matan4_bel
.pdfТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 11 – 12, стр. 2 из 7
Теорема 2. |
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Пусть функция f (x,α) |
и |
ее частная производная |
∂f (x,α) |
непрерывны на G. |
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∂α |
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Следовательно, α [α1,α2 ] |
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b |
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J′(α) = ∫ fα′(x,α )dx . |
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a |
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Теорема 3 (обобщение теоремы 2).
ψ (α )
ddα ∫ϕ (α )
f (x,α )dx = f [ψ (α),α ] ψ ′(α
Пример:
Доказать, что функция
уравнению: u′′(x) = −v(x) .
Решение:
ψ (α )
) − f [ϕ(α),α ] ϕ′(α) + ∫ fα′ (x,α )dx .
ϕ (α )
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1 |
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x (1− y), x ≤ y |
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( |
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) |
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( |
) |
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( |
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) |
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u(x) = |
∫ |
Κ |
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v |
где Κ |
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|||||||
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x, y |
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y dy , |
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x, y |
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= y (1− x), x > y удовлетворяют |
||||
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0 |
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x [0,1] |
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x 1 x 1 x 1
u(x) = ∫+∫=∫Κ (x, y) v(y)dy + ∫Κ (x, y) v(y)dy = ∫ y (1− x) v(y)dy + ∫x (1− y) v(y)dy =
0 x 0 x 0 x
x1
=(1− x) ∫ y v(y)dy + x∫v(y) (1− y)dy.
0x
Вычислим производные, используя формулу производной произведения:
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x |
1 |
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∫ |
∫ |
||
′ |
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− x) [x v(x) − 0]+ v(y) (1− y)dy + x 0 − x (1− x) = |
||
u (x) = −1 y v(y)dy + (1 |
||||
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0 |
x |
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x1
=−∫ y v(y)dy + ∫v(y) (1− y)dy;
|
0 |
x |
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u′′(x) = −[x v(x) − 0]+ 0 |
− v(x) (1− x) = −x v(x) − v(x) (1 |
− x) = −x v(x) − v(x) + x v(x) = −v(x). |
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|||||
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Теорема 4. |
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α2 |
b |
b |
α2 |
(x,α )dα |
Пусть |
f (x,α) |
непрерывна |
на G, следовательно ∫ dα ∫ f (x,α)dx = ∫dx∫ f |
||||||
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α1 |
a |
a |
α1 |
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(определенный интеграл не зависит от порядка интегрирования).
Пример:
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1 |
x |
b |
− x |
a |
||||||||
Вычислить для a > 0, b > 0 интеграл J (a,b) = ∫ |
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dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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ln x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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I-й способ: |
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|||||
Функция |
f (x, y) = x |
y |
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0 < x < 1 |
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непрерывна на |
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. |
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a < y < b |
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1 |
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b |
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b |
1 |
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b |
|
x |
y+1 |
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1 |
b |
a |
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b |
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J (a,b) = ∫dx∫xydy = ∫dy∫xydx = ∫ |
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dy = ∫ |
1 |
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dy = ln |
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y +1 |
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y +1 |
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0 |
(y +1) |
a |
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0 |
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a |
|
a |
0 |
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|
a |
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|
a |
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II-й способ: |
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1 |
x |
b |
− x |
a |
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J (a,b) = ∫ |
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dx; |
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ln x |
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0 |
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1 |
1 |
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x |
b+1 |
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1 |
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1 |
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J′ = |
∫ |
xb ln xdx = |
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= |
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; |
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b |
ln x |
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b +1 |
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b +1 |
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||||||||||
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0 |
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|||||||||||||
|
0 |
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= ln b +1 a +1
J (a,b) = ∫bdb+1 = ln(b +1)+ C(a);
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 11 – 12, стр. 3 из 7
a = b J (a,a) = 0 = ln(a +1)+ C(a) C(a) = −ln(a +1)
J (a,b) = ln(b +1)− ln(a +1) = ln b +1. a +1
2. Несобственные параметрические интегралы.
1. Равномерная сходимость по параметру.
Рассмотрим несобственные интегралы, зависящие от параметра:
+∞ |
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F(t) = ∫ f (x,t)dx |
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(1) |
||
a |
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|
b |
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F(t) = ∫ f (x,t)dx |
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(2) |
||
a |
|
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|
(при некоторых значениях переменной есть точки разрыва II-го рода). |
||||||
Например: |
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|||
∞ |
cosα x |
|
1 |
dx |
|
|
F(α ) = ∫ |
dx, |
F(α ) = ∫ |
- при α > 0 - несобственный интеграл, при x = 0 - точка разрыва |
|||
2 |
α |
|||||
0 |
1+ x |
0 |
x |
|||
|
|
|
|
II-го рода.
Определение 1.
Интеграл (1) называется сходящимся в точке t = t0 D , если существует
b
blim→+∞ ∫ f (x,t0 )dx = F(t0 ) ≠ ∞ .
a
Определение 2.
Интегралы (1) и (2) называются сходящимися на множестве D, если в любой точке этого множества интегралы сходятся (поточечная сходимость).
Определение 3.
Интеграл (1) называется равномерно сходящимся на множестве D, если
M2
ε > 0 M > 0: для M2 > M1 > M ∫ f (x,t)dx < ε для t D .
M1
Определение 4.
Интеграл (2) называется равномерно сходящимся на множестве D, если
c2
ε > 0 δ (ε ) > 0: для a,c2 b −δ (ε ) < c1 < c2 < b ∫ f (x,t)dx < ε для t D (см. рис. 2.1.1).
c1
Рис. 2.1.1.
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 11 – 12, стр. 4 из 7
Теорема Вейерштрасса. Критерий равномерной сходимости.
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Для интеграла (1): |
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Для интеграла (2): |
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||||||
Если t D и a ≤ x < ∞ |
Если t D и x [a,b] |
||||||
|
f (x,t) |
|
≤ϕ(x) и |
|
f (x,t) |
|
≤ϕ(x) и |
|
|
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|
||||
|
∞ |
|
b |
||||
|
∫ϕ(x)dx - сходится, то, следовательно, |
|
∫ϕ(x)dx - сходится, то, следовательно, |
||||
|
a |
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|||
интеграл (1) равномерно сходится на D. |
интеграл (2) равномерно сходится на D. |
Примеры:
+α
1) Доказать, что J(α) = ∫ e−α x sin xdx сходится равномерно на α [δ ,+ ∞), δ > 0 .
0
Решение:
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+∞ |
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1 |
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+∞ |
1 |
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e−α x sin x |
≤ e−δ x , а ∫ e−δ xdx = − |
e−δ x |
= |
- сходится. Следовательно, J(α) сходится равномерно. |
||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
0 |
|
|
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δ |
0 |
δ |
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|||
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||||||||
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∞ |
cosα x |
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||
2) |
|
|
∫ |
dx; |
|
|
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|
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|||||||
|
|
2 |
|
|
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|||||||||
|
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|
|
0 |
1+ x |
|
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||||
|
ϕ(x) = |
1 |
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; |
|
cosα x |
|
≤ ϕ |
(x); |
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||||||||||
|
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||||||||||||||||
|
1+ x2 |
1+ x2 |
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||||||||||||||||||
|
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|||||||||
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∞ |
|
|
dx |
|
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|
|
|
|
∞ |
π < ∞ |
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||||
|
|
|
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||||||||
|
∫ |
|
|
= arctg x |
|
= |
|
|
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|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
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|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||
интеграл ∫ |
cosα x |
dx |
сходится равномерно на −∞ < α < +∞ . |
||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1+ x |
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||||||
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2. Непрерывность по параметру.
Если интеграл сходится равномерно в интервале α < t < β , то он представляет собой непрерывную функцию параметра у в этом интервале.
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Пример: |
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|||||||||
Исследовать на непрерывность функцию F(α) |
в указанном промежутке: |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
+∞ |
xdx |
|
|
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||||||
F(α ) = ∫ |
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при α > 2 . |
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||||||||
|
2 + x |
α |
|
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||||||||||||||
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|
1 |
|
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|
|
|
|
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|
|||||
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|
|
|
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||
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|
Решение: |
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|||||||||
|
|
x |
|
< |
x |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
|
2 + xα |
xα |
|
|
xα −1 |
|
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|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
x−α +2 |
|
|
+∞ |
|
∞ при α ≤ 2 |
|
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|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||
|
xα −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 −α |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− |
|
|
= |
|
≠ ∞ при α > 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
(2 −α )xα −2 |
1 (2 −α ) |
α − 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
F(α) сходится равномерно |
F(α) - непрерывна по α,α > 2. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
3. Интегрирование по параметру. |
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||||||||||||||||||||||||
Теорема 6. |
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|||||
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|
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|
∞ |
Если f (x,t) |
непрерывна на x [a,+ ∞), t [c,d], и интеграл ∫ f (x,t)dx сходится равномерно |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
+∞ |
|
|
|
|
+∞ |
d |
|||
на [c,d], то, |
следовательно, |
∫ |
∫ f |
(x,t)dx dt = ∫ dx∫ f (x,t)dt (т.е. можно менять порядок |
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c |
a |
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a |
c |
интегрирования). Замечание:
Здесь один интеграл собственный, другой – несобственный.
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ТФКП (мат. анализ, часть 4), |
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семестр 4, лекция 11 – 12, |
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стр. 5 из 7 |
Аналогично, |
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Теорема 7. |
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b |
(x,t)dx сходится равномерно на |
Если f (x,t) непрерывна на x [a,b], t [c,d] , и интеграл ∫ f |
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a |
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d b |
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b |
d |
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||
[c,d], то, следовательно, ∫ ∫ f (x,t)dx dt = ∫dx∫ f (x,t)dt . |
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c a |
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a |
c |
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Примеры: |
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∞ |
−α x |
− e |
− x |
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1) Вычислить интеграл: F(α) = ∫ |
e |
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cos3xdx = ? |
(α > 0) |
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x |
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0 |
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e |
−α x |
− e |
−x |
1 |
1 |
1 |
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1 |
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Представим |
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= ∫e−txdt = {действ.} = − |
∫e−txd (−tx) = − |
e−tx |
|||||
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x |
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x |
x |
|||||
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α |
α |
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∞ 1 |
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1 ∞ |
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F(α) = ∫dx∫e−tx cos3xdt = ∫dt∫e−tx cos3xdx |
(изменить |
порядок |
1
= − 1 (e−x − e−α x )
α x
интегрирования можно, т.к.
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0 |
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α |
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α |
0 |
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∞ |
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f (x,t) |
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∞ |
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||||||
∫e−tx |
cos3xdx сходится равномерно, |
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< e−tx |
, интеграл ∫e−txdx |
сходится для α ≤ t ≤1). |
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0 |
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0 |
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∞ |
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cos3xdx = {интегрирование "по частям"} = |
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e |
−tx |
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[−tcos3x + 3sin3x] |
|
∞ |
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t |
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∫e−tx |
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= |
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; |
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9 + t |
2 |
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2 |
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0 |
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0 |
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t |
+ |
9 |
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||||
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1 |
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|
t |
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1 1 d (t2 + 9) |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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10 |
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|||
F(α) = ∫t2 |
+ 9dt = |
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2 |
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∫ t2 |
+ 9 |
|
= |
|
2 ln(t |
|
+ 9) |
= 2 ln10 − ln(α |
|
+ 9) |
= |
2 ln α 2 |
+ 9 |
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α |
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α |
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α |
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Ответ: F(α) = |
1 |
ln |
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10 |
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. |
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2 |
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α 2 + 9 |
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+∞ |
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2) Вычислить интеграл Эйлера – Пуассона: I = ∫ e− x2 dx . |
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0 |
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∞ |
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|
∞ |
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|
∞ |
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Рассмотрим |
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J = ∫xe− x2 y2 dy |
= ∫e− x2 y2 dxy = {xy = t} = ∫e−t2 dt2 , |
т.е. |
числа |
I |
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и |
J |
– одинаковые. |
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0 |
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0 |
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0 |
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+∞ |
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+∞ |
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+∞ |
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+∞ |
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+∞ +∞ |
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|
+∞ |
+∞ |
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||||||||||
Следовательно, I2 |
= ∫ e− x2 dx ∫ xe−x2 y2 dy = ∫ dx ∫ xe−x2 (1+ y2 )dy=! |
∫ dy ∫ xe−x2 (1+ y |
2 )dx = |
1 |
∫ dy ∫ e−x2 |
(1+ y2 )dx2 |
= |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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2 |
0 |
0 |
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|||||||||||||
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|
1 |
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+∞ |
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+∞ |
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e |
−x2 (1+ y2 ) |
|
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1 |
+∞ |
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|
1 |
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− x2 |
1+ y2 |
) |
|
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x=+∞ |
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1 |
+∞ |
1 |
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||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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∫ dy ∫ |
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d (−x2 (1+ y2 ))= − |
∫ |
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e |
( |
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|
dy = − |
∫ |
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(0 −1)dy = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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(1+ y |
2 |
) |
|
1 |
+ y |
2 |
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|
1 |
+ y |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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|
0 |
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|
2 |
0 |
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x=0 |
|
2 |
0 |
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|
+∞ |
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|
+∞ |
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||||
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1 |
dy |
|
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|
1 |
|
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1 |
π = π ; |
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= π |
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π |
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|||||||||||||||||
= |
∫ |
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= |
arctg y |
|
= |
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I2 |
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|
|
I = |
|
|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
+ y |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
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|
4 |
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
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! Замечание: |
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|||||||||||||||||||
Порядок интегрирования можно менять, т.к. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
xe |
−x2 |
(1+ y2 ) |
непрерывна для любых х, у; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
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2. ∫e−x2 dx - сходится; |
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3. ∫xe− x2 y2 dy - сходится равномерно при всех х; |
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0 |
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4. Дифференцирование по параметру. |
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Теорема 8. |
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Пусть функция |
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f (x,t) |
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и ее производная |
f ′(x,t) |
непрерывны на |
x [a,∞); t D = [c,d], а |
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∞ |
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(x,t)dx |
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∞ |
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(x,t)dx |
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интеграл ∫ f |
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сходится, |
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интеграл |
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∫ f ′ |
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сходится |
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равномерно |
на |
D. |
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a |
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a |
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Следовательно,
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 11 – 12, стр. 6 из 7
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d |
∞ |
f (x,t)dx = |
∞ |
f ′(x,t)dx |
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dt |
∫ |
∫ |
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t |
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a |
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Примеры: |
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+∞ |
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α 2 |
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1) J (α ) = ∫ e−x |
− x2 dx; |
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0 |
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α |
= z |
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||||
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+∞ |
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−x |
2 |
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−α 2 |
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−2α |
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∞ |
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−α 2 |
−x2 |
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dx |
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x |
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0 − |
α 2 |
−z2 |
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J′(α ) = ∫ e |
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2 |
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2 |
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2 |
dz = −2J (α ); |
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e x |
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dx = −2∫e |
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x |
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α |
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= |
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α |
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= 2∫e z |
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2 |
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2 |
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0 |
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x |
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0 |
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x |
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− |
dx = dz |
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∞ |
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x |
2 |
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dJ |
= −2J |
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dJ |
= −2dα ln |
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J |
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= −2α + C |
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dα |
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J |
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J (α ) = Ce−2α ; |
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C = ? |
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Если α = 0 |
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J (0) = ∫e−x2 dx = (интеграл Эйлера-Пуассона*) = |
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Ответ: J (α ) = |
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e−2α . |
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π 2 |
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tg x = t, x = arctgt |
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dt |
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J′(a) = ∫ |
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2 |
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tg |
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(1+ a |
t |
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)(1 |
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) |
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dt |
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2πi res f (z) + res f (z) |
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= πi |
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− |
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= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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+ a |
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t |
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)(1+ t |
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) |
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2 |
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2i(a |
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−1) |
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2i(a |
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J(a) = ∫ |
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= π ln(a +1)+ C; |
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J(0) = 0 |
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C = 0; |
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Ответ: J(a) = π ln(a +1). |
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∞ |
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−α x2 |
− e |
−β x2 |
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3) J (α,β ) = ∫ |
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dx. |
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x |
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Jα′ (α,β ) = |
d |
∞ e−α x2 − e−β x2 |
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∞ e−α x2 |
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e−β x2 |
′ |
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∞ |
1 |
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∫ |
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dx = ∫ |
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− |
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dx = ∫ |
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dα |
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x |
x |
x |
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x |
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0 |
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0 |
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α |
0 |
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|||
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1 |
∞ |
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x=∞ |
1 |
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2 |
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2 |
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|||||||
= |
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∫e−α x |
d (−x2 |
α )= |
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e−α x |
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|
= |
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|
(0 −1) = − |
|
; |
|
||||||||||
2α |
2α |
|
x=0 |
2α |
|
2α |
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|||||||||||||||||||
|
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0 |
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|
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∞
e−α x2 (−x2 )dx = −∫xe−α x2 dx =
0
* См. вывод интеграла Эйлера-Пуассона в примере 2 на стр. 5.
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 11 – 12, стр. 7 из 7
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∞ |
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1 |
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|||
Jβ′ (α,β ) = ∫xe−β x2 dx = |
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2β |
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|||||||||||||||||||||||
0 |
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||||
J (α,β ) = −∫ |
dα |
+ C(β ) = − |
1 |
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lnα + C(β ) |
||||||||||||||||||||||||
2α |
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||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||
Но J′ = С′(β ) = |
1 |
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С(β ) = |
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1 |
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ln β |
+ C . |
||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
β |
|
2β |
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2 |
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0 |
||||||||||||
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|||||||||
J (α,β ) = |
1 |
ln β − |
1 |
lnα + C = |
1 |
ln |
|
β |
+ C |
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||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
2 |
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|
2 |
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0 |
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2 |
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α |
0 |
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|||||||||||||
C0 = ? |
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||||
J (α,α ) = 0 (интеграл от 0) |
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С0 = 0. |
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||||||||||||||||||
Ответ: J (α,β ) = |
1 |
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β |
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|
β |
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||||||||||||||||||||
ln |
= ln |
|
, |
α β > 0 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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|
α |
|
|
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|
α |
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|
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||||||||||
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ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 13, стр. 1 из 4
Интегралы Эйлера.
1. Гамма – функция.
Определение.
Гамма – функцией действительного аргумента х называется несобственный интеграл,
+∞ |
|
зависящий от х, как от параметра, вида: Γ(x) = ∫ tx−1e−t dt |
(1) |
0 |
|
Некоторые свойства Гамма – функции:
1) Теорема 1.
Интеграл (1) сходится для любого x > 0 .
2) Теорема 2.
Γ(1) =1.
Доказательство:
+∞ |
+∞ |
Γ(1) = ∫ t0e−t dt = −e−t |
= 0 + e0 =1. |
00
Ч.т.д.
3)Теорема 3. Формула приведения.
Γ(x +1) = xΓ(x) .
Доказательство:
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
(−e−t )= {интегрируя "по частям", |
Γ(x +1) = ∫ tx+1−1e−t dt = ∫ txd |
|||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
||
|
x |
|
x |
+∞ |
+∞ |
||
= − lim |
t |
+ lim |
t |
|
+ ∫ e−t xtx−1dt = x ∫ tx−1e−tdt = xΓ(x) |
||
t |
t |
||||||
t→+∞ e |
t→0 e |
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
|||
=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
получим}= −txe−t |
+∞ |
+∞ |
|
+ ∫ e−t dtx = |
|
|
0 |
0 |
.
Ч.т.д.
Замечание:
Первый из вычисленных пределов равен нулю в силу правила Лопиталя (неопределенность типа ∞∞ ), а второй – непосредственной подстановкой t = 0.
4)Теорема 4.
Γ(n +1) = n!
Доказательство:
Γ(n +1) = nΓ(n) = n(n −1)Γ(n −1) = n(n −1)(n − 2)Γ(n − 2) =…= n(n −1)(n − 2) … 3Γ(3) =
= n(n −1) … 3 2 Γ(2) = n(n −1) … 3 2 1 Γ(1) = n (n −1) … 3 2 1= n!
=1
Ч.т.д.
Замечание: n – натуральное.
5) Теорема 5. Формула дополнения.
Γ(x)Γ(1− x) = |
π |
(0 < x <1) |
|
sinπ x |
|||
|
|
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 13, стр. 2 из 4
Задача 1.
Спомощью формулы дополнения вычислить Γ 1 .
2
Решение:
Пусть x = 1 , тогда 1− x = 1 ;
22
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1 |
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1 |
|
π |
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1 |
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|
|
1 |
|
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||||
|
|
|
2 |
= π |
|
π |
|||||||||||||||
Γ |
|
|
Γ |
|
|
= |
|
|
Γ |
|
|
|
|
Γ |
|
|
= |
||||
|
|
sinπ |
|
|
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|||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
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|
|
2 |
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|
2 |
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|||||
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Задача 2. |
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+∞ |
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|
Выразить через гамма - функцию интеграл |
∫ e− xα dx (α > 0). |
||||||||||||||||||||
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0 |
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Решение:
α= tx
+∞ |
− xα |
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1 |
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+∞ |
−t 1 |
1 |
−1 |
1 |
+∞ |
|
−t |
1 |
|
−1 |
|
1 |
1 |
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|||||||||
∫ e |
|
|
∫ e |
|
|
∫ e |
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||||||||||||||||||||
|
dx = x |
= t α |
|
= |
|
|
tα |
dt = |
|
|
|
tα |
|
|
dt |
= |
|
|
Γ |
|
|
|||||||||
|
α |
α |
|
|
α |
α |
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
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1 |
−1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
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|
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||||||||
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||||||||||||||
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dx = |
1 |
tα |
|
dt |
|
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1 |
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|
1 |
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|||||||||||
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α |
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Γ |
α |
|
, т.к. |
α |
>0 |
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Задача 3.
+∞ +∞
Используя результаты задач 1 и 2, вычислить интеграл Эйлера – Пуассона: ∫ e− x2 dx = 2 ∫ e−x2 dx .
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−∞ |
0 |
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Решение: |
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|||
Положим α = 2 в результате задачи 2, тогда: |
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|||||||||||||
1 |
|
1 |
+∞ |
−x2 |
|
1 |
|
|
|
|
+∞ |
− x2 |
|
1 |
|
|
|
+∞ |
− x2 |
|
|
|||
= ∫ e |
|
π |
∫ e |
|
π ∫ e |
π |
||||||||||||||||||
|
|
Γ |
|
|
dx , но по задаче 1 |
Γ |
|
|
= |
|
dx = |
|
dx = |
|||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
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|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
−∞ |
|
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Задача 4.
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+∞ |
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|
Выразить через гамма - функцию интеграл |
∫ x2ne− x2 dx . |
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|
0 |
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Решение: |
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+∞ |
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|
t = x |
2 |
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|
+∞ |
|
|
|
dt |
|
1 |
+∞ |
|
n− |
1 |
|
1 |
+∞ |
|
n+ |
1 |
|
−1 |
|
1 |
|
1 |
||
|
2n |
|
−x2 |
|
|
|
n |
|
−t |
|
|
−t |
|
|
|
−t |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ x |
|
e |
|
dx = |
|
|
= |
∫ t |
|
e |
|
|
|
= |
|
∫ e |
|
t 2 dt = |
|
∫ e |
|
t |
|
|
|
dt = |
|
Γ n + |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
dt = 2xdx |
|
0 |
|
|
|
2 t |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Замечание:
Используя результат задачи 4, можно также найти интеграл Эйлера-Пуассона:
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+∞ |
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||
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|
1 |
|
1 |
|
π |
|
|||||
|
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|
|
|
|
∫ e |
− x2 |
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|
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||||||||
при n = |
0 получим |
|
dx = |
|
Γ |
|
|
= |
|
|
. Можно показать, что для n N |
|||||||
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||||||||||||||
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|
0 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||
|
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1 |
( |
|
) |
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|
Γ n + |
|
= |
2n −1 !! |
π |
- формула «полуцелого» аргумента. |
||||||||||||
|
|
|
n+1 |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
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2. Бета – функция.
Определение.
Бета – функцией двух действительных аргументов х и у называется интеграл вида:
1 |
|
|
Β(x, y)= ∫tx−1 |
(1− t)y−1 dt |
(2) |
0
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 13, стр. 3 из 4
Некоторые свойства Бета – функции:
1) Теорема 1.
Интеграл (2) сходится при любых x > 0, y > 0 .
2) Теорема 2. Связь гамма- и бетафункций.
( ) Γ(x)Γ(y)
Βx, y = Γ(x + y) .
3)Теорема 3. Свойство симметрии.
Β(x, y) = Β(y,x) .
Доказательство:
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tɶ=1− t |
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1 |
y−1 |
(1− t) |
x−1 |
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1 |
y−1 |
tɶ |
x−1 |
1 |
x−1 |
(1− ɶt) |
y−1 |
Β(y,x)= ∫t |
|
|
dt = t =1 |
− tɶ |
= ∫(1− ɶt) |
|
|
(−dtɶ)= ∫tɶ |
|
dtɶ= Β(x, y) |
|||
0 |
|
|
|
|
ɶ |
0 |
|
|
|
0 |
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|
dt = −dt |
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Доказательство проведено по определению. Еще проще – с помощью Теоремы 2:
Β(y,x)= |
Γ(y) Γ(x) |
= |
|
Γ(x) Γ(y) |
= Β(x, y) . |
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||||||||||||||||||||
|
Γ(y + x) |
|
Γ(x + y) |
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|
Ч.т.д. |
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4) Теорема 4. Формула дополнения. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
Β(x,1− x)= |
π |
|
|
(0 < x <1) |
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||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
sinπ x |
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|||||||||
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Доказательство: |
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|||||||||||||||||
Β(x,1− x)= |
Γ(x) Γ(1− x) |
= |
|
Γ(x) Γ(1− x) |
= |
|
|
π |
|
|
|
- по |
формуле дополнения для гамма – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Γ(x +1− x) |
|
|
|
|
|
Γ(1) |
|
|
|
|
|
sinπ x |
|
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|||||||||||||||||||||||
функции. |
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Ч.т.д. |
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Задача 5. |
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||||||||||
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|
|
|
|
π |
|
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|
|
|
||
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2 |
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Выразить через эйлеровы интегралы: ∫ sinα xcosβ |
xdx . |
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0 |
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Решение: |
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Пусть t = sin2 x 1− t = cos2 x и dt = 2sin xcos xdx . Следовательно: |
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π |
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1 α |
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β |
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1 α −1 |
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β −1 |
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1 α +1 |
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β +1 |
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2 |
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dt |
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1 |
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1 |
−1 (1− t) |
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∫ sinα |
xcosβ |
xdx = ∫t 2 |
(1− t) |
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= |
∫t 2 (1− t) |
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dt = |
∫t 2 |
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−1 dt = |
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2 |
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2 |
2 |
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1 |
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1 |
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0 |
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0 |
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2t 2 |
(1− t) |
2 |
2 |
0 |
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2 |
0 |
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α +1 |
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β +1 |
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1 |
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α +1 |
β +1 |
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1 |
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Γ |
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Γ |
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2 |
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2 |
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= |
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Β |
; |
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= |
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2 |
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2 |
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α |
+ β |
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2 |
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2 |
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Γ |
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2 |
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+1 |
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Задача 6. |
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dx |
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Вычислить: J = ∫ |
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3 x |
2 |
(2− x) |
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0 |
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Решение: |
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Пусть t = |
x |
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x = 2t dx = 2dt . |
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2
x2 = 4t2; 2 − x = 2 − 2t = 2(1− t)
Следовательно:
ТФКП (мат. анализ, часть 4), семестр 4, лекция 13, стр. 4 из 4
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1 |
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2dt |
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1 |
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−2 |
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− 1 |
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1 |
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1 |
−1 |
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2 |
−1 |
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1 2 |
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1 |
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1 |
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J = ∫ |
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= |
∫t |
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3 (1− t) |
3 dt = ∫t3 |
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(1 |
− t)3 |
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dt = Β |
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; |
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= Β |
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;1 |
− |
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= |
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3 4t2 |
2(1 |
− t) |
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0 |
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0 |
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0 |
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3 3 |
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3 |
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3 |
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||||||||||||||
= {по формуле дополнения} = |
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π |
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= |
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π |
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= |
2π |
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π |
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sin |
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3 |
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3 |
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3 |
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2 |
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Задача 7. |
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+∞ |
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x |
m−1 |
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Выразить через эйлеровы интегралы при |
0 < m < n : J = ∫ |
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dx . |
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(1+ x) |
n |
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0 |
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||||||
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Решение: |
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||||||
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1 |
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= 1− t x +1= |
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1 |
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x = |
|
1 |
−1= |
1−1+ t |
= |
|
t |
|
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x |
|
− t |
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1 |
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1 |
− t |
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1− t |
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1 |
− t |
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dx = |
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dt |
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; |
x = 0 t = 0 |
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(1− t) |
2 |
x = +∞ t = 1 |
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|||||||||||||||||||
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1 |
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t |
m−1 |
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n |
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dt |
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1 |
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n−m−2+1 |
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1 |
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(n−m)−1 |
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||||||||||||||
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J = ∫ |
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(1− t) |
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= ∫tm−1 (1− t) |
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dt |
= |
∫tm−1 (1− t) |
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dt = |
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(1− t) |
2 |
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0 |
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1− t |
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0 |
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0 |
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||||||||
= Β(m,n − m) = |
Γ(m)Γ(n − m) |
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(n − m > 0, |
т.к. n > m) |
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Γ(n) |
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