Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

уп_Вабищевич_Физика ч

.1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

По результату действия на тело силы отличаются и поэтому разде-

ляются на консервативные и неконсервативные силы. Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории (пути) между двумя точками пространства, а зависит только от начального и конеч- ного положений тела. Иначе говоря, работа консервативных сил по замкну-

той траектории равна нулю. Примером консер-			1
вативных сил является сила тяжести. Работа			1		h1
вативных сил является сила тяжести. Работа					h1
силы тяжести, с учетом скалярного произве-
силы тяжести, с учетом скалярного произве-		α	h − h		g
		α	h − h		g
дения векторов g и r12 (рис. 2.1), определяет-		r12	1	2
дения векторов g и r12 (рис. 2.1), определяет-		r12
ся выражением		2			h2
2		2

A12 = ∫mgdr	= mgr1,2 = mg (h1 − h2 ) .		Рис. 2.1.
1

Скалярная величина П = mgh называется потенциальной энергией.

Поскольку, с одной стороны, выполняется теорема о кинетической энергии, а с другой – работа определяется изменением потенциальной энергии, взятой с обратным знаком

		A = K =	mυ2	−	mυ2						= −		П = mgh − mgh ,
			2				1		и A
									и A
	12		2			2			12				1		2
			2			2
то можно прийти к выводу:
			mgh +				mυ2			= mgh +		mυ2
								1					2	.
														.
				1			2				2		2
							2						2
	Таким образом, при движении в поле силы тяжести сохраняется
полная механическая			энергия, которая								складывается				из кинетической
( K =	mυ2
		) и потенциальной энергий ( П = mgh )
	2	) и потенциальной энергий ( П = mgh )
	2
			W =			mυ2		+ mgh = const .							(23)
			W =				2	+ mgh = const .							(23)
							2

К консервативным силам относятся центральные силы. Это силы, все- гда направленные по радиус-вектору, соединяющему материальную точку и некоторую точку в пространстве, и зависящие только от расстояния до этой точки. Сама эта точка называется центром силы или силовым центром. В качестве примера рассмотрим силу гравитационного взаимодействия

= γ mM

F r . r3

Совместим начало отсчета с точкой O , где расположен центр масс тела массой М (силовой центр) (рис. 2.2). Работа гравитационной силы по

перемещению материальной точки массой m из положения 1 в положение 2 определяется выражением

(24)

A12 = ∫F

× dr

= -∫ F (r )drF = - ∫ g

drF = gmM

где dr

= dr cos α – проекция вектора

drF

на линию действия силы F (см. рис. 2.2).

Знак « » в формуле (24) возникает в

результате

скалярного

произведения

век-

1 r

торов F и dr , угол между которыми явля-

ется тупым.

Величину П = -g mM

Рис. 2.2

называют по-

тенциальной энергией тела массой m в

гравитационном поле тела (силового центра) массой M .

Для количественной характеристики силового поля в данной точке используют понятия напряженности (силовая характеристика) и потен- циала (энергетическая характеристика) поля.

Напряженность поля определяют как силу, действующую в данной точке поля на материальную точку единичной массы,

			M
	F		M
E =		= g		r .	(25)
E =	m	= g	r3	r .	(25)

Векторы силы и напряженности совпадают по направлению. Сило- вые поля можно изобразить с помощью силовых линий – это линии, каса- тельные к которым в каждой точке пространства совпадают с направлением вектора напряженности.

Потенциал поля в данной точке соответствует потенциальной энер- гии тела единичной массы

j =	П	= -g	M	,	(26)
	m
			r

или определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении тела единичной массы из данной точки в точку на бесконечном расстоянии от силового центра.

Геометрическое место точек поля, обладающих одинаковым потен-

циалом, называют эквипотенциальной поверхностью (рис. 2.3). Силовые линии в любой точке поля всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.


Между силовой (Е) и				Эквипотенциальные
энергетической		(ϕ)	характе-	поверхности	ϕ1 > ϕ2
энергетической		(ϕ)	характе-
ристиками	потенциального
ристиками	потенциального						Силовой
поля существует связь:						E	центр
dϕ = −Er dr
или				Силовые	ϕ2
E = − dϕ ,			(27)	линии	ϕ2	E
E = − dϕ ,			(27)
	r	dr		E	ϕ1
		dr			ϕ1
где Er –	проекция вектора				Рис. 2.3
напряженности		на	направ-		Рис. 2.3
напряженности		на	направ-
ление вектора		r ;	r – рас-

стояние от силового центра до рассматриваемой точки поля.

Если поле создано несколькими силовыми центрами, то результи- рующие напряженность и потенциал определяются по принципу суперпо- зиции полей:

n		n
E = ∑Ei ;		ϕ = ∑ϕi .
i=1		i=1

Принцип суперпозиции является следствием принципа независимо-

сти действия сил: результирующее ускорение, которое приобретает мате- риальная точка под действие нескольких сил, есть векторная сумма ускоре- ний, которое сообщает материальной точке каждая сила в отдельности.

Силы, не являющиеся центральными, называют неконсервативными силами. К ним, прежде всего, относятся диссипативные силы (преобразующие механическую энергию в другие виды энергии), например, силы трения.

Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы материальных точек из ее некоторого начального состояния в другое состоя- ние, принимаемое за начало отсчета потенциальной энергии (может прини- маться произвольно), называется потенциальной энергией системы матери- альных точек в этом начальном состоянии. При этом потенциальная энергия системы материальных точек является функцией только координат системы. Обычно начало отсчета потенциальной энергии (нулевой уровень) выбира- ется таким образом, чтобы расчет потенциальной энергии был наиболее прост.

У систем, на которые действуют только консервативные силы, полная механическая энергия остается неизменной, поскольку могут происходить только превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Изменение потенциальной энергии системы в поле консервативных сил можно определять, используя понятие центра масс системы.

Зная действующую на центр масс силу как функцию координат

F (x, y, z) , потенциальную энергию можно определить интегрированием

П = П(x1, y1, z1) − П(0) = − A01 = A10 = 0∫ F (r )dr .

Другая задача – вычисление силы F (x, y, z) по заданной потенци-

альной энергии	П(x, y, z)	решается		дифференцированием;
dП = −(Fxdx + Fydy + Fzdz) , то				∂П ;
F = − ∂П ;			F = −	∂П ;	F = −		∂П ;
x	∂x		y	∂y	z		∂z
F (x, y, z) = F i + F j + F k = − ∂П i +					∂П j +	∂П k		,

	x	y	z		∂y		∂z
				∂x	∂y		∂z

где i , j , k – единичные ортогональные векторы. Величина,

поскольку

(28)

стоящая в

скобках, является градиентом потенциальной энергии. Градиент скаляр-

ной функции – это вектор, указывающий, в каком направлении и как быст- ро изменяется данная скалярная величина.

Выражение (28) можно переписать в виде

F = −grad П ,

т.е. сила F поля равна минус градиенту потенциальной энергии.

Учитывая эквивалентность работы и энергии, работу по перемеще- нию материальной точки m из положения 1 в положение 2 в поле консер- вативных сил можно определить, используя разность потенциалов поля между этими точками:

A12 = m(ϕ1 − ϕ2 ) ,

причем указанная материальная точка m может быть центром масс систе- мы материальных точек.

Силы взаимодействия материальных точек, образующих систему (внутренние силы), также обусловливают потенциальную энергию системы материальных точек. Изменение этой энергии зависит от изменения расстоя- ний между материальными точками системы (деформации системы). Приме- ром потенциальной энергии деформации (упругого сжатия или растяжения системы материальных точек) является потенциальная энергия деформации пружины

П = kx2 , 2

где k – жесткость пружины, зависящая от геометрических размеров пружи- ны и свойств материала, x – абсолютное изменение длины пружины при де- формации.

В общем случае на i-тую материальную точку системы могут дейст-

вовать внутренние силы Fik со стороны k-той точки системы, внешняя кон-

					. Уравнение дви-
сервативная сила F и внешняя неконсервативная сила F					. Уравнение дви-
i				i
жения i-той точки в этом случае имеет вид
		N
mi	d υi	= ∑ Fik	+ Fi	+ Fi* , i = 1,2,…N .
mi	dt	= ∑ Fik	+ Fi	+ Fi* , i = 1,2,…N .
	dt	k =1
		i¹k

Умножив скалярно обе части уравнения на нения всех N точек, получаем

N	N		N	N

∑miυid υi	= ∑		∑ Fik dri	+ ∑Fidri
i =1	i=1 k =1			i=1
		i¹k

dri = υidt и сложив урав-

+∑Fi dri .

i=1

Левая часть соответствует приращению кинетической энергии

N
dK = ∑mi	υidυi .
i=1

Правая часть содержит слагаемые:

– убыль потенциальной энергии взаимодействия между материаль- ными точками, образующими систему,

N		N
			;
−dПвз = ∑		∑ Fik dri
i=1	k =1
	i ¹k

– убыль потенциальной энергии материальной точки во внешнем поле консервативных сил

− = N dПвн ∑Fidri ;

i=1

– работа внешних неконсервативных сил

* = N *

dAвн ∑Fi dri .

i =1

После несложных преобразований получаем закон изменения ме-

ханической энергии в виде

d (K + Пвз + Пвн) = dAвн* .

Величину W = K + Пвз + Пвн называют полной механической энергией системы материальных точек. Если внешние неконсервативные силы от- сутствуют, то полная механическая энергия системы сохраняется:

W = K + Пвз + Пвн = const .

(29)

Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, оста- ется постоянной.

Если в замкнутой системе кроме консервативных сил действуют также внутренние неконсервативные силы (силы трения), то полная меха- ническая энергия системы не сохраняется:

dW = d (K + Пвз) = dAвнут .

Действие сил трения приводит к диссипации части полной механи- ческой энергии, т.е. превращению ее в другие виды энергии, при этом вы- полняется более общий закон сохранения энергии (механической и неме- ханической).

Важным применением законов сохранения является установление соотношений между начальными и конечными параметрами движения, на- пример, до и после столкновения тел.

Под столкновением понимают процесс взаимодействия, сопровож- дающийся обменом импульсами и энергиями, в результате чего могут про- исходить различные процессы (тела могут соединяться в одно; могут воз- никать новые тела и т.д.).

Различают упругие столкновения, которые происходят без перехода механической энергии в другой вид энергии (без изменения внутреннего состояния взаимодействующих тел), и неупругие столкновения, сопровож- дающиеся преобразованием части механической энергии в другой вид и изменением внутреннего состояния взаимодействующих тел.

Наиболее простым случаем является упругое столкновение двух материальных точек с массами m1 и m2 , движущихся вдоль одной прямой

(так называемый центральный удар двух тел). Обозначим скорости и импуль-

сы материальных точек до взаимодействия υ1 , υ2 ,

= m1υ1

= m2υ2

′

после взаимодействия υ1

, υ2 ,

= m1υ1

, p2

= m2υ2 .

Закон сохранения энергии принимает вид

′

)

′

)

′2

( p1

( p2

или

m1υ1

m2υ2

m1υ1

m2υ2

2m1

2m2

2m1

2m2

Закон сохранения импульса

′

p1 + p2

= p1

+ p2 .

После несложных преобразований получаем

′	=	(m1 − m2 ) p1 + 2m1 p		2	;	′	=	(m2 − m1) p2 + 2m2 p1
p1						p2
		m1	+ m2					m1	+ m2

или

′

(m1 − m2 )υ1

2m2υ2

(m2 − m1)υ2

+ 2m1υ1

υ1

; υ2

(30)

+ m2

Рассмотрим несколько частных случаев.

А. p2 = 0 – вторая частица до взаимодействия покоилась (рис. 2.4):

′

− m2

′

− m2

p1x =

или

υ1x

υ1

;

+ m2

′

2m2

′

2m2

p2 x

;

υ2 x =

υ1 .

(31)

m1 + m2

Если m1 = m2 ,

то частицы обмениваются

′

скоростями ( υ1x = 0 ,

υ2 x = υ1 ).

Если m1 << m2 , то

покоящаяся частица

(стена) останется на месте, а налетающая от-

Рис. 2.4

скочит назад с той же скоростью:

′

≈ −υ1 ;

υ1x

′

υ2x ≈ 0 .

Если m1 >> m2 , то налетающая частица продолжит движение с той же

скоростью, а покоящаяся отлетит

удвоенной скоростью:

′

≈ υ1 ;

υ1x

υ′2 x ≈ 2υ1 .

Б. Шары движутся навстречу друг другу (рис. 2.5). В этом случае можно использовать формулы (31).

В. Шары догоняют друг друга (рис. 2.6). Необходимо отметить, что столкновение возможно только в том случае, если υ1 > υ2 . Иначе первый шар не догонит второй.

υ1

υ2

υ1

υ2

Частным случаем неупругого столкновения тела массой m1 с не-

подвижным телом массой m2 является абсолютно неупругий удар, после которого частицы m1 и m2 (после удара) образуют единое целое, движу-

щееся со скоростью υ′ .

Закон сохранения импульса p1 = p′ , где p′ = (m1 + m2 )υ′ .

Начальная кинетическая энергия K = p12 2m1 .

После столкновения K′

( p′ )2

( p1)

K .

+ m2

2(m1 + m2 ) 2(m1 + m2 ) m1

Часть механической энергии при неупругом столкновении переходит

в другой вид, например, превращается в тепло Q

−

K .

Q = K − K ′ = 1

+ m

K =

m + m

Полученные для столкновений материальных точек соотношения

могут быть использованы при изучении взаимодействия атомов и элемен-

тарных частиц. По-

′

скольку

эти

взаимо-

действия обусловлены

′

существованием

сил

′

θ1

притяжения

оттал-

θ′

кивания (центральные

′

силы), то соотношения

имеют более сложный

Рис. 2.7

вид. Однако, как и ра-

нее, они определяются

законами сохранения импульса и энергии. Для реальных тел, которые

можно считать материальными точками, но конечных поперечных разме-

ров, результат их взаимодействия может отличаться от рассмотренного ра-

нее. Такое столкновение, показанное на рис. 2.7, получило название «рас-

сеяние частиц».

Параметр h носит название прицельного расстояния (прицельный па-

раметр) и характеризует степень отклонения от центрального (лобового) удара. Для упругого столкновения законы сохранения с учетом выбранной системы координат могут быть записаны в виде

2		m1	′	)	2		′	2
m1υ1	=	m1	(υ1	)		+	m2 (υ2 )		;
2	=		2			+			;
2			2			2

	′		′		′	′	;
m1υ1 = m1υ1		cos θ1		+ m2υ2		cos θ2	;
′		′		′		′
0 = m1υ1	sin θ1		+ m2υ2		sin θ2 .

Эта система уравнений при определенных допущениях позволяет

связать прицельный параметр h и начальные скорости υ1				и υ2 с углами
′	′	′		′	взаимодейст-
рассеяния θ1	и θ2	и скоростями после рассеяния υ1	и υ2

вующих частиц m1 и m2 .

2.2. Методические указания к лекционным занятиям

	Вопросы лекции	Форма		Литература		Вопросы для самоконтроля
	Вопросы лекции	изучения		Литература		Вопросы для самоконтроля
		изучения

Динамика поступательного движе-					1.	Сформулируйте законы Ньютона.
ния. Основные понятия и законы		лекция	+	[5], пп. 1.7 – 1.10	2.	Сила. Что она характеризует? Примеры сил.
Законы Ньютона. Понятия импульса		лекция	+	[5], пп. 1.7 – 1.10	3.	Что определяет импульс силы? Как связан им-
тела, импульса силы.		самост.		[8], п. 2.2	пульс силы с изменением импульса тела?
Силы в механике. Сложение сил. Зако-		лекция	+	[7], пп. 2.1 – 2. 4	4. В каких случаях применим закон сохранения
ны всемирного тяготения, Гука, Архи-		самост.		[5], п. 1.8	импульса? Когда применение этого закона невоз-
меда.		лекция	+	[8], п. 3.3	можно?
Центр	масс системы материальных	лекция	+	[8], п. 3.3	5.	Как найти положение центра масс системы ма-
Центр	масс системы материальных	самост.		[7], п. 2.5;	5.	Как найти положение центра масс системы ма-
точек. Закон сохранения импульса		самост.		[7], п. 2.5;	териальных точек? Что он характеризует?
точек. Закон сохранения импульса				[5], п. 1.12	териальных точек? Что он характеризует?
				[5], п. 1.12	6.	Как движется центр масс при свободном паде-
					6.	Как движется центр масс при свободном паде-
					нии тела?

Законы сохранения в механике ма-					1.	Сформулируйте закон сохранения механической
териальных точек		лекция		[5], п. 1.14	энергии. Что изменится при появлении сил дисси-
Работа и энергия в механике. Кинети-		лекция		[5], п. 1.14	пации?
ческая энергия. Мощность. Эквива-				[10], п. 13	2.	Как определить работу переменной силы?
лентность работы и энергии.				[5], п. 1.18	3.	В каком случае сила, действующая на тело, не
Полная механическая энергия. Закон		лекция	+	[8], п. 4.1	совершает работы?
сохранения энергии в механике.		самост.		[3], п. 5.4	4.	В каких случаях не применим закон сохранения
Поле сил. Центральные силы и потен-		лекция		[[5], пп. 1.19 – 3.5	механической энергии?
циальная энергия.				[8], пп. 3.3 – 3.5,	5.	Какие характеристики поля вы знаете? Что они
Законы сохранения при упругих и не-		лекция		[10], п. 1.5	характеризуют?
упругих	взаимодействиях. Рассеяние				6. Столкновения. Какой импульс передаст мате-
частиц					риальная точка при упругом ударе о стену?

						2.3. Методические указания к практическим занятиям

	Тема	Задачи				Рекомендации				Задачи из
	занятия	Задачи				Рекомендации				сборников
	занятия									сборников

	1		2				3			4

		Определение			1.	Сделать чертеж, указав все тела и связи между ними (нити, пружины и т.д.).				[2],
		закона		движе-	2.	Изобразить все силы, приложенные к телам, движение которых изучается. При этом				№№ 2.2, 2.4 –
		ния	материаль-		необходимо учитывать, что на данное тело могут действовать силы только со стороны					2.8, 2.12 – 2.15
		ной	точки или		других объектов: со стороны Земли –		mg ;	со стороны пружины – ( −kx ) ; со стороны		[12],
	Ньютона	системы		мате-
	Ньютона	риальных		точек						№№ 2.2 – 2.8
		риальных		точек	опоры – сила реакции – N ; со стороны соприкасающихся тел – сила трения Fтр .					№№ 2.2 – 2.8
		по	известным		При изображении сил, приложенных к телу, не обязательно их прикладывать к строго
		силам
	Законы				определенным точкам (например, силу тяжести –				к центру масс); можно воспользо-
		Определение			ваться правилом переноса векторов сил вдоль линии их действия.
		силы по извест-			3.	Если в задаче рассматривается движение системы из нескольких тел, связанных				[2],
	Силы.	ному		закону	между собой, то для каждого из них можно выбрать свою систему отсчета, направив					№№2.29–2.32
50		движения мате-			одну из координатных осей по направлению движения этого тела.					[11],
50		движения мате-			4.	Для каждого из тел записать второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной				[11],
		риальной точки			системы координат.					№№1.47 –1.61
					5.	Дополнить уравнения динамики кинематическими соотношениями так, чтобы число
					уравнений равнялось числу неизвестных, и решить полученную систему уравнений.

	.	Определение			1.	Сделать чертеж, на котором указать начальные и конечные импульсы тел системы и				[2],
	сохраненияЗаконы Столкновения	кинематиче-			система уравнений стала замкнутой					№№2.62–2.70
		кинематиче-			направление внешних сил. Векторы p		, p	и F	t должны образовывать замкнутый	№№2.62–2.70
		ских	парамет-			1	2	вн		[12],
		ров	тел	после	треугольник векторов.					№№2.83–2.91
		соударения			2.	Выбрать систему координат так, чтобы удобнее было проецировать на них векторы.				№№2.83–2.91
					3.	Записать уравнения закона сохранения импульса и энергии и второго закона Нью-				[11],
					тона в проекциях на соответствующие оси.					№№ 1.105,
					4.	Дополнить систему уравнений кинематическими соотношениями, чтобы полная				1.113 – 1.115

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.05.20152.42 Mб13умк_Фiлiпенка_Гiсторыя навейшага часу_Ч.1.pdf
#
09.11.2018267.78 Кб3УМКД для мат.методов.doc
#
18.05.2015265.89 Кб17УМП к занятию №9.rtf
#
08.09.2019200.7 Кб8УМП по йодпрофилактике.doc
#
18.05.2015536.9 Кб8УП 2012_13 АХД в отраслях.pdf
#
18.05.20153.94 Mб34уп_Вабищевич_Физика ч.1.pdf
#
09.07.2019154.62 Кб2УПМ, УПР_С.doc
#
21.08.201937.51 Кб5УПМВ 1.docx
#
22.09.201967.58 Кб16Употребление некоторых предлогов 2.doc
#
24.09.2019469.5 Кб16упр реп.doc
#
20.08.2019636.93 Кб6упр.учет нов. теория.doc