1.8. Точность импульсных систем

Точность замкнутой импульсной системы (рис. 1.3) в дискретные моменты времени определяется сигналом ошибки (рассогласования), который характеризует текущую ошибку. Для оценки точности более удобно ввести, как это сделано для непрерывных систем, понятие установившейся ошибки, которая определяется для достаточно больших моментов временипосле затухания переходной (свободной) составляющей процессов и в отличие от текущей ошибки часто является числом. Итак, при вычислениибудем полагать, что.

Изображение сигнала ошибки и изображение входа связаны соотношением

,

где передаточную функцию разомкнутой системы будем брать в форме (1.22)

.

Обычно оценивается точность импульсной системы на два вида воздействий: полиномиального и гармонического.

Частными случаями полиномиального воздействия являются единичная ступенчатая функция (скачок по положению) , линейное воздействие (скачок по скорости)и квадратичное воздействие (скачок по ускорению).

В теории -преобразования существует теорема о конечном значении решетчатой функции (оригинала)

.

Используя эту теорему, можно написать

, (1.57)

где .

Рассмотрим частные случаи. Пусть ,, тогдаи из (1.57) нетрудно получить. Т.к.соответствует статической системе, то такую ошибку называютстатической.

Пусть ,, тогдаи из (1.57) получим. Такую ошибку будем называтьскоростной. Нетрудно проверить, что в данном случае статическая ошибка будет равно нулю.

Пусть , статическая и скоростная ошибки будут равны нулю, появится ошибка по ускорению. При этом все ошибки будут обратно пропорциональны величине.

Итак, можно сделать вывод, который является общим для импульсных систем: точность системы тем выше (ошибки тем меньше), чем выше порядок астатизма системы и больше величина . Так какпрямо пропорциональна коэффициенту усилениялинейной, непрерывной части системы, то увеличениебудет приводить к повышению точности импульсной системы.

Точность системы в установившихся режимах также можно описывать по коэффициентам ошибок ,, …, которые имеют аналогичный непрерывным системам смысл и определяются по выражению:

,. (1.58)

В частности для системы с астатизмом го порядка _.

_{Рассмотрим анализ точность системы при воспроизведении гармонического сигнала , амплитуду которого будем полагать равной единице. Тогда в соответствии с (1.43) в установившемся режиме на выходе замкнутой системы сигнал будет иметь вид}

_, (1.59)

_{а ошибка в установившемся режиме будет}

_{, (1.60)}

_{где , , ,   соответствующие значения модулей и сдвигов фаз, определенные по частотным характеристикам} , .

Обычно в теории систем автоматического управления считают, что ошибки воспроизведения гармонического сигнала по фазе не имеют существенного влияния на работу САУ. Ошибки воспроизведения амплитуды из (1.59), (1.60) будут

_,

_{. (1.61)}

_{Обычно , однако в диапазоне низких частот при малом можно считать .}

_{Так же как и для непрерывных систем, для замкнутой импульсной системы можно ввести понятие полосы пропускания: это диапазон частот от 0 до , в котором ошибка воспроизведения гармонического сигнала не превышает заданной величины , т.е. .}

_{Так как , а , то для определения и в (1.61) можно использовать АФЧХ разомкнутой системы .}

Если частота входной гармоники достаточно низкая, то несложно показать, что при для статических систем,и. Для астатических систем,и.

Таким образом, на точность воспроизведения гармонического сигнала влияет порядок астатизма и коэффициент усиления непрерывной части системы, входящей в.

В заключение отметим, что все изложенное имеет смысл только для устойчивых систем.

Пример 1.9. Рассмотрим импульсную САУ из примеров 1.3 и 1.7. Передаточная функция непрерывной части , а передаточная функция разомкнутой импульсной системы,,. Рассмотрим случай когда, тогда. В примере 1.7 дляусловие устойчивости будет.

Найдем и статическую ошибку

.

Из условия устойчивости следует, что при любом конечномошибку нельзя сделать меньше величины.

Оценим ошибки в такой системе при гармоническом воздействии. Очевидно,

,.

Примем , из условия устойчивостивыберем, тогда. Модули частотных характеристик будут

,,

Пусть ,, тогда,. В соответствии с (1.61)_{имеем , , т.е. ошибки почти совпали. В процентном отношении ошибка составляет 33%.}

_{Пусть , из условия устойчивости выбираем , тогда .} При ,ошибки в этом случае будут,, т.е.%.