уп_Вабищевич_Физика ч
.1.pdfПример 9. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты вязкости η углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинако- вых условиях. (Уровень 2).
Решение
h = |
1 |
|
|
u l r ; r = |
pμ |
; l = |
|
|
|
|
kT |
|
|
|
; u = |
|
8RT |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pm |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pd 2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 pm1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 pm2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
h1 = |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
8RT |
h2 = |
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
8RT |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 RT |
|
|
2pd 2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 RT |
|
|
|
|
|
2pd |
2 p pm2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pm1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
d |
|
|
|
m |
|
|
= |
d |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
m |
|
|
d |
2 |
|
|
m |
d |
2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
h |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
d |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
h |
d |
2 |
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Цилиндрический термос с внешним радиусом r2 = 10 см и внутренним r1 = 9 см, высотой 20 см наполнен льдом ( t1 = 0°С). Темпе-
ратура льда 0 °С, наружная температура 20 °С ( t2 = 20oС). (Уровень 5).
Задание:
1. При каком максимальном давлении воздуха между стенками термо- са коэффициент теплопроводности начнет зависеть от давления? Темпера-
туру воздуха считать равной 10 °С, диаметр молекул воздуха 3×10–10 м,
m= 29 г/моль.
2.Найти коэффициент теплопроводности воздуха при давлении:
а) p = 760 мм рт. ст.; |
б) p = 10–4 |
мм рт. ст. |
1 |
2 |
|
3. Какое максимальное количество тепла проходит за 1 мин через бо- ковую поверхность термоса со средним радиусом 9,5 см за счет теплопро- водности:
а) p = 760 мм рт. ст.; |
б) p =10–4 |
мм рт. ст. |
1 |
2 |
|
Решение
1. При l ³ d коэффициент теплопроводности зависит от давления:
l = |
|
kT |
p = |
|
kT |
, откуда p = 7,37 ×10−3 |
мм рт. ст. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2pd 2 p |
|
|
2pd 2d |
кр |
|
||
|
|
|
|
|
|
231
|
2, а. Поскольку pкр p1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
c = |
u l С r = |
ik |
|
|
T |
|
и |
c =13,1×10−6 Вт/(м К). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3pd 2 |
pmR |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2, |
б. Поскольку |
pкр > p2 , то l > r2 - r1 |
и коэффициент теплопро- |
||||||||||||||||||||||
водности не определяется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 + r2 |
|
|
|||||||||||
|
3, а. Поскольку Q = c |
T SDt, где S = 2πrh, |
r = |
; Q = c |
T 2prhDt |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
t2 −t1 |
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Dx |
||||||
и |
T |
, то после подстановок числовых значений получаем Q1 = 188 Дж. |
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Dx |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3, б. Поскольку l > r2 - r1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
r u |
|
c a(t |
|
- t ) St , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4m |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
где ρ – |
плотность воздуха при условиях 3, б; r = |
pμ |
, а температуру T мож- |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT |
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
но принять равной |
1 |
|
+ 273 К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя числовые значения в СИ, получим Q2 = 6,15 ×10−2 Дж.
Ответ: Q1 = 188 Дж; Q2 = 6,15 ×10−2 Дж.
2.5.Задачи для самостоятельного решения
1.Сосуд емкостью 2 л содержит азот при температуре 27 °С и давлении 0,5 атм. Найти число молекул в сосуде, число столкновений между всеми
молекулами за 1 с, среднюю длину свободного пробега молекул.
[ N = |
pVNA |
= 2,45 ×10 |
22 |
|
|
1 |
|
|
|
2 8RT |
|
p |
|
31 |
|
–1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
молекул; |
Z = |
|
n |
2pd |
|
|
|
|
= |
3,04×10 |
с |
|
; |
||||
|
RT |
|
2 |
|
pm |
|
kT |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l = |
|
|
kT |
|
= 1,92×10–7 м; уровень 4, 5]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2pd |
2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вакуумная система заполнена водородом при давлении 10–3 мм рт. ст. Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул водорода при
этом давлении, если t = 50 °С. [ l = |
|
kT |
= 0,143 м; уровень 1, 2]. |
|
|
|
pd 2 p |
||
2 |
232
3. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свобод-
ного |
пробега |
молекул 10 см. Какова концентрация молекул? |
||||
[ n = |
1 |
= 2,34×1019 м; r = |
n0μ |
= 1,09×10–6 кг/м3; уровень 3]. |
||
|
|
|
|
|||
0 |
|
2pd 2 l |
|
N A |
||
|
|
|
4. Определить коэффициент вязкости для водорода, имеющего темпера-
туру 27 °С. [ h = |
|
|
8mRT |
|
= 8,4×10–6 |
кг |
; уровень 3]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 2p3 d 2 N A |
|
м× с |
5. Вычислить коэффициент внутреннего трения (вязкости) и коэффи- циент самодиффузии кислорода, находящегося при давлении
0,2 |
МПа и |
температуре |
280 К. [ D = |
2kT |
|
RT |
= 7,4×10–6 |
м/с2; |
|||||
|
|
pm |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3pd 2 p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
mRT |
|
–5 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
h = |
|
|
|
= 2×10 |
|
; уровень 3]. |
|
|
|
|
|
||
3p |
|
|
d 2 N A |
м× с |
|
|
|
|
|
||||
p |
|
|
|
|
|
6.Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м2 и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность – 293 К. По- мещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Коэффициент
теплопроводности кирпича 0,4 |
Вт |
. |
[ P = -c |
T1 − T2 |
S = 0,92 кВт; |
|
|
||||
|
м× К |
|
d |
||
уровень 1, 2]. |
|
|
|
7.Вычислить коэффициент вязкости η (внутреннего трения) кислорода при нормальных условиях [18 мкПа×с; уровень 2].
8.Два горизонтальных диска радиусами R = 20 см расположены друг над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d между плоскостями дисков равно 0,5 см. Верхний диск неподвижен, нижний вращается от- носительно геометрической оси с частотой n = 10 с–1 . Найти вращаю- щий момент М, действующий на верхний диск. Коэффициент вязкости
η воздуха, |
в котором находятся диски, равен 17,2 мкПа×с. |
|
[ M = |
p2hnR4 |
= 0,58 мН×м; уровень 4]. |
|
d
233
УЧЕБНЫЙ БЛОК 3 ТЕРМОДИНАМИКА. АГРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
Термодинамика рассматривает общие свойства макросистем в рав- новесных состояниях и процессы перехода систем в другие состояния как при сохранении агрегатного состояния вещества, так и при его изменении. В дополнение к механической энергии тел термодинамика включает в рас- смотрение состояния систем (тел) тепловую энергию как функцию состоя- ния систем. Кроме этого, в термодинамике к используемому в механике способу изменения энергетического состояния систем, заключающемуся в совершении работы телами или над телами, добавляется другой способ – теплообмен между телами (системами). Взаимные превращения одного вида энергии в другой при изменении состояний систем в термодинамике рассматриваются на основе термодинамических процессов, отличающихся условиями их реализации.
В данном учебном блоке рассматриваются основы термодинамики вещества в газообразном состоянии.
При изучении данного блока студенты должны
иметь представление:
–об основных физических величинах: количестве теплоты, работе, удельной теплоемкости, удельной теплоте плавления и парообразования;
–о законе сохранения энергии применительно к тепловым процессам;
–о законе состояния идеального газа;
обладать навыками:
–применения элементов дифференциального и интегрального ис- числения;
–составления уравнений теплового баланса.
Учебная программа блока
|
Содержание блока |
Форма |
Литература |
|
|
подготовки |
|||
1. |
Первое начало термодинамики. Работа газа. Внутрен- |
лекция |
|
|
няя энергия. Количество теплоты. Теплоемкость |
|
|||
|
|
|||
2. |
Применение первого начала термодинамики к изопро- |
|
|
|
цессам. Теплоемкости идеального газа. Адиабатный про- |
лекция |
[5] |
||
цесс. Политропный процесс |
|
|||
|
|
|||
3. |
Обратимые и необратимые процессы. Круговой про- |
лекция |
[6], часть 2 |
|
цесс (цикл). Цикл Карно |
||||
|
|
|||
4. |
Энтропия. Второе начало термодинамики. Вычисление |
|
[7] |
|
энтропии идеального газа. |
лекция |
|||
|
||||
Статистическое толкование второго начала термодинамики |
|
[8] |
||
5. |
Отступления от законов идеальных газов. Реальные га- |
лекция |
||
|
||||
зы. Уравнение Ван-дер-Ваальса |
[10] |
|||
|
||||
6. |
Фазовые переходы I и II рода. Критическое состоя- |
лекция |
||
|
||||
ние.Уравнение Клапейрона – Клаузиуса |
|
|||
|
|
|||
7. |
Поверхностное натяжение. Формула Лапласа. Капил- |
самост. |
|
|
лярные явления |
|
|||
|
|
234
Цели обучения
|
Студент должен знать |
Студент должен уметь |
|
|
|
– |
определения теплоты, внутренней энергии и рабо- |
– вычислять изменение внут- |
ты газа; |
ренней энергии, работу газа и |
|
– связь параметров состояния в различных процес- |
количество теплоты в различ- |
|
сах; |
ных процессах; |
|
– |
первый закон термодинамики. Смысл величин, |
– определять кпд различных |
входящих в него; |
круговых процессов; |
|
– понятие теплоемкости для различных процессов; |
– вычислять изменение энтро- |
|
– |
политропический процесс; |
пии; |
– |
цикл Карно, термодинамические циклы; |
– находить связь критических |
– |
кпд тепловых машин; |
параметров вещества и попра- |
– определение второго начала термодинамики; |
вок в уравнении Ван-дер- |
|
– способы вычисления энтропии идеального газа; |
Ваальса; |
|
– |
статистическое толкование второго начала тер- |
– определять температуру фа- |
модинамики; |
зового перехода; |
|
– уравнение Ван-дер-Ваальса. Смысл поправок для |
– определять работу сил по- |
|
давления и объема; |
верхностного натяжения и из- |
|
– |
фазовое состояние вещества. Фазовые переходы |
быточное давление |
I и II рода. Критическое состояние; |
|
|
– |
уравнение Клапейрона – Клаузиуса; |
|
– причины возникновения поверхностного натяже- |
|
|
ния, формулу Лапласа |
|
|
|
|
|
3.1. Краткое содержание теоретического материала
Физические свойства макросистем, состоящих из большого количе- ства частиц, изучаются взаимно дополняющими методами: статистическим и термодинамическим. Термодинамический метод основан на анализе условий и количественных соотношений при различных превращениях энергии, происходящих в системе. Внутренняя энергия термодинамиче- ской системы включает в себя кинетическую энергию движения частиц (поступательного, вращательного и колебательного движения), а также по- тенциальную энергию их взаимодействия. В модели идеального газа пре- небрегают силами межмолекулярного взаимодействия, поэтому внутрен- няя энергия может быть принята как сумма кинетических энергий хаотиче- ского движения всех молекул
U = N |
i |
kT = |
m |
N |
|
i |
kT = |
i |
|
m |
RT , |
|
|
A 2 |
|
|
|||||||
2 |
|
μ |
|
2 μ |
где i – число степеней свободы молекулы.
235
Изменение внутренней энергии газа связано с изменением темпера-
туры:
dU = i m RdT . 2 μ
Обмен энергий между системой и внешними телами может осуществ- ляться двумя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплообмена.
Элементарная работа, совершаемая газом при изменении его объема,
δA = pdV .
Полная работа при изменении объема газа вычисляется с помощью интегрирования:
V2
A = ∫ pdV ,
V1
где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа. Количество теплоты, переданное системе, определяется по формуле
Q = cm T ,
где c – удельная теплоемкость газа в данном процессе.
Связь между молярной C и удельной c теплоемкостями газа
C = cμ ,
где μ – молярная масса газа.
Первое начало термодинамики утверждает, что количество теп-
лоты Q, сообщаемое системе, затрачивается на приращение внутренней энергии системы U и совершение системой работы А над внешними те- лами:
Q = U + A.
Первое начало термодинамики в дифференциальной форме
δQ = dU + δA .
Отличия в записи бесконечно малых величин (δA, δQ, dU ) отражают тот факт, что внутренняя энергия является функцией состояния системы (dU ), а работа и теплота – функции процесса ( δA и δQ ). В отличие от внут-
ренней энергии системы, которая является однозначной функцией парамет- ров состояния этой системы, понятия теплоты и работы имеют смысл только в связи с процессом изменения состояния системы. Они являются энергетическими характеристиками процесса изменения состояния системы.
236
Применим первое начало термодинамики к изопроцессам. Запишем закон в развернутом виде:
cmdT = dU + pdV .
Так, при изохорном процессе dV = 0, т.е. работа А = 0 и вся теплота идет
на изменение внутренней энергии газа: cmdT = dU , где dU = |
i |
|
m |
RdT . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 μ |
|||
Тогда теплоемкость газа при изохорном процессе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c = c |
|
|
= |
dU |
|
= |
|
|
i |
|
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
mdT |
|
|
|
|
|
|
2 μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Во всех других процессах объем газа изменяется. При изобарном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
процессе работа газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = p (V − V ) |
|
|
|
или |
|
A = |
m |
|
R |
(T − T ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Изменение внутренней энергии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U = |
i |
|
m |
|
R |
T |
|
или |
|
|
|
|
|
|
U = |
|
i |
|
p |
V . |
||||||||||||||||||||
2 μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Количество теплоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = U + p V = |
i |
|
m |
R T + |
m |
R T = |
i + 2 |
|
m |
R T . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 μ |
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
2 μ |
|||||||||||||||||||||||
Удельная теплоемкость газа при изобарном процессе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c = cp |
= |
|
|
Q |
= |
i + 2 |
|
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
m T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
давлении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C = |
i |
R; C |
|
|
= |
R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
V |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение Майера связывает молярные теплоемкости газа при изо- хорном и изобарном процессах:
C p = CV + R .
При изотермическом процессе температура газа постоянна, поэтому количество теплоты идет на совершение работы: δQ = δA , где δA = pdV .
237
Работа вычисляется интегрированием: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
V2 |
V2 |
m RT |
|
m |
V |
|
|
m |
|
p |
||||
A = ∫ |
pdV = ∫ |
|
|
|
dV = |
|
RT ln |
2 |
или |
A = |
|
RT ln |
1 |
. |
μ V |
μ |
V |
μ |
|
||||||||||
V |
V |
|
|
|
|
|
p |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Адиабатный процесс реализуется в условиях теплоизоляции систе- мы, но адиабатным можно считать также процесс, протекающий столь бы- стро, что за время его осуществления не успевает произойти существен- ный теплообмен с внешней средой. Из первого начала термодинамики сле- дует, что в адиабатном процессе работа совершается за счет изменения внутренней энергии: δA = −dU , т.е. если газ расширяется, то его темпера- тура понижается, а при резком сжатии – возрастает.
Получим соотношение между параметрами состояния газа в адиабат- ном процессе. Записывая выражения для работы и изменения внутренней
энергии δA = pdV , dU = |
m |
C dT , где C |
|
= |
i |
R – теплоемкость газа при изо- |
||||||||||||||||||||||||||||
μ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
хорном процессе, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
pdV = − |
m |
C dT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как p = |
mRT |
, получаем |
m |
|
RT |
dV = − |
m |
C dT , |
dT |
= − |
R |
|
dV |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
μV |
|
|
|
μ V |
|
|
|
|
|
|
μ |
V |
|
T |
|
CV |
V |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
= |
|
C p |
− CV |
= γ −1, |
где γ = |
C p |
= |
|
i + 2 |
||||||||||||||||||
Согласно уравнению Майера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
CV |
|
|
|
|
CV |
|
|
|
|
|
|
CV |
|
|
|
|
i |
безразмерная величина, называемая постоянной адиабаты или коэффици- ентом Пуассона. Поэтому, учитывая, что теплоемкости идеального газа не зависят от температуры, получаем дифференциальное уравнение
dT = −(γ −1) dV . T V
Интегрируя, получаем
lnT = −(γ −1)lnV + const , lnT + (γ −1)lnV = const , ln (TV γ −1 ) = const .
Таким образом, связь температуры и объема газа при адиабатном процессе имеет вид
TV γ −1 = const . |
(1) |
|
Поскольку при любом процессе для идеального газа |
pV |
= const , то |
|
||
|
T |
|
давление и объем связаны соотношением |
|
|
pV γ = const . |
(2) |
238
|
Соотношения (1) и (2) являются двумя |
p |
|
|
|
|||
формами записи уравнения Пуассона. |
|
|
адиабата |
|
||||
|
На p – V -диаграмме (рис. 3.1) адиа- |
|
|
|||||
батный процесс изображен кривой 2, кото- |
|
pV γ = const |
|
|||||
|
γ > 1 |
|
|
|||||
рая |
идет круче, |
чем изотерма, поскольку |
|
|
изотерма |
|||
при адиабатном расширении газа соверша- |
|
|
||||||
|
|
pV = const |
||||||
ется работа и происходит его охлаждение, |
|
|
1 |
|
||||
тогда как при изотермическом расширении |
|
|
2 |
V |
||||
температура остается постоянной. (Сравни- |
|
V1 |
V2 |
|
||||
те |
pV = const |
(адиабатный |
процесс) |
и |
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
pV = const (изотермический процесс). |
Работа при |
адиабатном процессе |
||||||
противоположна по знаку изменению внутренней энергии (заштрихованная |
||||||||
область на рис. 3.1): |
|
|
|
|
|
|
A = − mμ CV (T2 − T1 ) ,
и с учетом связи параметров (1) при адиабатном процессе может быть запи- сана в виде
|
RT m |
|
V |
|
γ −1 |
|
p V |
|
V |
|
γ−1 |
|
|
||||
A = |
1 |
|
|
1 − |
1 |
|
|
= |
1 1 |
1 |
− |
1 |
|
|
|
, |
|
γ −1 μ |
V |
|
V |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где T1, T2, и Vl, V2 – |
соответственно начальные и конечные температуры и |
объемы газа.
Политропическими называются процессы, при которых теплоем-
кость тела остается постоянной. Для идеального газа уравнение полит- ропы имеет вид
pV n = const ,
где n – показатель политропы,
n = C − C p . C − CV
Рассмотренные ранее процессы относятся к категории политропиче- ских. Изобарному процессу соответствует n = 0, изотермическому – n = 1, адиабатному – n = γ, изохорному – n = ∞ .
Для описания термодинамических процессов первого начала термо- динамики недостаточно, поскольку оно не позволяет определить направле- ние протекания процесса. В самом деле, процесс самопроизвольной пере- дачи теплоты от холодного тела к горячему не противоречит первому нача- лу термодинамики. Однако опыты показывают, что самопроизвольно такой процесс не протекает. Иначе говоря, теплота не может самопроизвольно
239
(без совершения работы) переходить от тела менее нагретого к телу бо-
лее нагретому. Это второе начало термодинамики в формулировке Клау-
зиуса. В формулировке Томсона постулат второго начала термодинамики состоит в следующем: невозможен круговой процесс, единственным ре- зультатом которого было бы совершение работы за счет изменения внутренней энергии системы. Расширим представление о термодинамиче- ских процессах. Введем понятие обратимого процесса. Термодинамиче- ский процесс называется обратимым, если после него можно возвратить систему в начальное состояние таким образом, чтобы в других системах, взаимодействующих с первой, не осталось каких-либо изменений. Необхо- димое условие обратимого процесса – его равновесность. Реальные про- цессы являются неравновесными, и поэтому являются необратимыми.
Круговым процессом называется термодинамический процесс, в ито- ге которого система возвращается в исходное состояние. Круговые процес- сы изображаются в диаграммах p – V , p – T и др. в виде замкнутых конту- ров, образуемых графиками (в частности – рис. 3.2).
p |
|
|
|
Круговые процессы лежат в основе дей- |
|
|
|
ствия всех тепловых машин – устройств, ко- |
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|
|
торые превращают внутреннюю энергию в |
|
|
a |
|
|
механическую. Основные части тепловой |
1 |
A |
|
|
машины – нагреватель, рабочее тело и холо- |
|
|
дильник. Рабочее тело (обычно газ) получает |
||
|
2 |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
количество теплоты Q1 от нагревателя, со- |
|
|
б |
|
|
|
|
Q2 |
|
|
вершает работу A за цикл, отдает холодильни- |
|
|
|
V |
ку количество теплоты Q2. На pV -диаграмме |
|
|
|
(см. рис. 3.2) работа равна площади фигуры |
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
|
|
|
1a2б1, ограниченной графиками процессов |
|
|
|
|
|
1a2 и 2б1. Изменение внутренней энергии в |
круговом процессе равно нулю. Работа, совершаемая за цикл, А = Q1 − Q2 .
Эффективность тепловой машины определяется термическим коэффици-
ентом полезного действия (кпд) для кругового процесса (цикла)
η = A = Q1 − Q2 = 1 − Q2 .
Q1 Q1 Q1
Среди всех круговых процессов большое значение имеет процесс, составленный из четырех процессов: двух изотерм и двух адиабат – цикл Карно (рис. 3.3). Определим кпд такого цикла. Запишем выражения для ко- личеств теплоты и работ, совершаемых рабочим телом на разных участках процесса.
240