- •В. П. Кузнецов, с. В. Лукьянец, м. А. Крупская теория автоматического управления
- •Часть 2 Дискретные системы, нелинейные системы, случайные процессы в системах автоматического управления
- •Isbn 978-985-488-070-9 (ч.2)
- •Isbn 978-985-488-048-8
- •Содержание
- •Предисловие
- •1. Дискретные системы автоматического управления
- •1.1.Основные понятия и классификация
- •1.2. Решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа
- •1.3. Описание разомкнутых импульсных систем
- •1.4. Частотные характеристики импульсных систем
- •1.5 Характеристики замкнутых импульсных систем
- •1.6. Процессы в импульсных системах
- •1.7. Устойчивость процессов в импульсных системах
- •1.8. Точность импульсных систем
- •1.9. Оценки качества импульсных систем
- •1.10.Условия эквивалентности импульсных и непрерывных сау
- •1.11. Элементы синтеза импульсных систем
- •1.12.Уравнения состояния линейных импульсных систем
- •1.13. Характеристики импульсных систем, описываемых уравнениями в пространстве состояний
- •1.14. Цифровые системы автоматического управления
- •1.15. Исследование цифровых систем автоматического управления
1.10.Условия эквивалентности импульсных и непрерывных сау
Рассмотрим разомкнутую импульсную систему, приведенную на рис. 1.5, б, передаточная функция ЭЛНЧ которой имеет вид . Передаточная функция импульсной системы будет, а частотная характеристика. Существует связь между частотными характеристиками ЭЛНЧи частотной характеристикой импульсной системы, которая имеет вид [4]:
, (1.68)
где, как и ранее, частота дискретизации.
Итак, характеристика получается суммированием смещенных относительно друг друга вдоль осина частоту повторенияхарактеристикЭЛНЧ, умноженных на. Из (1.68) вещественные и мнимые части частотных характеристик
,
(1.69)
.
Предположим, что вещественная и мнимая частотные характеристики заданы на интервале частоты отдо( полоса пропускания) и вне этого интервала равны нулю, а спектральные характеристики входного сигнала определены на некотором интервалеи равны нулю вне этого интервала. В этом случае, если, справедливо следующее соотношение
. (1.70)
Итак, при выполнении условия импульсная система с передаточной функциейпреобразует входной сигнал точно так же, как некоторая непрерывная система с передаточной функцией.
Фактически сформулирован аналог известной теоремы Котельникова: если спектр частот входного воздействия ограничен и лежит в диапазоне частот , то свойство системы с АИМ, у которойтождественны свойствам эквивалентной непрерывной системы с АФЧХ.
Частотные характеристики входного сигнала и системына практике реально не ограничены по частоте величинамии, и можно говорить лишь об их малости при и. Поэтому на практике условие сведения системы с АИМ к соответствующей непрерывной системе обычно ужесточают и требуют, чтобы
, (1.71)
где – частота, характеризующая полосу пропускания ЭЛНЧ.
Для проверки выполнения (1.71) следует построить и найти. Иногда вместо (1.71) легче воспользоваться другой более простой рекомендацией [6]:
, (1.72)
где – максимальная постоянная времени передаточной функции .
Использование в качестве эквивалентной передаточной функции неудобно из-за присутствия в ней передаточной функции формирующего устройства, АФЧХ которого имеет вид
.
АЧХ и ФЧХ фиксирующего устройства будут:
, .
Соответственно АФЧХ эквивалентной непрерывной системы
. (1.73)
В основном методы анализа непрерывных линейных систем управления разработаны для случая, когда передаточная функция разомкнутой системы является дробно-рациональной относительно . Поэтому непосредственное исследование передаточной функции
, (1.74)
и частотных характеристик разомкнутой системы (1.73) затруднительно.
Рассмотрим возможные варианты дальнейшего упрощения моделей импульсных систем.
Если полагать в (1.73) , то и , а (1.74) превратится в следующее выражение:
. (1.75)
И, наконец, наиболее простой вид модель приобретает при условии, когда мало:
, (1.76)
т.е. практически с точностью до множителя передаточные функции и совпадают. Очевидно, при все сказанное соответствует случаю, когда формирующее устройство является фиксатором нулевого порядка.
Для всех трех эквивалентных моделей (1.74), (1.75), (1.76) характерно то, что они тем более близки к исходной импульсной системе, чем ниже диапазон рассматриваемых частот, т.е. справедливы в низкочастотной области. Модель (1.74) более точная, но неудобная, модель (1.76) менее точная из всех трех типов.
Пример 1.11. Пусть . В примерах 1.3 и 1.7 получена передаточная функция разомкнутой системы ,,. Передаточная функция замкнутой системы .
Далее будем рассматривать для наглядности случай , . В примерах 1.3 и 1.7 получены следующие результаты при анализе импульсной системы:
– область устойчивости
;
– процессы будут носить монотонный характер , если
;
– процессы будут носить колебательный характер , если
;
– переходная функция имеет вид
. (1.77)
Основные выводы: в системе могут при определенных параметрах существовать как монотонные, так и колебательные процессы; коэффициент усиления ограничен из условия устойчивости и не может быть сделан сколь угодно большим.
Вместо импульсной системы рассмотрим эквивалентную непрерывную систему с передаточной функцией вида (1.76). Так как в нашем примере , то имеем .Вид переходного процесса в замкнутой системе будет
, (1.78)
а условие устойчивости: .
Итак, коэффициент можно увеличивать до любого значения без потери устойчивости, а процессы (1.78) всегда будут монотонными.
Для дискретных моментов времени выражение (1.78) приобретает вид:
. (1.79)
Очевидно, чем ближе величины и , тем процессы будут ближе между собой. Так как , , то разлагая функции и в ряд Тейлора относительно и ограничиваясь линейными членами, получим
,
.
Итак, при малых процессы в обеих системах идентичны и имеют монотонный характер.
Однако, например, при и процесс в дискретной системе (1.77) будет , а в соответствующей непрерывной системе (1.79) , т.е. эти процессы совершенно различны.
Рассмотрим второй случай замены импульсной системы непрерывной с передаточной функцией (1.75). Для нашего случая и
.
Передаточная функция замкнутой системы будет
.
В этом случае приходим к системе автоматического управления с запаздыванием.
Уравнение, связывающее вход и выход системы, будет иметь вид
и является дифференциально-разностным. При оно превращается в дифференциальное.
Условие устойчивости для такой системы
.
Здесь опять имеем ограничения на коэффициент усиления из условий устойчивости, как и в исходной импульсной системе.
Наконец, замена импульсной системы непрерывной с передаточной функцией (1.74) приводит нас в данном случае к дифференциально-разностному уравнению второго порядка
, .