- •1.1. Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений
- •1.2. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •1.5. Прямая на плоскости
- •1.6. Прямая и плоскость в пространстве
- •1.7. Кривые второго порядка на плоскости
- •1.8. Поверхности второго порядка в пространстве
- •1.9. Линейные векторные пространства. Линейная независимость векторов. Базис, размерность пространства. Подпространство. Линейная оболочка. Пространство решений системы линейных уравнений
- •1.11. Линейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторами. Обратный оператор
- •1.12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •1.13. Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •1.14. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
cosϕ |
|
= |
|
|
AB AC |
|
= |
44 +80 −7 |
= |
117 |
|
= |
1 |
|
; |
|
|
||
|
| AB | | AC | |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 6 13 |
234 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
= |
|
|
AC CB |
|
= |
−77 +16 −86 |
= − |
|
117 |
= − |
1 |
; |
|||||
2 |
|
| AC | | CB | |
3 13 6 13 |
234 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ϕ |
= 60°, |
ϕ |
=120°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№12. Зная длины векторов a =8 , b =5 и угол между ними ϕ =120°, вычислить
( a +3 b , − 2 a +b ).
Решение: ( a +3 b ,
− 2 a +b )= a ( − 2 a +b )+3 b ( − 2 a +b )= − 2 a 2 + a b − 6 a b +3 b 2 = − 2 a −5 a b +
+3 b = − 2 8 |
2 −5 8 5 cos120°+3 52 = −128 − 200 (− |
1 |
) + 75 |
= 47. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: 47 .
№13. С помощью скалярного проиведения найти координаты единичного вектора, ортогонального двум данным векторам a и b и образующего тупой угол с осью 0y .
a = (−1,2,−1) , b = (2,−7,1) .
Решение: e (x, y, z) .
a e = − x + 2y − z = 0; a e ; x = 2y − z;
b e = 2x −7 y + z = 0; b e ; 4y − 2z −7 y + z = −3y − z = 0; z = −3y;
e j =| e | | j | cosϕ = cosϕ < 0; |
x = 2 y +3y = 5y; |
|
|
|
|
|||||||
e j = (x, y, z) (0,1,0) = y < 0; |
e(5y, y,−3y) ; |
|
|
|
|
|
||||||
| e | =1 = (5y)2 + y2 + (−3y)2 = 25y2 + y2 + 9y2 = 35y2 = 35 | y |= − 35y =1; y = − |
1 . |
|||||||||||
e = − 1 (5,1,−3) |
|
1 |
|
|
|
5 ,− |
1 |
|
3 |
|
35 |
|
= |
(−5,−1,3) = (− |
, |
). |
|
||||||||
35 |
|
|
35 |
|
|
|
35 |
35 |
|
35 |
|
|
Ответ: e ( − |
5 |
, − |
1 |
, |
3 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
35 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
№14. Вычислить, какую работу производит сила F = (2,−1,−4) , когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M (1,−2,3) в положение N(5,−6,1) .
Решение: A = F S; MN = (4,−4,−2);
A = F MN = 2 4 +1 4 + 4 2 = 8 + 4 +8 = 20;
Ответ: 20 (единиц работы).
1.3. Векторное и смешанное произведение векторов
№1. Вычислить [(2a −b),(a +3b)] , если a =3 , b = 2 , угол между a и b равен
60°.
10
Решение:
[(2a −b),(a +3b)] =[2a, (a + 3b)] −[b, a + 3b] =[6a,b] −[b, a] =[6a,b] +[a,b] = 7[a,b].
|
| 7[a,b] |2 = (7[a,b])2 = 49(| a | | b | sin 60°)2 = 49(3 2 3 )2 = |
49 36 3 |
= 49 9 3 =1323. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ:1323 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№2. Даны векторы a (−4,−8,8) , |
|
|
b (4,3,2) . |
Найти |
векторное |
произведение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[(2a −3b), (a + 4b)] . |
|
|
|
|
Синус |
|
|
угла |
|
|
между |
векторами |
a и |
b , площадь |
||||||||||||||||||||||||||||||||
параллелограмма, построенного по этим векторам. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. [(2a −3b), (a + 4b)] =[−3b, a] +[2a,4b] = 3[a,b] +8[a,b] =11[a,b]. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−8 |
8 |
|
, - |
|
− 4 |
8 |
|
|
|
|
|
− 4 |
−8 |
|
)=( −16 − 24,8 + 24,−12 +32) = (−40,40,20). |
||||||||||||||||||||||||||
2. [a,b] =( |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. 11[a,b] = (−440,440,220). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
sinα = |
|
|
|
|
|
|
|
|
| (−40,40,20) | |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
20 |
4 + 4 +1 |
= |
5 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(−4)2 + (−8)2 +82 |
42 +32 + 22 |
4 1 |
+ 4 + 4 16 + |
9 + 4 |
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. S=| [a,b] |= 20 4 + 4 +1 = 20 |
9 = 60. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: [(2a −3b), (a + 4b)] = (−440,440,220). , sin α = |
5 |
|
|
, S = 60 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№3. Дан |
ABC , |
|
|
A(4,−14,8) , |
|
B(2,−18,12) , C(12,−8,12) . Найти длину высоты, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
опущенной из вершины C на сторону AB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
S ABC = |
|
1 |
| |
AB | hc ; |
hc = |
|
Sпар |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
AB = (−2,−4,4); |
| AB |= |
|
2 2 + 4 2 |
+ 4 2 |
= 2 |
1 + 4 + 4 = 2 |
9 = 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
ABC = |
1 |
|
| [AB, AC] |= |
1 |
| [BA, BC] |; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
BC = (10,10,0); |
BA = (2,4,−4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
S |
ABC = 1 |
4 − 4 2 |
+ |
2 − 4 2 |
+ |
2 4 2 |
= |
1 |
|
402 + 402 + (20 − 40)2 |
= 30; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
10 0 |
|
|
|
|
|
10 0 |
|
|
|
|
|
1010 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
h |
= 2 |
30 |
=10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№4. Вычислить площадь |
|
|
|
ABC , |
A(1,1) , |
B(2,3) , |
C(4,5) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
S ABC = |
1 |
|
|
|
1 |
−1 1 |
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
3 +10 − 4 −12 −5 + 2 |
|
= |
1 |
|
−6 |
|
= 3. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№5. Установить, компланарны ли векторы a ,b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
(1,2,−2) , b (1,−2,1) , |
c |
(5,−2,−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Решение:
1 способ. α a + β b +γ c = 0 , установить существуют ли ненулевые решения
(α, β,γ).
2 способ. a b c = |
|
1 |
2 |
− 2 |
|
|
1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
− 2 |
1 |
|
= 2 |
1 |
−1 |
1 |
|
= 2 (1 + 2 +5 −10 +1 +1) = 0. |
|
|
|
5 |
− 2 |
−1 |
|
|
5 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: векторы компланарны.
№6. Вычислить объем параллепипеда, построенного на векторах a , b , c и установить, какой является тройка a , b , c (правой или левой).
a(1,1,2), b(2,1,1), c(1,−2,3). |
|
|
|
|||
Решение: a b c = |
|
1 |
1 |
2 |
|
= 3 −8 +1 − 2 + 2 −6 = −10, |
|
|
|||||
|
2 |
1 |
1 |
|
||
|
|
1 |
− 2 |
3 |
|
|
Vпар =| a b c |=10,
Т.к. a b c < 0 , то {a,b, c} - левая тройка. Ответ: V =10 , тройка векторов { a , b , c } левая.
№7. Даны вершины тетраэдраABCD . Найти длину его высоты, опущенной из вершиныC . A(0,−2,5) , B(6,6,0) , C(3,−3,6) , D(2,−1,3) .
Решение: VABCD |
= |
|
|
1 |
|
Sh; где S = S ABD |
- площадь основания, h - высота, опущенная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3VABCD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
из вершины C . |
h = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
AB(6,8,−5), |
|
AD(2,1,−2), AC(3,−1,1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
−5 |
|
|
6 −5 |
|
6 |
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
S = |
|
AB × AD |
|
= |
|
|
|
,− |
, |
|
= |
|
(−16 +5,12 −10,6 −16) |
|
= |
|
(−11,2,−10) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 − 2 |
|
|
2 − 2 |
|
2 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= 1 |
121+ 4 +100 = |
1 |
|
|
225 = 15 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
AD и AC; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Построим параллелипипед на AB, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vпар |
= 2Sh = 6 3Sh = 6VABCD ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
VABCD = |
1 |
|
|
6 |
8 |
−5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
− 2 |
|
= |
|
6 +10 − 48 +15 −12 −16 |
|
= |
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = 3VABCDS = 3 215 152 = 3.
Ответ: 3 .
№8. Даны векторы a (3,1,2), b (2,7,4), c (1,2,1). Найти [[a,b], c] и [a,[b, c]].
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
,− |
|
3 |
|
2 |
|
, |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
= (−10,−8,19); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение: [a,b] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
−8 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
19 |
|
,− |
|
10 |
|
19 |
|
, |
|
10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
[[a,b], c] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−46,29,−12); |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7 |
4 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
[b, c] = |
|
|
|
|
|
,− |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1,2,−3); |
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
,− |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
= (−7,7,7). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
[a,[b, c]] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 − |
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
−3 |
|
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: [[a,b],c] = (−46,29,−12) , [a,[b, c]] = (−7,7,7).
1.4. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица, системы линейных уравнений в матричной форме. Ранг матрицы. Элементарные преобразования и вычисление ранга. Метод окаймляющих миноров. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Метод Гаусса
|
2 |
5 |
7 |
|
|
|
|
r |
r |
|
3 |
|
|
6 |
3 |
4 |
|
. Найти A |
−1 |
r |
|
−1 |
|
||
№7. A = |
|
|
. Решить систему ЛАУ Ax = b , где b = |
. |
||||||||
|
5 |
−2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
1.прибавим ко второй строке первую, умноженную на –3; прибавим к третьей строке первую, умноженную на –2прибавим к первой строке первую, умноженную на –2.
|
|
|
|
2 5 7 |
|
|
|
|
|
2 5 |
|
7 |
|
|
|
|
0 27 |
41 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A |
|
= |
|
6 3 4 |
|
= |
|
|
|
0 |
−12 |
|
|
|
|
|
|
−17 |
= |
|
0 −12 |
−17 |
|
+ 41 12 |
= 33. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 27(−17) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 −2 −3 |
|
|
|
|
|
1 −12 −17 |
|
|
|
|
1 −12 |
−17 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
= −18 −84 +100 −105 +16 +90 = −1 ≠ 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
3 4 |
|
= −9 +8 |
= −1. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= − |
|
|
6 |
4 |
|
|
= −(−18 − 20) = 38 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
6 3 |
|
= −12 −15 |
= −27 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
5 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A21 = − |
|
5 |
7 |
|
= −(−15 +14) =1. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
13
A22 = |
2 7 |
|
|
= −6 −35 = −41. |
|||||
|
|
5 |
|
−3 |
|
|
|||
A23 = − |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
= −(−4 − 25) = 29 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
A31 = |
|
5 7 |
|
|
= 20 − 21 = −1. |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
A32 = − |
|
2 |
7 |
|
|
= −(8 − 42) = 34. |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A33 = − |
2 5 |
= 6 |
−30 = −24 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
|
|
−1 |
1 |
|
−1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
A |
−1 |
|
38 |
|
−41 |
34 |
|
|
−38 |
|
41 |
−34 |
|
|||||
|
|
|
|
= − |
|
|
= |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−27 |
|
|
29 |
−24 |
|
|
27 |
|
−29 |
24 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−1r |
|
3 |
|
1 |
−2 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
|
−114 |
|
−41 |
68 |
|
|
|
−87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = A |
b = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
81 |
|
29 |
−48 |
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: (–2, –87, 62)Т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№8. Найти ранг матрицы |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 3 −4 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A = |
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
1 |
−2 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
0 |
−4 |
6 |
|
|
|
Решение: 1 способ.
11 = −1− 2 ≠ 0 .
2−1
Рассмотрим окаймляющие миноры
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||
3,3: |
|
2 |
−1 |
3 |
|
= |
|
0 |
−3 |
5 |
= 0 |
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
−3 |
5 |
|
прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -4 соответственно (две одинаковые строки).
прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -5 соответственно
14
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|||||||||
4,3 |
|
2 |
−1 |
3 |
|
= |
|
0 |
−3 |
5 |
|
|
|
|
5 |
2 |
0 |
|
|
|
0 |
−3 |
5 |
|
|
прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -4 соответственно
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
= 0 . |
3,4 |
2 |
−1 |
−4 |
= |
0 |
−3 |
−6 |
|
|
4 |
1 |
−2 |
|
0 |
−3 |
−6 |
|
прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -5 соответственно
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
. |
4,4 |
2 |
−1 |
−4 |
= |
0 |
−3 |
−6 |
≠ 0 . |
2 |
−3 |
−6 |
|
|
5 |
2 |
−4 |
|
0 |
−3 |
−9 |
|
5 |
−3 |
−9 |
|
прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -4 соответственно
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
= 0. |
3,5 |
2 |
−1 |
0 |
= |
0 |
−3 |
−4 |
|
|
4 |
1 |
4 |
|
0 |
−3 |
−4 |
|
прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -2 и -5 соответственно
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
4,5 |
2 |
−1 |
0 |
= |
0 |
−3 |
−4 |
= 0 |
|
5 |
2 |
6 |
|
0 |
−3 |
−4 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
Рассмотрим |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
−1 |
−4 |
|
|
|
4 |
|
5 |
2 |
−4 |
|
Найдем окаймляющие его миноры прибавим ко второй, третьей и четвертой строке первую, умноженную на -2, -5 и -4 соответственно
|
1 |
1 |
1 |
−1 |
|
1 |
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
−1 −4 |
3 |
= |
0 |
−3 |
−6 |
5 |
= 0 . |
|
|
5 |
2 |
−4 |
0 |
|
0 |
−3 |
−9 |
5 |
|
|
4 |
1 |
−2 |
1 |
|
0 |
−3 |
−6 |
5 |
|
прибавим ко второй, третьей и четвертой строке первую, умноженную на -2, -5 и -4 соответственно
15
1 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
−1 |
−4 |
0 |
= |
0 |
−3 |
−6 |
−4 |
= 0. |
5 |
2 |
−4 |
6 |
|
0 |
−3 |
−9 |
−4 |
|
4 |
1 |
−2 |
4 |
|
0 |
−3 |
−6 |
−4 |
|
Итак, rangA =3 .
2способ.
1.прибавим ко второй, третьей и четвертой строке первую, умноженную на -2, -4 и -5 соответственно
2.прибавим ко второму, третьему, четвертому и пятому столбцу первый, умноженный на -1, 1, -1 и -2 соответственно
3.прибавим к третьей и четвертой строкам вторую, умноженную на -1
4.получим rangA =3
|
1 1 −1 1 2 |
|
1 1 −1 1 |
2 |
|
1 0 0 0 0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
−1 3 −4 0 |
|
|
|
0 |
−3 5 −6 −4 |
|
|
0 −3 5 −6 −4 |
|
→ |
|||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
→ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4 1 1 −2 4 |
|
|
|
0 |
−3 5 −6 −4 |
|
|
0 −3 5 −6 −4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5 2 0 −4 6 |
|
0 −3 5 −9 −4 |
|
0 −3 5 −9 −4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 0 0 |
|
1 0 0 0 0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 −3 |
5 |
|
|
−6 |
|
−4 |
|
|
0 |
−3 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
rangA = 3 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 0 0 |
|
|
0 0 0 0 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 −3 0 |
|
|
0 0 0 −3 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ответ: rangA =3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 9. A = |
. Найти A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5 |
−2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
r |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
−5 |
|
Решить методом Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ax = b , b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Мы нашли A |
−1 |
= |
|
−38 |
41 |
−34 |
|
|
|
|
|
A |
|
и алгебраические |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
, вычисляя |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
−29 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дополнения элементов матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Есть другой эффективный способ нахождения обратной матрицы – метод |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Гаусса (метод расширенной матрицы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
K a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим матрицу матрицы A = K K K |
, представляющую собой |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
L ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
|
a11 |
|
K a1n |
|
|
1 0 K 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[AME]= K K K |
K K K K . |
||||||||
|
|
|
|
|
L ann |
|
|
|
||
|
|
|
an1 |
|
0 0 K 1 |
|||||
Элементарными преобразованиями матрицы |
[AME] можно свести к виду |
|||||||||
1 |
0 |
K |
0 |
|
b |
b |
K b |
|
||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
0 |
1 |
K |
0 |
|
b21 |
b22 K b2n |
|||
|
|
|
|
|
|
K |
K K K |
=[EMB] |
||
K K K K |
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
bn1 |
bn1 K bnn |
||||||
|
|
|
|
|
Тогда B = A−1.
1.прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -3 и -2 соответственно
2.прибавим к первой и второй строке третью, умноженную на -2 и -1 соответственно
3.прибавим к третьей строе вторую
|
|
|
2 5 7 |
|
1 0 0 |
|
2 5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
1 0 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 3 4 |
|
0 1 0 |
|
|
|
0 |
−12 |
|
|
|
−17 |
|
|
|
−3 1 0 |
|
→ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
[A | E]= |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 −2 |
−3 |
|
0 0 1 |
|
|
|
1 |
−12 |
|
|
|
−17 |
|
|
|
−2 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 29 |
|
|
|
41 |
|
|
|
5 0 −2 |
|
|
1 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 −1 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
−1 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−1 1 −1 |
|
→ |
|
0 29 |
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
5 0 −2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 −12 −17 |
|
|
−2 0 1 |
|
|
|
|
0 |
−12 |
|
|
|
−17 |
|
|
|
−3 1 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 −1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
→ |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
→ |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
29 |
|
|
29 |
29 |
|
|
29 |
|
|
|
29 |
|
29 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−3 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 0 − |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 − |
|
|
|
|
|
− |
1 |
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
29 |
29 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
прибавим ко второй и третьей строкам первую, умноженную на -3 и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−5 соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 5 7 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
7 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 3 4 |
|
|
−5 |
|
|
|
0 |
|
|
−12 |
|
|
|
|
−17 |
|
−8 |
|
|
|
|
0 12 |
17 |
|
|
8 |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 −2 −3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
−3 − 35 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
41 |
9 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 −2 − |
7 − |
|
0 − |
− |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
2 |
|
5 |
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
12 |
17 |
|
8 |
|
||
|
|
|
29 |
|
41 |
|
9 |
. |
|
0 |
− |
− |
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 1 − 5 (−175) + 7 124 =872 , |
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
x = |
8 −17 x3 |
= −175 , |
|
|
|
|||
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 31 12 =124 . |
||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: x1 =872, x2 = −175, x3 =124. |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
№10. Для матрицы A = |
|
1 |
2 |
4 |
|
найти обратную матрицу методом |
|
|
|||||
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Гаусса. Решение:
1.прибавим ко второй и третьей строке первую, умноженную на -1 и -2 соответственно
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 1 1 |
|
1 0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
4 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
3 |
|
−1 1 |
0 |
|
→ |
[A | E]= |
|
|
→ |
|
|
||||||||||||
|
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
−2 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
1 0 0 |
|
1 1 0 |
|
|
|
0 −1 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 0 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
→ |
|
|
|
−1 |
→ |
|
|
|
1 1 −1 → |
|||||||||||||||
|
0 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 |
|
|
|
−2 0 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
−2 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 1 0 |
|
0 −1 1 |
|
1 0 0 |
|
4 1 −2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 0 1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
→ |
|||||||||||
→ |
|
−1 |
|
→ |
|
1 1 −1 |
||||||||||||||||||
|
0 1 0 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
−4 −2 3 |
|
|
|||||||
|
|
|
−2 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
−2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
−4 −2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
→ |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A |
−1 |
|
|
−4 |
|
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка:
18
|
1 |
1 |
1 |
4 1 −2 |
|
1 |
0 |
0 |
||||||
|
1 |
2 |
4 |
|
|
−4 |
|
−2 3 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
= |
. |
||||||||
|
2 |
3 |
4 |
|
|
1 1 −1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 1 −2 |
1 1 1 |
|
1 |
0 |
0 |
||||||||
|
−4 −2 3 |
|
|
1 2 4 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
= |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 4 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 1 −1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
−2 |
|
Ответ: A |
−1 |
|
−4 |
−2 |
3 |
|
|
= |
. |
||||
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
№11. Проверить совместность системы и решить ее методом Гаусса в случае совместности.
x1 − x2 + x3 − 2x4 =1, а) x1 − x2 + 2x3 − x4 = 2,
5x1 −5x2 +8x3 −7x4 = 3.
Решение:
1.прибавим ко второй строке первую, умноженную на -1; прибавим к третьей строке первую, умноженную на -5
2.прибавим к третьей строке вторую, умноженную на -3
|
|
|
1 -1 1 -2 |
|
1 |
1 -1 1 -2 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
[A | B] |
|
|
1 -1 2 -1 |
|
2 |
|
|
0 0 1 1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
→ |
|
→ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 -5 8 -7 |
|
|
3 |
|
|
0 0 3 3 |
|
-2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
-1 |
1 |
-2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→ |
|
|
rangA = 2, rang[A | B]= 3 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Согласно критерию Кронекера-Капелли, система не совместна. |
||||||||||||||||||||||||||
x1 + x2 −3x4 − 4x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) x1 + x2 − x3 + 2x4 − x5 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2x |
|
+ 2x |
+ x |
− x |
+3x |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 1 0 -3 -4 |
|
0 |
1 1 0 -3 -4 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
[A | B] |
|
|
1 1 -1 2 -1 |
|
1 |
|
|
0 0 -1 5 3 |
|
1 |
|
→ |
||||||||||||||
= |
|
|
→ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 2 1 -1 3 |
|
0 |
|
|
0 0 1 5 11 |
|
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
1 |
0 |
-3 |
-4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
0 |
-1 |
5 |
3 |
|
1 |
|
rang[A | B]= rangA = 3, n − r = 5 −3 = 2 . |
||||||||||||||||
→ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
0 |
10 |
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19