Вариант № 23

1.

Найдите область определения функций :

.

а) z =

+ ln(9 - x 2

- y 2 ) ; б) z =

3x - 2 y

x( y +1)

x 2

+ y 2 + 4

2 y + x

2.

Найдите частные производные первого порядка функции

z = arctg

.

функцииz = z( x; y) ,

y2

3.

Найдите

частные производные

заданной неявно

уравнением x2 + y2 + 2xy + 3xz +1 = 0 .

4.

Найдите

градиент

функцииz = x4 + y3 + xy - 3x

в

точке

М0(2;2) и

производную по направлению вектора M 0 M1 , где М1(4;2).

5.

Составьте уравнения

касательной

плоскости и

нормали к

поверхности

x2 - y2 - 2z2 - 2 y = 0 в точке M 0 (-1; -1;1).

6.

Исследуйте

на

экстремум

z = 3x3 +18x2 + 3y3 + 27x - 27 y2 + 72 y + 6 .

Вариант № 24

1.

Найдите область определения функций :

z = ln(3 - x 2 - y 2 ) +

1

5

а)

x ; б) z = 4 - x2 - y 2 .

2.

Найдите частные производные первого порядка функции

z = tg

x2

+ y2

.

5xy

3.

Найдите

частные

производные

функцииz = z( x; y) ,

заданной

неявно

уравнением e2 x-3 y+5z + 2xyz - 5y + 7 = 0 .

4.

Найдите

градиент

функцииz = 3x5 + 4 y 2 + xy - 2 y

в

точкеМ0(1;3)

и

производную по направлению вектора M 0 M1 , где М1(-1;2).

5.

Составьте уравнения

касательной

плоскости и

нормали к поверхности

x2 + y 2 - 3z2 + xy + 2z = 0 в точке M 0 (1; 0; 1).

6.

Исследуйте на экстремум функцию z = 2x3 - 6x2 - 2 y2 +12 .

7.

Найдите

наибольшее

и наименьшее значение

функцииz = f (x; y)

в