![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
matan4_bel
.pdf![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw21x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 4 из 8
w = f (z) = 2 + |
i |
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F(z) = |
1 |
|
= 2 |
+ i |
1 |
= 2 |
+ iξ − линейная, регулярная |
|||
f |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
F′(ξ ) = i ≠ 0 вточке ξ = 0
F(0) = 2
F(z) конформно отображает 0 в 2
f (z) конформно отображает ∞ в 2.
Определение: |
|
w = f (z) |
отображает z = z0 |
конформно в w = ∞ , если w = |
1 |
|||||
|
f (z) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конформно отображает z = z0 |
в w = 0. |
|
|
|||||||
|
|
Пример 1: |
|
|
|
|||||
w = |
|
1 |
, |
|
z |
|
= i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
z − i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w = |
|
1 |
|
|
= z − i . Точка z0 = i переходит в w = 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 z − i |
|
|
|
|
|
|||||
′ |
≠ 0 |
z0 = i отображается в w = ∞ конформно. |
||||||||
w = 1 |
Пример 2:
В каких точках нарушается конформность отображения w = z3 − 6z2 + 9z − 3 ? w – регулярна везде.
w′ = 3z2 −12z + 9
w′ = 0 z2 − 4z + 3 = 0 z1 = 1; z2 = 3
Конформность нарушается в z1 и z2 .
3. Примеры конформных отображений.
Определение: Функция называется однолистной на множестве Д, если отображение w = f (z) - взаимнооднозначное.
Примеры:
1) w = az + b z = w− b однозначна, следовательно, однолистна. a
2)w = z2 неоднозначна на всей плоскости, т.к., например, две точки ±1 переходят в одну. Но на
Д:Im z > 0 (на верхней полуплоскости) w = z2 является однолистной.
Определение: Отображение w = f (z) называется конформным в области Д, если f (z) однолистна в Д и конформна в любой точке этой области.
Линейная функция.
w = az + b (a,b ) . Эта функция осуществляет конформное отображение
расширенной комплексной плоскости ( ) на расширенную комплексную плоскость.
Действительно,
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw22x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 5 из 8
w= a(x + iy) + b =
=(a x − a y + b ) +
1 2 1
a1x + a2ix + a1iy − a2 y + b1 + ib2 = |
(a1,a2 ,b1,b2 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i(a2 x + a1 y + b2 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
∂u |
= a1 |
= |
∂v |
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|||
|
|
|
для x, y w = az + b регулярна на всей комплексной плоскости |
|||
|
|
|
|
|
||
|
∂u |
= −a2 |
= − |
∂v |
||
|
∂y |
∂x |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
w = az + b z = w − b − соответствие взаимно-однозначное a
следовательно, функция однолистная на всей плоскости . w′ = (az + b)′ = a ≠ 0 конформно во всех точках.
z = ∞ ↔ w = ∞
Геометрический смысл.
1) |
переносит начало координат z = 0 в точку w = b |
|||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= arga) |
поворачивает на угол ϕ = arga (т.к. argw |
||||||||||||||
3) |
растягивает в |
|
a |
|
(т.к. |
|
w′ |
|
= |
|
a |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1:
|
|
|
z |
≤ 2 |
|
Найти образ области Д при отображении w = 2iz + 3, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д : |
≤ arg z ≤ |
π |
|||
|
0 |
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
|
рис. 3.2 |
|
||||
w1 = w1′ = 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k = |
|
2i |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ϕ = arg 2i = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w = w1 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Д →G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
w− 3 |
|
≤ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
G : π |
≤ arg(w− 3) |
≤ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отобразить круг |
|
z − 2 + i |
|
< 5 (1) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
в круг |
|
w |
|
< 1 (2). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти отображение, переводящее (1) в (2)
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw23x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 6 из 8
рис. 3.4
Т.к. z0 = 2 − i → w0 = 0, то w = a(z − 2 + i)
Граница области переходит в границу образа, следовательно
|
w |
|
= |
|
a |
|
|
|
z − 2 |
+ i |
|
|
5 |
|
a |
|
= 1 |
|
a |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
=1 |
|
=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем a = 1 (arg a = 0, т.к. можно взять любое) 5
Итак, w = 1 (z − 2 + i) = z + i − 2
55 5
Степенная функция.
w = zn (n N)
w = rneinϕ = rn (cosnϕ + isin nϕ) = rn cosnϕ + irn sinnϕ
uv
Воспользуемся условием Коши-Римана в полярных координатах:
∂u |
= |
1 ∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
r |
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(Докажите самостоятельно) |
||||||||||||||||
|
∂v |
|
|
|
1 ∂u |
|||||||||||||
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂r |
r ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂u = nrn−1 cosnϕ |
|
|
1 ∂v |
= |
1 |
rn cosnϕ n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
r ∂ϕ |
|
|||||||||||||||
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||||
∂v = nrn−1 sinnϕ |
− |
1 |
∂u |
= − |
1 |
rn (−sin nϕ) n |
||||||||||||
r ∂ϕ |
|
|||||||||||||||||
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||||
Условия Коши-Римана выполняются для ϕ и r ≠ 0, т.е. для z ≠ 0. |
||||||||||||||||||
Для z = 0 отдельно функция регулярна z . |
||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
n−1 |
|
≠ 0, если z ≠ 0 , |
следовательно, отображение конформно на всей плоскости |
|||||||||||
w = nz |
|
|
|
кроме z = 0. Найдем область однолистности:
z = reiϕ → w = zn = rneinϕ , т.е. главное значение аргумента увеличивается в n раз. Если
ϕ = 2π , то nϕ = 2π (полный круг). Если ϕ - больше, то nϕ > 2π , т.е. получится «наложение», n
нарушится однолистность. Следовательно, w = zn является однолистной в угле раствора
2π . n
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw24x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 7 из 8
w = zn конформно отображает угол раствора 2π на плоскость с разрезом. n
Пример 1:
Найти образ области Д : Im z > 0 под действием отображение w = z2
рис. 3.4 |
|
рис. 3.5 |
|
|
|
γ1 :ϕ = 0 → Г1 :ψ = 0
γ2 :ϕ = π → Г2 :ψ = 2π
Говорят, что степенная функция «разворачивает» углы. Пример 2:
|
|
|
|
z |
≤ R |
(R = 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти образ области |
Д1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
: |
|
|
≤ arg z < α |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
α |
1 |
2 |
|
α |
1 |
|
|
; α |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Под действием отображения w = azn + b |
(a = 1+ i;b = −i;n = 3) |
w = z3 |
, |
Д |
→ Д |
1 |
1 |
|
|
|
|
w2 = (1+ i)w1, |
Д1 → Д2 Д → G |
w = w2 − i , Д2 → G
w1 = z3
Модуль возводится в куб, аргумент умножается на
3.
рис. 3.6. Область Д
w2 = (1+ i)w1
1+ i = 2 растяжение в
2 раз
arg(1+ i) = π поворот на π против часовой стрелки 4 4
рис. 3.7. Область Д1
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw25x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 8 из 8
w = w2 − i
Перенос начала координат в точку (−i)
рис. 3.8. область Д2
w+ i ≤ 8 2 |
||
|
|
|
G : π |
≤ arg(w+ i) < π |
|
|
|
|
|
2 |
|
рис. 3.8. область G
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw26x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 1 из 7
Конформные отображения (продолжение).
1. Показательная функция w = ez .
Для частного случая z , т.е. Im z = 0 , определение показательной функции ez = ex+iy = ex (cos y + isin y) совпадает с «обычным» определением ex .
Для комплексного случая w = ez - регулярна для z . Действительно,
ez = ex cos y + iex sin y
uv
∂u = ex cos y ≡ |
∂v; |
∂u = −ex sin y ≡ − |
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ′ |
|
|
= e |
x |
cos y + ie |
x |
sin y = e |
z |
|
|
z ′ |
= e |
z |
|
|
||||||||
(e ) = |
|
+ i |
|
|
|
|
|
(e ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Покажем, что функция w = ez периодична с чисто мнимым периодом T = 2πi . |
|||||||||||||||||||||||
Пусть ez+T |
= ez , где T =α + iβ; |
α,β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найдем Т. Для этого умножим равенство на e−z : |
|
|
|
||||||||||||||||||||
ez+T e−z = ez e−z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
eT |
= e0 |
eα +iβ = e0 |
eα (cosβ + isin β )=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
α |
cosβ |
=1 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= 0 |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
eα sin β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. α |
|
eα > 0 |
|
|
|
из (2) следует, что sin β = 0 |
β =π n . |
||||||||||||||||
Тогда из (1) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
eα cos(π n) =1 |
eα ; cos(π n) − одного знака |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n = 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда eα 1=1 |
|
α = 0, |
β = 2π k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, T = 0 + i 2π k |
|
|
T = 2πi |
− период |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Функция |
w = ez |
осуществляет отображение |
w→ \{0} , которое является |
однозначным, но не взаимнооднозначным.
Областью однолистности является полоса M = {z :b < Im z < b + 2π} , которая отображается на всю плоскость с разрезом по лучу θ = b .
Например:
γ1 : y = b, |
− ∞ < x < +∞ |
|
ez = ex cosb + isinb |
||
r |
θ |
θ |
θ = b = const
r = ex и e−∞ < w < e+∞ , 0 < w < +∞
(см. рис. 1.1)
рис. 1.1.
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw27x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 2 из 7
γ 2 : y = b + 2π , − ∞ < x < +∞
ez = ex (cos(b + 2π ) + isin(b + 2π )) = ex (cosb + isinb)
r
Т.е. тот же луч, но он "проходится" в другую сторону (см. рис. 1.2)
|
|
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) Найти образ полосы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M = |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z :0 < Im z < |
|
(см. рис. 1.3) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ1 : y = 0, − ∞ < x < +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ez = ex |
|
|
γ |
1 |
Г |
= |
{w: Re w > 0} |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u :0 → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
γ |
2 |
: y = π |
, − ∞ < x < +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
= e |
x |
|
π |
|
|
|
π |
|
= ie |
x |
γ2 Г2 = {w: Im w > 0} |
|||||
|
|
|
|
cos |
2 |
+ isin |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v : +∞ → 0 |
M в первый квадрант. |
|||||||||||||||||
Проверка: пусть z0 |
= π i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π + isin π = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда ez0 |
= cos |
|
|
2 |
+ i |
|
2 |
= w (см. рис. 1.4.) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 1.2.
рис. 1.3.
2) Найти образ прямоугольника |
|
|
||
P = z : −1≤ Re z < 1, − π ≤ Im z < π |
|
(см. рис. 1.5) |
||
|
6 |
4 |
|
|
под действием отображения w = −ie2z + |
i |
рис. 1.4. |
|
||
e2 |
|
|
|
|
|
w1 = 2z |
|
|
w = ew1 |
|
|
2 |
|
|
w3 = −iw2 |
|
i w = w3 + e2
w1 = 2(x + iy) = 2x + i2y
Простейшая линейная функция: растяжение в 2 раза, без поворота, т.к. arg2 = 0 (см. рис. 1.6)
рис. 1.5. |
рис. 1.6. |
|
|
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw28x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 3 из 7
w = ew1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
1 |
:v = − π ; u : −2 → +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
= e |
u |
|
|
|
π |
|
|
|
|
− |
π |
|
e |
u |
:e |
−2 |
→ e |
2 |
(получим отрезок) |
|
|||||||||||||||
|
|
e 1 |
|
|
cos − |
|
|
|
+ isin |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
γ |
2 |
:u = 2, v : − π → π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ew1 |
= e2 (cosv + isin v) |
|
|
|
|
(получим дугу) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
γ |
3 |
: v = π , u : 2 → −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ew1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
(получим отрезок) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= eu cos |
+ isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
γ |
4 |
:u = −2, |
|
|
v : π → − π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ew1 |
= e−2 (cosv + isin v) |
|
|
|
|
|
(получим дугу) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Образом прямоугольника P1 |
является сектор кольца P2 - см. рис. 1.7. |
рис. 1.7. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w3 |
= −iw2 |
|
|
|
|
|
−i |
|
= 1 без растяжения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
arg(−i) = − π |
|
поворот на 90° по часовой стрелке |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
= π − π = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
θ |
|
= − π − π |
= − |
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(см. рис. 1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
w = w + |
i |
|
|
параллельный перенос |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
e2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(см. рис. 1.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) Найти образ полуполосы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|||
M = z : −∞ < Re z < ln2, |
− |
|
|
|
|
< Im z < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
под действием отображения w = ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(см. рис. 1.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 1.8. |
||||||||||
|
|
: y = − π , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
γ |
1 |
x : −∞ → ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ez |
= ex |
|
|
|
π |
|
|
− |
π |
|
(отрезок) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
cos |
− |
|
|
+ isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ex :0 → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
γ |
|
: x = ln2, |
y : − π → |
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ez |
= 2(cos y + isin y) |
|
(дуга) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
γ |
|
: y = |
4π |
, |
x :ln2 → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ez |
= ex |
|
|
|
4π |
+ isin |
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(отрезок) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex : 2 → 0
(см. рис. 1.11)
рис. 1.9.
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw29x1.jpg)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 4 из 7
|
|
рис. 1.11. |
рис. 1.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Логарифмическая функция w = ln z
Так как функция w = ln z - многозначная, то рассмотрим отображение, осуществляемое его главным значением, т.е. функцией ln z . Эта функция обратная по отношению к ez , конформно отображает плоскость с разрезом (−∞,0] на полосу шириной
2π , параллельную действительной оси (см. рис. 2.1 и 2.2).
γ1 : y = 0; x:−∞ → 0 |
|
||||||||||||||
ln z = ln |
|
x |
|
+ iπ |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
u |
v |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
: +∞ → 0 |
ln |
|
x |
|
:+∞ → −∞ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
γ2 : y = 0; x:0 → −∞ |
|
||||||||||||||
ln z = ln |
|
x |
|
+ i (−π ) |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
:0 → +∞ |
ln |
|
x |
|
:−∞ → +∞ |
r =1 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
γ :дуга окружности |
|
|
|
=1 |
|||||||||||
z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π < ϕ < π |
переходит в Г |
рис. 2.1. |
|
|
ln z = ln1+ iϕ − |
отрезок мнимой оси −π < Imw < π |
|
|
0 |
|
рис. 2.2.
![](/html/2706/112/html_J3Hdm2NPka.DpYz/htmlconvd-1VTQLw30x1.jpg)
Пример: |
|
|
|
||||
Найти образ множества |
|
|
|||||
D = z :3 ≤ |
|
z |
|
< 4, |
− π ≤ arg z < |
π |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
12 |
|
|
|
под действием отображения w = 3ln(2iz) − 4i
w1 = 2iz
k= 2 − растяжение
θ= π − поворот на 90° 2
π+θ = π + 6π = 7π
12 12 12 12
− π +θ = − π + π = π
3 |
3 |
2 |
|
|
6 |
|
|
||
(см. рис. 2.3) |
|
|
|
|
|
|
|
||
w2 = ln w1 = ln |
|
w1 |
|
|
+ iarg w1 |
|
|||
|
|
|
|||||||
Тогда, например, |
|
|
|
||||||
A′B′ : |
arg w = π = const |
|
|||||||
|
1 |
6 |
|
|
|
||||
|
|
:6 → 8 |
|
Im w = π , |
|||||
|
w |
2 |
6 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rew2 :6 → 8 |
|
т.е. A′ → A′′, B′ → B′′ |
|
|
(см. рис. 2.4) w3 = 3w2 − 4i :
линейная, растяжение в 3 раза
поворота нет, т.к. arg3 = 0 и сдвиг на − 4i
(см. рис. 2.5 и 2.6)
D → G
18 ≤ Re w < 24 |
|
|
||||
|
π |
|
|
7π |
|
|
G : |
− 4 |
≤ Imv < |
− 4 |
|||
|
|
|
||||
2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
(см. рис. 2.7)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 5 из 7
рис. 2.3.
рис. 2.4.
рис. 2.5.
рис. 2.7. |
рис. 2.6. |
|
|