Вопросы промежуточного контроля

1. Дайте определение первообразной функции.

2.Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?

3. Напишите таблицу основных интегралов.

4. Докажите простейшие свойства неопределенного интеграла.

5. Выведите формулу замены переменной в неопределенном ин­теграле.

6. Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить при помощи метода интегрирования по частям.

7. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей I, II, III и IV типов.

8. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие множители. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае простых дейст­вительных корней знаменателя. Приведите пример.

9. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае действительных кратных кор­ней знаменателя. Приведите пример.

10. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби для случая, когда среди корней знаме­нателя имеются пары простых комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.

11. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеется пара кратных комплексно-сопряженных корней. Приведите пример.

12. Изложите методы нахождения интегралов вида

, где р, q,..., — рациональные числа; R — рациональная функция. Приведите пример.

13. Изложите метод нахождения интегралов вида , где R- рациональная функция. Приведите примеры.

14. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных и трансцендентных функций?

15. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

16. Пусть . Как это истолковать геометрически?

17. Докажите, что .

18. Докажите основные свойства определенного интеграла: а) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла; б) определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых; в)=+, где.

19. Докажите теорему о среднем для определенного интеграла и выясните ее геометрический смысл.

20. Докажите, что является первообразной функцией для функцииf(x). Выведите формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определенного интеграла.

21. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

22. Выведите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Приведите пример.

23. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла у которого один или оба предела интегрирования бесконечны), укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов первого рода.

24. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции), укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов второго рода.

25. Сформулируйте правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра.

26. Выведите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции в прямоугольной системе координат. Приведите примеры

27. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат. Приведите примеры.

28. Выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения. Приведите примеры.

58