2. Восстановление функций экономического анализа по их предельным характеристикам

В зависимости от конкретного смысла функции (физического, геометрического, экономического) при интегрированиимы получаем выражение для соответствующего закона, описывающего данный объект. Характеристики экономических закономерностей также можно восстановить, если известна скорость (интенсивность, плотность) или темп роста (относительная скорость) соответствующего экономического процесса.

Зная предельные издержки производства , можно найти издержки производства(здесь– объем однородной продукции). Зная скорость(или темп) изменения производительности труда, можно найти производительность труда.

Пример

Пусть функция, характеризующая изменение производительности труда; – время, отсчитываемое от начала рабочего дня. Определить объем продукции, произведенной за весь рабочий день.

►Объем произведенной продукции можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенной за 4 часа работы до обеденного перерыва и за оставшиеся 3 часа работы.

Если в функции Кобба-Дугласа считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид: . Тогда объем выпускаемой продукции залет составит:.◄

Пример

Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид: .

►Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

◄

Пусть известна функция , описывающая изменение затрат временина изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где х – порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения отдоизделий, вычисляется по теореме о среднем:

. (2)

Функция изменения затрат времени на изготовление изделий обычно имеет вид, где– затраты времени на первое изделие,– показатель производственного процесса.

Пример

Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от доизделий, полагая(мин),.

► (мин).◄

3. Определенный интеграл в финансовом анализе

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время (лет) при годовом проценте (процентной ставке), называетсядисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть – конечная сумма, полученная залет, и– дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Разность между конечной суммойи дисконтируемой суммойназывается дисконтом:.

Если проценты простые, то , где– удельная процентная ставка. Тогда.

В случае сложных процентов , поэтому .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией при удельной норме процента, равной, процент начисляется непрерывно. В этом случае дисконтированный доходза времявычисляется по формуле

Пример

Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные капиталовложения составили 10 млрд руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд руб.

►По условию, капиталовложения задаются функцией . Тогда дисконтированная сумма капиталовложений

Интегрируя, получим млрд. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд.руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.◄

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Если обозначим ставку непрерывных процентов через, то, где– сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце-го года,– первоначальная сумма.

Пример

Пусть сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени , тогда наращенная сумма находится как

,

а современная величина платежа.

Если, является линейной функцией времени:, где– величина силы роста для,– годовой прирост, то

;

множитель наращения . Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии, где– начальное значение процентной ставки,– годовой коэффициент роста, тогда; множитель наращения.

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит.

Пример

Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией, то общая сумма поступлений за времяравна.

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до сумма составит:

.

Современная величина такого потока равна

.

Пусть функция потока платежей является линейной: , где– начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

. Рассмотрим задачу нахождения капитала (основных фондов) по известным чистым инвестициям. Чистые инвестиции (капиталовложения) – это общие инвестиции, производимые в экономике в течение определенного промежутка времени (чаще всего – года), за вычетом инвестиций на возмещение выходящих из строя основных фондов (капитала). Таким образом, за единицу времени капитал увеличивается на величину чистых инвестиций.

Если капитал обозначить как функцию времени , а чистые инвестиции –, можно записать.

Часто требуется найти приращение капитала за период с момента времени до, т.е. величину. Замечая, чтоявляется первообразной для функцииможно сразу написать: