3. Признак сравнения в предельной форме

Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Сравнение интеграла со "стандартным" интеграломв предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если принеотрицательная функцияf(x) – бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , тосходится; еслиf(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится.

Типовые примеры

1. .

►При эквивалентна функции, поэтому интеграл сходится. ◄

2. .

►При эквивалентна функции, поэтому интеграл расходится. ◄

3. .

►При эквивалентна функции, поэтому интеграл расходится. ◄

4. .

►При эквивалентна функции, поэтому интеграл расходится. ◄

Типовые примеры

Исследовать интегралы на абсолютную сходимость:

1. .

►; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. ◄

2. .

►, первый множитель, , стремится к нулю при, следовательно, ограничен:, интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. ◄

Приведённые примеры показывают, что переход от ки применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от |f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.

§2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

1. Пусть функция не определена в точке. Тогда интеграл от нее на отрезкебудет несобственным и вычисляется по формуле

.

Аналогично определяется несобственный интеграл, если функция не определена на нижнем пределе.

Типовые примеры

1. .

►–интеграл расходится; ◄

2. . ►

–интеграл сходится. ◄

3. .

► –интеграл сходится.◄

Если функция не определена или имеет разрыв 2-го рода в некоторой точкевнутри отрезка(или внутри интервалов,), то интеграл также будет несобственным и определяется равенством:

=+=.

Типовой пример

.

►

, и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. ◄

2. Признаки сравнения

Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.

Признак сравнения

Пусть функции иинтегрируемы по любому отрезкуи приудовлетворяют неравенствам. Тогда:

если сходится интеграл , то сходится интеграл;

если расходится интеграл , то расходится интеграл.

В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, еслиp < 1, и расходится, если :