 |
a31 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
det |
a11 |
a11 |
|
a13 |
= – |
. Откуда следует, что |
= – |
2 = 0 |
|
|
= 0. |
|
||||||
a21 |
a21 |
|
a23 |
|
|
|
||||||||||||
|
a31 |
a31 |
|
a33 |
|
студентов |
Москва |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Общий множи |
ель одного столбца определителя матрицы |
|
|
|
|||||||||||||
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Aλ = a21 |
|
a22 |
a23 |
можно вынести за знак определителя. |
|
|
|
|
||||||||||
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
Например, используя свойство 1 можно п казать, что detAλ = det a21 |
a22 |
a23 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
= λdet |
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
= λdetA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для |
|
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Следствие. Если элементы одного столбца матрицы умножить на число, |
||||||||||||||||
то значение определи еля этой матрицы увеличится во столько же раз. |
|
|||||||||||||||||
6. |
Определитель матрицы, у которой элементы двух столбцов |
|
|
|
пропорциональны, равен нулю.
Например, пусть в матрице 3-го порядка элементы первых двух столбцов пропорциональны, т.е. λ = а11/a12 = a21/a22 = a31/a32.Тогда а11 = λa12 , a21 = λa22 ,
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
|
||
a31 = λa32. Следовательно, det Aλ = λ detA11 = λ 0=0. |
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Если каждый элемент одного столбца матрицы есть сумма 2-х некоторых |
|||||||||||||
элементов, то определитель такой матрицы может бы |
ь представлен как |
|||||||||||||
сумма определителей двух матриц. |
|
|
|
|
|
|
МБИ |
|||||||
|
Например, если у определителя матрицы 3-го п рядка элементы первого |
|||||||||||||
столбца равны сумме двух элементов, то, |
разложив |
|
этот определитель по |
|||||||||||
первому столбцу, используя свойство 1, получим |
|
|
|
|
||||||||||
|
a11 |
b11 |
|
a12 |
a13 |
a11 |
a12 |
a13 |
|
b11 |
a12 |
a13 |
|
|
det |
a21 |
b21 |
|
a22 |
a23 = det |
a21 |
a22 |
a23 |
+ det |
b21 |
a22 |
a23 . |
|
|
|
a31 |
b31 |
|
a32 |
a33 |
a31 |
a32 |
a33 |
|
b31 |
a32 |
a33 |
|
|
8. |
|
|
самостоятельной |
изменится, |
|
если к элементам |
||||||||
Значение |
определителя |
матрицы |
не |
|
некоторого столбца матрицы прибавить элементы другого столбца,
умноженные на одно и то же число. |
|
|
|
|||
▲ После замены элеме тов столбца исходной матрицы суммой |
||||||
элементов |
этого |
столбца и |
элементов |
другого |
столбца, умноженных на |
|
некоторое |
число, |
определитель такой |
матрицы |
|
. |
|
по свойству 7 можно |
||||||
|
|
|
|
|
2013 |
г |
представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен нулю, |
||||||
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
так как имеет два одинаковых столбца, а другой ВПОравен определителю исходной |
||||||
матрицы.■ |
|
|
|
|
|
|
9. Если один из столбцов ма |
рицы является линейной комбинацией некоторых |
других столбцов этой матрицы, то определитель такой матрицы равен нулю.
Например, элементы 3-го столбца исходной матрицы 3-го порядка являются линейной к мбинацией элементов первых двух столбцов той же матрицы, т.е. ai3 = λ1 ai1 + λ2 ai2, i=1,2,3. Тогда определитель исходной матрицы
по свойству 7 пред тавим в |
иде суммы определителей двух матриц, которые |
||||
равны нулю, так как имеют |
динаковые столбцы после вынесения общего |
||||
множителя за знак |
пределителя. |
Следовательно, определитель исходной |
|||
матрицы равен нулю. |
|
|
|
||
10. |
Определитель |
атрицы, |
у которой каждый элемент некоторого столбца |
||
равен нулю, будет рав н нулю. |
|
|
|||
|
▲ И пользуя свойство 1, разложить определитель матрицы по столбцу, |
||||
каждый элемент которого равен нулю.■ |
Москва |
||||
|
|||||
Ответьте на вопросы |
|
|
|
||
1. |
Каждая ли ма рица имеет определитель? |
||||
2. |
Как вычи лить определитель матрицы 2-го и 3-го порядка? |
||||
3. |
Как вычислитьстудентовминор элемента aij матрицы n-го порядка? |
||||
4. |
Для |
|
|
дополнение элемента aij матрицы n-го |
|
Как вычислить алгебраическое |
12
|
порядка? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Перечислите основные свойства определителя матрицы. |
|
|
||||||||||||||||
6. |
Как вычисляется определитель матрицы, порядок которой больше 3-х? |
||||||||||||||||||
7. |
Изменится ли величина определителя матрицы, если в матрице заменить |
||||||||||||||||||
|
строки столбцами? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
Изменится ли величина определителя матрицы, если в матрице поменять |
||||||||||||||||||
|
местами две строки? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Как изменится величина определителя м трицы, если матрицу умножить на |
||||||||||||||||||
|
число, не равное нулю? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.Перечислите виды матриц, определители кото ых равны нулю. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
самостоятельной |
|
ВПО |
|
МБИ |
||||||||||
Решите самостоятельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
Вычислите определители следующих матриц: |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b 1 1 |
|
|
a |
a a |
|
5 6 7 |
|
5 3 1 |
|||
2 3 , |
4 |
5 , |
b 0 0 , |
m a |
m a a , |
2 3 4 , |
|
г |
|||||||||||
|
6 4 2 , |
||||||||||||||||||
6 |
9 |
х2 |
4 |
2 |
|
|
1 |
|
16 |
|
20 |
|
|
|
2013 |
|
|||
4 |
|
3 |
|
|
0 b |
|
b |
|
n a |
2n a a |
|
8 9 12 |
|
21 13 4 |
|||||
3 |
1 |
2 |
0 |
|
|
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
2 0 1 1 |
, |
|
2 3 4 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
4 |
3 |
4 |
6 |
|
|
|
Москва |
|
|
|
|||
2. |
Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
det |
|
|
|
|
|
= 0 ; |
|
det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
х |
|
2 |
|
х |
|
2 |
|
1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
||||
|
Для |
|
|
|
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2х |
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
работы |
|
1.3. Системы линейных уравнений |
|
Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными |
|
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1j xj +…+ a1n xn = b1, |
|
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2j xj +…+ a2n xn = b2, |
|
…………………………………………., |
(1) |
ai1 x1 + ai2 x2 +…+ aij xj +….+ ain xn = bi, |
|
…………………………………………., |
|
am1 x1+ am2 x2 +…+amjxj +…+ amnxn = bm. |
где xj |
– неизвестное, |
j = 1, 2, …, n; |
aij – коэффициент при j-м неизвестном в |
|||||||||
|
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|
|||||
i-м уравнении i = 1, 2, …, m; bi – свободный член i-го уравнения. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВПО |
|
|
|
|
Обозначим |
матрицу условий, |
вектор |
неизвестных иМБИвектор свободных |
||||||||
членов системы линейных уравнений (далее кратко СЛУ) соответственно: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
a11 |
. |
|
. |
. |
a1n |
|
|
x1 |
|
b1 |
г |
|
. |
. |
|
. |
. |
. |
= А, |
|
... |
=X, . .. = B |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
am1 . |
|
. |
. |
amn |
|
|
xn |
|
bm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
Тогда матричная форма записи СЛУ (1) будет иметь вид АХ = В. |
||||||||||||
|
Если обозначить А1 = (а11, … , а1n), … , Аm = (аm1, … , amn), то векторная |
|||||||||||
форма записи СЛУ (1) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
А1Х = b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АmX = bm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же |
… =A1, … , …. = An , то A1 x1 + A2 x2 + … + An xn = B. |
||||||||||
|
|
|
аm1 |
|
amn |
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Решением СЛУ (1) называется такой набор из n чисел {k1, … , kn}, или такой n-мерный век ор К = ( k1, … , kn ), что каждое уравнение СЛУ (1) обращается в вер ое числовое равенство после замены в нем неизвестных xj соотв тствующими числами kj, где j = 1, 2, …, n.
Определение. Если СЛУ (1) не имеет ни одного решения, то она |
|
называется несовместной. |
Москва |
Для |
|
Определение. Если СЛУ (1) обладает хотя бы одним решением, то она называется совместной.
Определение. Совместная СЛУ называется определенной, если она обладает одним единственным решением, и неопределенной, если решений более, чем одно.
Определение. Две СЛУ называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.
14
Определение. |
Если |
в |
i-м |
работы |
при всех |
|
уравнении |
коэффициенты |
|||||
неизвестных и свободный член равны нулю, т.е. аi1 |
= аi2 = …. = аin = bi = 0, то |
|||||
любой n-мерный вектор является решением этого уравнения, поэтому такое |
||||||
уравнение называется тривиальным. |
|
|
|
|||
Определение. |
Если |
в |
i-м |
уравнении |
к эффициенты |
при всех |
неизвестных равны нулю, т.е. аi1 = аi2 = …. = аin = 0, а свободный член не равен
нулю, т.е. bi |
≠ 0, то не возможно найти n-мерный вектор, который является |
|||||||
решением |
этого |
уравнения, |
поэтому |
т кое уравнение называется |
||||
противоречивым. |
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Система линейных уравнений, содержащая тривиальное |
||||||||
уравнение, равносильна той же системе без тривиального уравнения. |
||||||||
▲ Рассмотрим систему линейных уравнений (1) и туМБИже систему (2), но |
||||||||
без тривиального уравнения. |
|
|
|
|
. |
|||
|
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1j xj +…+ a1n xn = b1, |
|
|
|||||
|
……………………………………… |
|
(2) |
|
||||
(1) |
am1 x1+ am2 x2 +…+amjxj +…+ amnxn = bm. |
|
|
|||||
|
|
г |
||||||
|
0 x1 + 0 x2 + … + 0 xj +….+ 0 xn = 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Пусть вектор К = (k1, … , kn) является решением системы ( ), тогда этот |
||||||||
вектор является и решени м сист мы (2). |
|
ВПО |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
Обратно, пусть век ор L = ( ℓ1, … , ℓn) является решением системы (2). |
||||||||
Так как |
n-мерный |
вектор L вляется и решением тривиального уравнения, то |
||||||
он является решением системы (1). |
|
|
|
2013 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом система линейных уравнений , содержащая тривиальное |
||||||||
уравнение, равносильна э ой же системе без тривиального уравнения.■ |
||||||||
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
(*) |
x2 |
+3x4 |
–x5 +x7 = 5, |
Москва |
|
|
||
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|||
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
Следствие. При решении систем линейных уравнений тривиальное |
||||||||
уравнение можно не рассматривать (вычер ивать). |
|
|
||||||
Определение. Неизвестн е |
хj называет я разрешенным, если в системе |
линейных уравнений (1) сущес вует s-е уравнение, содержащее это неизвестное с коэффициентом аsj =1, а в остальных уравнениях системы (1) коэффициенты при этом неизвестном равны нулю, т.е. аij =0 при i ≠ s.
Пример. x1 +2x4 –2x5– x6 = 3
x3 +x4 –15x5 – 4x6 = –2.
где x1, x2, x3, x7 – разрешенные неизвестные.
Определение. Система линейных уравнений называется разрешенной,
если каждое уравнение системы содержит хотя бы одно разрешенное
неизвестное. |
|
ПримерДля |
. Система (*) является разрешенной. |
15
Определение. Если из каждого уравнения данной разрешенной системы линейных уравнений выбрать по одному разрешенному неизвестному, то полученную совокупность неизвестных называют набором разрешенных неизвестных данной системы.
Пример. В системе (*) можно выбрать два набор разрешенных неизвестных:
(х1. х2, х3) и (х1, х7. х3).
Рассмотрим разрешенную систему с n неизвестными: х1, … хn, для которой существует набор из r разрешенных неизвестных: х1, … хr. Такую систему принято называть общим решением. При этом возможны два
варианта: |
|
|
работы |
МБИ |
||||
|
|
|
|
|||||
А) Если r = n , то система имеет единственное решение: |
||||||||
|
x1 |
= b1 |
|
|
|
|
||
(2) |
x2 |
= b2, |
|
|
|
|
|
. |
…………. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
xr = br. |
|
|
|
|
|
|
В) Если r < n , то систему можно записать в виде: |
|
|
|
|||||
|
x1 |
+ а1, r+1 хr+1 + … + а1n хn = b1 |
ВПО |
|
|
г |
||
|
x2 |
+ а2, r+1 хr+1+ … + а2n |
хn = b2, |
|
|
|
||
(3) |
|
…………………………….. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xr + аm, r+1 хr+1 + … + аrn хn = br. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Неизвестные называются |
свободными для данного |
||||||
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
набора разрешенных неизвестных разрешенной системы линейных уравнений, |
||||||||
если они не вошли в данный набор. |
ЧОУ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|
|
Если всамостоятельнойразрешенной системе линейных уравнений (4) придать свободным |
|||||||
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
Пример. В системе (3) с ободными неиз естными являются хr+1, … , хn, а
в (*)неизвестные х4, х5, х6 , х7 я ляются свободными для набор (х1, х2, х3).
|
Систему (3) м жно записать в виде |
|
|
x1 = b1 + c1, r+1 хr+1 + … + c1n хn |
где сij = –аij и (4) (3) |
|
x2 = b2 + c2, r+1 хr+1+ … + c2n хn, |
|
(4) |
…………………………….. |
|
|
xr = br.+ cm, r+1 хr+1 + … + crn хn. |
|
|
Теорема (свойство свободных неизвестных) |
|
Для |
|
|
неизвестным хr+1, … , хn, произвольные значения kr+1, … , kn, т.е. хr+1= kr+1, … , |
||
хn= kn, то найде ся единственное решение |
этой системы в виде n –мерного |
вектора К, у которого значения координат, соответствующих свободным неизвестным, равны соответственно kr+1, … , kn.
▲ Подставим хr+1= kr+1, … , хn= kn в систему (4). Тогда разрешенные неизвестные х1, … хr примут значения k1, … kr такие, что:
16
k1 = b1 + c1, r+1 kr+1 + … + c1n kn , k2 = b2 + c2, r+1 kr+1 + … + c2n kn,
(5)……………………………..
kr = br.+ cm, r+1 kr+1 |
|
+ … + crn kn. |
работы |
МБИ |
||
|
|
|
||||
ℓ2 = b2 + c2, r+1 kr+1 |
+ … + c2n |
kn, |
|
|
||
Так как вектор К = (k1 |
, … , kr |
, kr+1, … , kn ) |
бращает каждое уравнение |
системы (4) в точное числовое равенство,то он является решением этой системы. Таким образом, доказано существование решения системы (4).
Докажем единственность такого решения. Пусть вектор L= (ℓ1 , … , ℓr, kr+1, … , kn) с теми же значениями свободных неизвестных является также решением системы (4). Тогда подставив его в систему (4), получим:
|
|
|
ℓ1 = b1 + c1, r+1 kr+1 + … + c1n kn, |
|
|
|
|
||||
(6) |
|
|
…………………………….. |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
ℓr = br.+ cm, r+1 kr+1 + … + crn |
kn. |
|
|
|
||||
|
|
Сопоставляя (5) и (6), видим, |
что ℓ1= |
k1, … , ℓr= |
|
||||||
|
|
kr. Таким образом, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
доказано, что существует единственное решение системы (4) с заданными |
|||||||||||
значениями свободных неизвестных. ■ |
|
ВПО |
|
|
|
||||||
|
|
Замечания: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Так |
как значения свободных неизвестных можно задать бесконечно |
|||||||||
большим числом способов, то система (4) является неопределенной. |
|||||||||||
2. |
Разрешенная система линейных уравнений всегда совместна. При этом она |
||||||||||
определена, если |
|
|
|
|
2013 |
|
|||||
m = n , т.е. число уравнений р вно числу неизвестных, и не |
|||||||||||
определена, если число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. m < n. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование систем линейных уравнений |
|||||||
|
|
Мы |
уже представляем, как |
выглядит |
общее решение разрешенной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|
|
|
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|||
|
|
Покажем, чтостудентовсуществует преобразование, которое позволяет перейти от |
|||||||||
системы линейных уравнений. Поэтому, чтобы найти решение данной |
|||||||||||
совместной систе ы линейных уравнений, необходимо перейти от данной |
|||||||||||
системы к р вносильной ей разрешенной системе. |
|
|
|
||||||||
|
|
Рассмотрим сист му линейных уравнений: |
|
|
|
||||||
Для |
|
А1Х=b1, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
……… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
Х=bi, |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……… |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
АjХ=bj, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АmX=bm , |
где Аi = ( аi1 , … ,аin ), I = 1, 2, … , m, |
|
Х = (х1, …, хn)T |
исходной системы линейных уравнений к равносильной разрешенной системе.
17
Утверждение. Элементарные преобразования:
умножение обеих частей любого уравнения исходной системы на число, не равное нулю;
замена i-го уравнения в системе (1) АiХ= bi, уравнением вида АiХ+АjХ= bi + bj, позволяют переходить от исходной системы линейных уравнений к равносильной.
▲ Докажем вторую часть утверждения. Пусть вектор К решение системы (1), тогда вектор К решение любого уравнения системы (1) и поэтому обращает в верное числовое равенство i-е и j-е у авнения, т.е. АiК = bi и АjК = bj.
Сложив эти числовые равенства, получим числовое равенство АiК+АjК = bi + bj, |
||||
|
|
работы |
|
|
из которого следует, что вектор К является решением уравнения вида |
||||
i |
j |
ВПО |
|
МБИ |
АХ+АХ = bi + bj , а, следовательно, и системы |
|
|||
|
. |
|||
|
А1Х = b1, |
|
||
|
……… |
|
||
(2) |
АiХ+АjХ = bi + bj, |
|
||
……….. |
|
|||
|
АjХ = bj, |
|
||
|
…………. |
|
г |
|
|
АiХ+АjХ = bi + bj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как (2) отличается от (1) только i-м уравнением. |
|
|
||
|
Обратно, пусть вектор L р шение системы (2), тогда вектор L решение |
|||
каждого уравнения этой сис емы и обращает i-е и |
j-е уравнения в верные |
числовые равенства АiL+АjL = bi + bj и Аj L= bj. Вычитая одно равенство из |
|
другого, получаем верн е числовое равенство АiL = bi, из2013которого следует, что |
|
(1) ar1 x1 +самостоятельнойar2 x2 +…+ ars xs +….+ arn xn = br, |
следовательно и системы (1), |
вектор L является решением уравнения АiХ = bi, |
|
студентов |
|
так как (1) отличае ся от (2) только i-м уравнениемЧОУ |
. |
Таким образом, показано, что решение системы (1) есть решение системы
(2) и обратно, решение системы (2) есть решение системы (1). Следовательно, доказана равносильность сис ем (1) и (2). ■
Жорданово преобразование
Д на система лин йных уравнений |
|
где ars ≠ 0 |
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1s xs +…+ a1n xn |
= b1, |
|
………………………………………….,Москва |
|
1. УмножениеДля |
r-го уравнения системы (1) на число 1/ars , после чего получаем |
………………………………………….,
am1 x1+ am2 x2 +…+amsxs +…+ amnxn = bm.
Определение. Жордановым преобразованием системы линейных
уравнений разрешающим элементом ars ≠ 0 называется совокупность двух операций :
18
(3) |
a‘r1 |
x1 |
+ a‘ r2 x2 +…+ 1 xs +….+ a‘rn xn = b‘ r,работы |
|
|
систему |
|
|
a‘rj = arj/ars, по всем j ≠ s |
||
|
a11 |
x1 |
+ a12 x2 +…+ a1s xs +…+ a1n xn = b1, |
||
|
…………………………………………., |
|
|
||
(2) |
a‘r1 |
x1 |
+ a‘r2 x2 +…+ 1 xs +….+ a‘rn xn = b‘r, |
|
|
|
…………………………………………., |
|
МБИ |
||
|
am1 x1+ am2 x2 +…+amsxs +…+ amnxn = bm. |
|
2. При помощи r-го уравнения системы (2) исключаем из всех остальных уравнений системы неизвестное хs , прибавляя к 1-му уравнению r-е уравнение,
умноженное на (–а1s), ко 2-му уравнению – r-е ур внение, умноженное на (–а2s) и т.д. После чего система (2) преобразуется в систему
a’11 x1 + a’12 x2 +…+ 0 xs +…+ a‘1n xn = b‘1,
………………………………………….,
………………………………………….,
a‘m1 x1+ a‘m2 x2 +…+0 xs +…+ a‘mnxn = b‘m.
Таким образом, с помощью Ж рданова преобразования получили систему (3) с разрешенным неизвест ым хs. Так как Жорданово преобразование
решение, свободные переменные которого приравнены нулю. Пусть дана СЛУ (1):
состоят из последовательного применения элементарных преобразований, то |
||||||||||||||
оно переводит систему (1) в равносил ную систему (3). |
. |
|||||||||||||
|
г |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Выполнить Жорданово преобразование с разрешающим |
|||||||||||||
элементом а23=2 следующ й сист мы линейных уравненийВПО |
: |
|
|
|||||||||||
|
2х1 + 7х2 + 4х3 + х4 = 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А1 |
|
|
А2 |
|
А3 |
А4 |
В |
||||||
|
3х1 + 5х2 + 2х3 |
+ 2х4= 4, |
2 |
|
|
7 |
4 |
|
1 |
6 |
|
|
||
|
3 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||
|
4х1 + 4х2 + х3 + 7х4 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
4 |
1 |
|
7 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
|
|
||
|
|
|
|
–4 |
|
|
–3 |
|
0 |
|
–3 |
–2 |
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
2,5 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
1,5 |
|
0 |
|
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧОУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
и темы линейных уравнений методом Гаусса |
||||||||||||
|
Метод м Гаусса данная СЛУ преобразовывается в равносильную |
|||||||||||||
разрешенную СЛУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определение. |
Общим решением данн й системы линейных уравнений |
||||||||||||
называется р вносильная ей разрешенная система линейных уравнений. |
||||||||||||||
|
Определение. Частным решением данной СЛУ называют решение, |
|||||||||||||
полученное из общего, присвоениемМоскваконкретных значений свободным |
||||||||||||||
|
самостоятельной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
переменным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
Определение. |
Базисным решением данной СЛУ называется частное |
||||||||||||
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
|
|
|
|
|
|
|
|
работы |
|
(1) |
А1 |
А2 |
А3 |
… |
Аn |
В |
1-й |
шаг. Смотрим, в данной системе |
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
… |
a1n |
b1 |
линейных уравнений: |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
имеются ли тривиальные уравнения, |
|
|
am1 |
am2 |
am3 |
… |
amn |
bm |
если имеются, о вычеркиваем их; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МБИ |
имеются ли противоречивые уравнения, если имеются, то исходная система является несовместной и процесс решения заканчивается;
в каждом ли уравнении системы имеется разрешенная неизвестная, если в каждом, то найдено общее решение данной системы и процесс решения заканчивается. Если же найдется уравнение, в котором нет разрешенной неизвестной, то выбираем в нем разрешающий элемент, не равный нулю, например а11 ≠ 0, и выполняем преобразование Жордана. Тогда получим
систему (2) |
следующего вида: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2) |
|
А1’ |
|
А2’ |
|
А3’ |
|
… |
|
Аn’ |
|
В |
|
2-й шаг. Смотрим, в системе (2): |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
a‘12 |
|
a‘13 |
|
… |
|
a‘1n |
|
b‘1 |
|
|
имеются ли |
тривиальные уравнения, |
|
|
|
0 |
|
а‘22 |
|
a‘23 |
|
… |
|
a‘2n |
|
b‘2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
если имеются, то вычеркиваем их; |
|||||||||
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
0 |
|
a‘m2 |
|
a‘m3 |
|
… |
|
a‘mn |
|
b‘m |
|
имеются |
ли |
противоречивые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения, если имеются, то исходная система является несовместной и |
|||||||||||||||||
процесс решения заканчива тся; |
|
|
|
ВПО |
|
|
|||||||||||
|
в каждом ли уравнении сист мы имеется разрешенная неизвестная, если в |
заканчивается. Если же найдется уравнение, в котором2013нет разрешенной неизвестной, то выбираем в этом уравнении разрешающий элемент, не равный
каждом, то найдено общее решение данной системы и процесс решения
нулю, например а‘23≠ 0, и выполняем преобразов ние Жордана. Тогда получим |
|||||||||
систему (3) |
вида: |
|
|
|
|
ЧОУ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
(3) |
А1” |
|
А2” |
|
А3” |
… |
Аn” |
В |
|
1 |
|
a‘12 |
|
0 |
… |
a‘1n |
b‘1 |
|
|
|
0 |
|
а‘22 |
|
1 |
… |
a‘2n |
b‘2 |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
0 |
|
a‘m2 |
|
0 |
… |
a‘mn |
b‘m |
|
На k-м ш ге проводим д йствия с системой, полученной на предыдущем шаге.
имеются ли противоречивые уравнения, если имеются, то система является несовместной и процесс решения заканчивается;
Смотрим, в |
и теме (k): |
Москва |
|
|
|
имеются ли тривиальные уравнения, если имеются, то вычеркиваем их; |
||
Для |
самостоятельной |
|
студентов |
|
в каждом ли уравнении системы (k) имеется разрешенная неизвестная, если в каждом, то найдено общее решение данной системы и процесс решения заканчивается. Если же найдется уравнение, в котором нет разрешенной неизвестной, то выбираем в нем разрешающий элемент, не равный нулю,
20