- •1.1. Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений
- •1.2. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •1.5. Прямая на плоскости
- •1.6. Прямая и плоскость в пространстве
- •1.7. Кривые второго порядка на плоскости
- •1.8. Поверхности второго порядка в пространстве
- •1.9. Линейные векторные пространства. Линейная независимость векторов. Базис, размерность пространства. Подпространство. Линейная оболочка. Пространство решений системы линейных уравнений
- •1.11. Линейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторами. Обратный оператор
- •1.12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •1.13. Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •1.14. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
1.1.Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений ______________________________________________ 4
1.2.Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов______________________________________________________________________ 7
1.3.Векторное и смешанное произведение векторов_______________________________ 10
1.4.Матрицы и действия над ними. Обратная матрица, системы линейных уравнений в матричной форме. Ранг матрицы. Элементарные преобразования и вычисление ранга. Метод окаймляющих миноров. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Метод Гаусса___________________________________________________ 13
1.5.Прямая на плоскости ___________________________________________________ 20
1.6.Прямая и плоскость в пространстве ________________________________________ 27
1.7.Кривые второго порядка на плоскости ____________________________________ 34
1.8.Поверхности второго порядка в пространстве _____________________________ 36
1.9.Линейные векторные пространства. Линейная независимость векторов. Базис, размерность пространства. Подпространство. Линейная оболочка. Пространство решений системы линейных уравнений__________________________________________ 38
1.10.Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора.
Ортогональный и ортонормированный базис_____________________________________ 41
1.11.Линейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторами.
Обратный оператор __________________________________________________________ 43
1.12.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора_______ 45
1.13.Переход к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду _____ 47
1.14.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра ____________________________________ 49
3
1.1. Определители матриц и их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера для системы n линейных уравнений
№1. Вычислить определитель |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
4 |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
4 |
3 |
|
= 4 6 −(−5) 3 = 39. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
cosα |
|
|
−sinα |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sinα |
|
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
−sinα |
|
= cos2 α −(−sin 2 α) =1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
|
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№2. Вычислить определитель |
|
4 |
− 2 |
4 |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
10 |
2 |
12 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
Решение:
1 способ: используя свойства и правила вычисления определителя третьего
порядка: |
|
4 |
− 2 4 |
|
= 2 2 |
|
2 |
−1 |
2 |
|
= 4 2 |
|
2 |
−1 1 |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
10 |
2 |
12 |
|
|
5 |
1 |
6 |
|
|
5 |
1 |
3 |
|
||||
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
=8(2 +10 −3 −1 −12 +5) = 8.
2 способ: используя теорему Лапласа: |
|
|
2 |
−1 |
1 |
|
=8 [2 (−1)1+1 |
|
1 |
3 |
|
− |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= 8 |
|
5 |
1 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−1 (−1)1+2 |
|
|
+1 (−1)1+3 |
|
|
]=8 [2 (1−6) + (5 −3) + (10 −1)] = 8 (−10 + 2 +9) = 8 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№3. Решить уравнение |
x2 |
|
x |
1 |
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
|
|
x2 |
|
|
x |
1 |
|
= − x2 |
+ 2 + 4x + 4 − 2x2 |
− x = −3x2 |
+3x + 6 = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 − x − 2 = 0; x1 = 2 , x2 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: x1 = 2 , |
x2 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
№4. Вычислить определитель произведения 2-х матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 −7 |
|
|
|
|
4 −1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 6 −3 |
|
= |
|
4 |
−2 |
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
, B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 1 |
|
|
|
|
|
2 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
|
−1 |
|
6 |
−3 |
|
= 30 − 28 −18 +84 −60 +3 =11, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 −1 3 |
|
|
|
4 −1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −1 1 |
|
|
|
|
|
2 −1 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
= |
|
|
4 −2 −6 |
|
=3 |
4 −2 −2 |
|
|
|
|
= 3 2 |
|
2 −1 −1 |
|
= 6 2 |
|
1 −1 −1 |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
=12 |
|
0 −1 −2 |
|
=12 |
|
0 0 −1 |
|
|
=12 (1+ 0) =12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
DAB = DBA =11 12 =132. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ответ: 132. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№5. Вычислить определитель 4-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−9 |
−14 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 |
−14 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −3 −4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4+1 |
−3 −4 |
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−3 |
−8 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−8 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
−4 |
|
= (−6) (−1)2+1 |
|
1 −4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= (−1) (−3) (−2) |
|
1 2 1 |
|
= −6 |
|
1 2 1 |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−4
=12 1 −1 =12(−1+ 4) = 36.
Ответ: 136.
5
№6. Доказать тождество: 1 1 1
xy z = (y − x)(z − x)(z − y) (определитель Вандермонда)
x2 y2 z2
Доказательство:
Из каждой строки вычитаем предыдущую, умноженную на
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
y − x |
z − x |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
y |
z |
= |
0 |
y − x |
z − x |
= |
= (y − x)(z − x) |
= |
||||
x2 |
y2 |
z2 |
|
0 |
y2 − yx z2 − zx |
|
y(y − x) |
z(z − x) |
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (y − x)(z − x)(z − y) .
№7. Доказать тождество, не вычисляя определителя |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cosα |
cos β |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
1 |
|
|
|
|
cos(α + β) |
|
= 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos β |
cos(α + β) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
1 |
|
cosα |
|
|
cos β |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
1 |
|
|
|
|
cos(α + β) |
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos β |
cos(α + β) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos β |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
1−cos2 α |
cos(α + β) −cosα cos β |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
cos(α + β) −cosα cos β |
|
|
1−cos2 β |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
cosα |
|
cos β |
|
|
|
|
|
sinα |
−sinα |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
0 |
|
|
|
sin2 α |
−sinα sin β |
|
=sinαsin β |
= 0 , |
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
−sinαsin β |
|
sin2 β |
|
|
|
|
|
−sin β |
sin β |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
№8. Решить систему методом Крамера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4x + y = 5, |
|
|
2x +3x − x = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
б) x1 |
+ 2x2 + 2x3 = 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3x − 2 y =12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
3x1 + 4x2 −5x3 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. а) = |
|
|
|
|
= −8 − |
3 = −11, |
x = |
|
|
= −10 −12 = −22 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
−2 |
|
|
|
|
|
6
y = |
4 |
5 |
= 48 −15 = 33. |
|
3 |
12 |
|
x = −−2211 = 2, y = −3311 = 3.
Ответ: (2,3).
б) |
|
A |
|
= |
|
2 |
9 |
−1 |
|
= −1, D1 = |
|
4 |
3 |
-1 |
|
= -1, D2 = |
|
2 |
4 |
-1 |
|
= −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
5 |
2 |
2 |
|
|
1 |
5 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
−5 |
|
|
|
2 |
4 |
-5 |
|
|
|
3 |
2 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
2 |
3 |
4 |
= −1 x = |
D1 |
=1, x = |
D2 |
=1, x = D3 |
=1. |
||||
1 |
2 |
5 |
|||||||||||
3 |
1 |
A |
|
2 |
A |
3 |
A |
|
|
||||
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
x1 = x2 = x3 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов
№1. Будут ли эквивалентны направленные отрезки AB и CD , если A=(0,2), B=(-1,3), C=(4,7), D=(6,5)? Как нужно изменить координаты точек C и D,чтобы
получился отрезок, эквивалентный AB ? Решение:
AB =(-1,1), CD =(2,-2), |
|
AB |
|
= 1 +1 = 2 , |
|
CD |
|
= 22 + (−2)2 =2 2 , |
|
|
|
|
эквивалентны не будут, т.к. длины различны. ????????????
№2. В параллелограмме ABCD AB = a , BC =b . Выразить через a и b векторы
CD , DA , AC , BD .
Решение:
CD =- a , DA =-b , AC = a +b , BD =b - a . Ответ: CD =- a , DA =-b , AC = a +b , BD =b - a .
№3. |
В параллелограмме ABCD AC = a , BD =b . Выразить через a и b векторы |
CD , |
DA , BC , AB . |
Решение:
AO =OC = 12 a , BO =OD = 12 b .
AB + BO = AO , AB =- BO + AO =- 12 b + 12 a = 12 (a -b ).
7
BC = BO +OC = 1 |
b + 1 a = |
1 |
( a +b ). |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
CD =- AB = 1 (b - a ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DA =- BC =- |
1 |
( a +b ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: AB = |
1 |
( a |
-b ), BC = |
1 |
( a +b ), CD = |
1 |
(b - a ), DA =- |
1 |
( a +b ). |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
№4. Дано: A=(0,3,-7), |
B=(6,9,2), C=(8,-1,6), |
D=(-2,5,11), a = AB , b =CD . |
||||||||
Вычислить 6( a +b )-4(b - a ). |
|
|
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a =(6,6,9), b =(-10,6,5).
6( a +b )-4(b - a )=6(-4,12,14)-4(-16,0,-4)=(-24,72,84)-(-64,0,-16)=(40,72,100). Ответ: (40,72,100).
№5. Подберите отличные от нуля числа α, β,γ так, чтобы αa + βb +γc =0, где
a =(5,3), b =(2,0), c =(4,2).
Решение:
5α + 2β + 4γ = 03α + 2γ = 0
α =- 23 γ , 5(- 23 )γ +2 β +4γ = (−103 + 4)γ + 2β = 23 γ + 2β = 0 ,
β = −13 γ .
Ответ: (− 23 γ,−13γ,γ) , γ ≠ 0 , векторы линейно зависимы.
№6. Пусть l1,l2 произвольный базис на плоскости. В параллелограмме ABCD
AB = a =l1 +l2 , BC =b =l1 − 2l2 . Найти AC и BD в этом базисе. Решение:
AC = AB + BC =l1 +l2 +l1 − 2l2 = 2l1 −l2 |
, (2,-1). |
BD = BC - AB =l1 − 2l2 -(l1 +l2 )=-3l2 , |
(0,-3). |
Ответ: AC =(2,-1), BD =(0,-3). |
|
№7. Найти разложение вектора c по векторам a и b ; показать, что a и b могут образовывать базис:
a) a =(3,2), b =(-5,7), c =(13,81); б) a =(1, 3 ), b =(- 3,−3), c =(6,-1).
Решение:
8
а) 3α −5β = 0 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2α + 7β = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
=21+10=31 ≠ 0 a и b линейно независимы могут образовывать |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2α −5β =13 |
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
3α + 7β |
= 81 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
α |
= |
|
1 |
|
|
|
|
13 |
|
|
−5 |
|
=16, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
31 |
|
|
|
81 |
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
β |
= |
|
1 |
|
|
3 |
|
13 |
|
= 7 |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
31 |
2 |
|
81 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c =16 a +7b . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
α − 3β = 0 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3α −3β = 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
− |
3 |
=-3+3=0 α = 3β, β R, поэтому α = 3β, β ≠ 0 |
|
αa + βb = 0 a и b |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
−3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейно зависимы и не образуют базис.
Ответ: а) c =16 a +7b ; б) a и b лин. зависимы и не образуют базис.
№9. Вычислить направляющие косинусы вектора AB : A(2,−5,1) , B(3,4,−6).
|
Решение: AB = (1,9,−7) , | AB |= |
1+81+ 49 = 131 , 131 - простое число. |
|||||
cosα= |
1 |
, cosβ= |
9 |
, cosγ= |
−7 . |
|
|
|
131 |
|
131 |
|
131 |
|
−7 . |
|
Ответ: cosα= |
1 |
, cosβ= |
9 |
, cosγ= |
||
|
|
|
131 |
131 |
|
131 |
№10. Даны три вектора a (5,4) , b (−3,0) , c (19,8) . Найти разложение вектора c по векторам a и b , показать,что a и b могут образовывать базис c (2,−3) в базисе
{ a , b }.
|
Ответ: c = 2a −3b . |
|
|
№11. Дан ABC , A(−3,5,6) , B(1,−5,7) , |
C(8,−3,−1) . Найти внутренний угол при |
||
вершине A и внешний угол при вершине C . |
|
||
|
Решение: BAC =( AB , AC )=ϕ |
, ACB = (CB , AC )=ϕ |
; |
|
|
1 |
2 |
AB = (4,−10,1) , AC = (11,−8,−7) , CB = (−7,−2,8) . |
|
||
| AB |= |
16 +100 +1 = 117 =3 13 ; |
|
|
| AC |= |
121 + 64 + 49 = 234 = 6 13 ; |
|
|
| BC |= |
49 + 4 + 64 = 117 =3 13 ; |
|
|
9