§2 Прямая на плоскости.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой называется её нормальным вектором, и обозначается .

Теорема. Алгебраическое уравнение 1-й степени

,

где коэффициенты – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, являетсяуравнением прямой на плоскости , а вектор является её нормальным вектором.

Верно обратное: на координатной плоскости уравнение любой прямой с нормальным вектором, может быть записано в виде алгебраического уравнения.

Определение. Уравнение прямой вида

,

где коэффициенты – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, называетсяобщим уравнением прямой.

Известно, что прямая определяется двумя точками. Пусть и – точки, лежащие на прямой , – произвольная точка этой прямой. Тогда векторы и– коллинеарны, а их координаты пропорциональны. Получаемуравнение прямой, проходящей через две точки:

.

Определение. Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Определение. Пусть – направляющий вектор прямой. Тогда из предыдущего уравнения получаемканоническое уравнение прямой: .

Определение. В тех же обозначениях, параметрическое уравнение прямой имеет вид: .

Определение. Уравнение прямой вида , гдеи– произвольные, не равные нулю действительные числа, называетсяуравнением прямой в отрезках.

Теорема. Пусть – уравнение прямой в отрезках. Тогда,– координаты точек пересечения дан­ной прямой с осями координат.

Определение. Уравнение прямой вида , гдеи– произвольные действительные числа, называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом, коэффициент называетсяугловым коэффициентом дан­ной прямой.

Теорема. Пусть – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Тогда, где угол α равен углу наклона данной прямой к оси ,– ордината точки пересечения с осью.

Если известны угловые коэффициенты идвух прямых, то один из угловмежду этими прямыми определяется по формуле:

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение: или.

Теорема. (Связь нормального вектора прямой с её направляющим вектором и её угловым коэффициентом.)

1) Если – нормальный вектор прямой, то– её направляющий вектор, и, если, то– её угловой коэффициент.

2) Если – направляющий вектор прямой, то– её нормальный вектор, и, если, то– её угловой коэффициент.

3) Если угловой коэффициент прямой, то– её нормальный вектор, – направляющий вектор.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Две прямые на плоскости могут пересекаться, совпадать или быть параллельными.

Теорема. Пусть прямые заданы общими уравнениями:

L₁:,L₂:. Тогда:

1) если , то прямые совпадают, и система уравнений

имеет бесконечное множество решений;

2) если , то прямые параллельные, и система уравненийне имеет решений;

3) если , то прямые пересекаются и координаты точки их пересечения являются единственным решением системы уравнений

.

Определение. Уравнение вида , где– расстояние от прямой до начала координат, называетсянормальным уравнением прямой, – координаты орта вектора.

Чтобы привести прямую к указанному виду, разделим общее уравнение прямой на , причем со знаком «+» в случае, когда, и со знаком «-» в случае, когда, получим:

.

Теорема. Орт нормального вектора имеет координаты:

,

где .

Теорема. Расстояние от прямой до произвольной точки находится по формуле:

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно взять произвольную точку на одной из прямых и найти расстояние от нее до другой прямой.

Чтобы найти множество точек, равноудаленных от двух прямых и, составим уравнение:

.

Раскрывая модули в случае параллельных прямых, получаем параллельную им прямую, лежащую между данными прямыми, а в случае пересекающихся прямых – биссектрисы углов, образованных пересечением прямых.

Определение. Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

Теорема. Если и– уравнения двух прямых, пересекающихся в точкеS, то уравнение:

,

где – какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяют прямую, также проходящую через точкуS.

Более того, в указанном уравнении числа всегда возможно подобрать так, чтобы оно определяло любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида называется уравнением пучка с центром S.

Решение типовых задач

Задача №1:

Даны уравнения двух сторон параллелограмма ,и уравнение одной из его диагоналей. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Решение:

Найдём координаты т. как точки пересечения прямыхи:;; т.Выясним, какая из диагоналей задана.

Подставим координаты т. в уравнение диагонали:; т.не принадлежит заданной диагонали, следовательно– уравнение диагонали.

Найдём координаты т. , как точки пересеченияи:

; ; т..

Найдём координаты т., как точки пересеченияи:

; ; т..

Найдём координаты т.B: в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам: . Найдём координаты т.: т.– середина, следовательно, т.; т., но т.– середина, следовательно,и, поэтомуи, т..

Ответ:

Задача №2:

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку:

1. параллельно данной прямой.

2. перпендикулярно к данной прямой.

Решение:

1. Искомая прямая параллельна прямой , поэтому её уравнение имеет вид:.

Найдём т.: точкапринадлежит этой прямой, поэтому её координаты удовлетворяют записанному уравнению:,. Итак, прямая принимает вид:.

2. Т.к. заданная и искомые прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты удовлетворяют условию: .

Найдём угловой коэффициент прямой ;; итак,тогда. Запишем уравнение искомой прямой:.

Точка принадлежит этой прямой, поэтому; Уравнение прямой принимает вид: .

Ответ: ;.

Задача №3:

Определить, при каких значениях a и b две прямые , :

1. имеют одну общую точку;

2. параллельны;

3. совпадают.

Решение:

1. Прямые имеют одну общую точку, когда они не параллельны (их коэффициенты при x и y не пропорциональны): ;

2. Прямые параллельны, когда коэффициенты при x и y пропорциональны: ;.

3. Прямые совпадают, когда все их коэффициенты пропорциональны: ;.

Задача №4:

Найти проекцию точки на прямую.

Решение:

Проведём через т.прямую, перпендикулярную прямой. Точкапересечения прямых и является искомой проекцией.

Прямая перпендикулярна заданной прямой, поэтому её направляющим вектором служит нормальный вектор прямой, т.е..

Запишем уравнение прямой в каноническом виде:

; – уравнение.

Найдём координаты т.:

; ; т.

Ответ:

Задача №5:

Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой, проходящей через точкии.

Решение:

Составим уравнение , как прямой проходящей через 2 точки:

; – уравнение.

Найдём уравнение прямой перпендикулярной.

Нормальный вектор прямойявляется направляющим вектором прямой, поэтому используем каноническое уравнение прямой:;– уравнение прямой.

Найдём координат т., как точки пересечения прямыхи:

; ; т..

Так как точка симметрична точкеотносительно, следовательно, то есть т.– середина отрезка. Найдём координаты точки, зная начало и середину отрезка:

, , тогда

,

, т..

Ответ: .

Задача №6:

Даны вершины треугольника ,и. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершинына медиану, проведенную из вершины.

Решение:

Найдём координаты т., как середины отрезка:

т. , т..

Запишем уравнение медианы , как прямой, проходящей через две известные точки:

; – уравнение.

Нормальный вектор для является направляющим для прямойперпендикулярной, тогда уравнение примет вид:

; – уравнение.

Ответ: .

Задача №7:

Даны вершины треугольника ,,. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершинына биссектрису внутреннего угла при вершине.

Решение:

Пусть – биссектриса.

Найдём координаты т.воспользовавшись свойством биссектрисы: Тогда: ; ; т.;

Уравнение биссектрисы примет вид: = ⇒ , ,перпендикулярен⇒ .

Точка принадлежит искомому перпендикуляру, поэтому уравнениепримет вид:.

Ответ:

Задача №8:

Две стороны квадрата лежат на прямых ,. Вычислить его площадь.

Решение:

1. Выберем на прямой некоторую точку:

пусть , тогда⇒ , т.е. .

2. Найдём расстояние от точки до прямой:

⇒, где и есть длина стороны квадрата.

3. т.е. .

Ответ: .

Задача №9:

Даны две противоположные вершины квадрата и. Составить уравнения его сторон.

Решение:

Зная вершины исоставим уравнение диагонали, как прямой проходящей через две точки:⇒ – уравнение прямой .

Т.к. – квадрат, его диагонали являются биссектрисами, поэтому; найдём угловой коэффициент

.

Зная и, найдём угловой коэффициент:;⇒ . Уравнение примет вид:.

Найдём ; Тогда уравнение.

Т.к. перпендикулярно⇒ угловой коэффициент . Уравнениеимеет вид:, тогда– уравнение.

Т.к. – квадрат, то, то уравнениепримет вид:.

Зная, что точка принадлежит прямой, найдём свободный членискомого уравнения, итак– уравнение стороны.

Аналогично найдём уравнение стороны .

Ответ:

Задача №10:

Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

Решение:

Запишем уравнение прямой в отрезках:+1.

Из этого уравнения следует, что длины отрезков исоответственно равныи, поэтомукв. ед.

Ответ: кв.ед.

Задача №11:

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух его медиан.

Решение:

Выясним, что точка не принадлежит известным медианами.

Найдём координаты точки – пересечения медиан:⇒ т.

Продолжим медиану , и на её продолжении отложим отрезок. Соединим точкус вершинамии. Полученный четырёхугольник– параллелограмм (его диагонали пересекаясь в точке, делятся пополам).

Найдём координаты точки , как конца отрезкас известным началоми серединой

Найдём уравнение прямой , зная, чтои точкалежит на этой прямой:

Найдём координаты вершины , как точки пересечения прямыхи:⇒ т.

Точка – середина отрезка, поэтому.

Найдём координаты точки , как конца отрезкас известными началоми серединой:.

Зная координаты всех вершин треугольника , найдём уравнения его сторон, как прямых проходящих через две точки.

Ответ:

Задача №12:

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения биссектрис двух его углов:

Решение:

Очевидно, что точка не принадлежит заданным биссектрисами. Найдём точку, симметричную точкеотносительно биссектрисы. Можно доказать, что точкапринадлежит прямой. Опустим из т.перпендикуляр на биссектрисудо пересечения в точкеи отложим.

Т.к. перпендикулярно, то; точкапринадлежит прямой, поэтому её уравнение примет вид:

Координаты точки найдём как точки пересечения прямыхи:⇒ т.(;).

Найдём координаты точки , как конца отрезкас известными началоми серединой:().

Аналогично найдём точку , симметричную т.относительно биссектрисы. Точкапринадлежит прямой,.

Тогда уравнение стороны примет вид:или.

Найдём координаты точек и, как точек пересечения прямойи заданных биссектрис:();

Зная координаты вершин треугольника , найдём уравнения его сторон.

Ответ:

Задача №13:

Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми: и.

Решение:

Известно свойство: биссектриса есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Пусть – произвольная точка искомой биссектрисы, тогда;

; ; ;.

Тогда уравнения биссектрис примут вид: .

Ответ: .

Задача №14:

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , в котором лежит точка

Решение:

Найдём отклонение точки отзаданных прямых, для этого приведём их уравнения к нормальному виду:; нормирующий множитель+;+0.

Найдём отклонение ₁ т.от прямой, для этого в левую часть нормального уравнения подставим координаты т.:₁ --0.

Аналогично найдём отклонение ₂ т.от второй прямой:₂0. Отклонения имеют разные знаки, поэтому при раскрытии модулей (см. решение предыдущей задачи) справа ставим знак «минус».

⇒

Уравнение биссектрисы принимает вид:

Ответ: .

Задача №15:

На прямой найти точки, равноудалённые от прямыхи

Решение:

Точки равноудалённые от прямых и, лежат на биссектрисах углов, образованных этими прямыми. Аналогично решению предыдущих задач найдём их:.

Тогда искомые точки являются точками пересечения этих биссектрис и прямой , поэтому найдём их, решая системы:и.

Ответ:

Задача №16:

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения медианыи высоты, проведённых из различных вершин.

Решение:

Убедимся, что точка не принадлежит заданным медиане и высоте.

Найдём уравнение стороны , зная, что.⇒ тогда уравнение примет вид: , зная координаты т., принадлежащей, найдём, тогда уравнение примет вид:.

Найдём координаты т., как точки пересеченияи медианы:⇒ .

Пусть точка имеет координатыи, найдём их. Точка– середина, поэтому

Точка принадлежит медиане, точкапринадлежит высоте, поэтомуинайдём, решая систему:

Откуда Зная координаты вершин треугольника, найдём уравнения всех его сторон.

Ответ: .

Задача №17:

Через точку провести прямую так, чтобы её отрезок, заключённый между прямыми, делился бы в точкепополам.

Решение:

Обозначим через иточки пересечения заданных прямых и искомой прямой и пустьтогдат.к.– середина отрезка. Координатынайдём, составив систему уравнений:⇒ ⇒.

Составим уравнение искомой прямой, которая проходит через две точки, например, и:

Ответ:

Задача №18:

Составить уравнения сторон треугольника , зная одну из его вершина также уравнение высотыи биссектрисы, проведённых из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершини.

Решение:

Можно проверить, что т.не принадлежит ни высоте, ни биссектрисе. Найдём уравнение стороны, поэтому;, зная координаты т., найдём.

Итак, уравнение имеет вид:.

Рассмотрим пучок с центром в т.:.

Пусть , тогда уравнение пучка примет вид:

. (1)

–прямая пучка, причём координаты т.известны, поэтому найдёмдля прямой:, поэтому уравнениепримет вид:, т.е..

Найдём угол между прямыми и:tg 1⇒ .

Тогда угол равен 90°, т.е.; -. С другой стороны найдёмиз уравнения (1):

Итак, ⇒ .

Найдём уравнение стороны зная, что она принадлежит пучку. Подставимв уравнение (1) и получим уравнение стороны.

Ответ:

Образовательным результатом после изучения данной темы является сформированность компонент, заявленных во введении, совокупности компетенций (знать, уметь, владеть) на двух уровнях: пороговый и продвинутый. Пороговый уровень соответствует оценке «удовлетворительно», продвинутый уровень соответствует оценкам «хорошо» или «отлично» в зависимости от результатов защиты кейс-заданий.

Для самостоятельной диагностики данных компонент вам предлагаются следующие задания.