Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan4_bel

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

6.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 6, стр. 4 из 5

2) f2 (z) = z3e1z - регулярна везде, кроме z = 0 , т.е. регулярна в области 0 < z < +∞ . Это кольцо

(r = 0; R = ∞) f2 (z)

разложима в ряд Лорана.

∞

ew = ∑

; положим w =

n=0

∞

e1 z = ∑

= 1+

+...

n=0

n! zn

z 2!z2

3!z3

∞

z3e1 z = ∑

= ∑

= z3 + z2 +

+...

n=0

n! zn−3

2! 3! 4!z 5!z2

Обратим внимание на то, что у этого ряда Лорана первые 4 слагаемые составляют правильную часть, а остальные – главную.

3) f3

(z) =

. Существуют две области регулярности этой функции (см. рис. 3.2) с центром в

z − 2

= 0:

D1 :

< 2

круг

D2 : 2 <

< +∞ кольцо

В круге D1

f3 (z) разложится в ряд Тейлора:

= − 1 1+ z

+ z

+ ...

= −

1 ∑ z

= −∑ z

∞

z − 2

2 − z

2 n=0 2n

n=0 zn+1

2 2

1−

рис. 3.2

В силу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

< 1

< 2 , т.е., действительно, ряд сходится в D .

В кольце D2

f3 (z) разложится в ряд Лорана

∞

(z) =

∑

= ∑

z −

n+1

2 z(1− 2 z)

n=0 z

n=0

< 1 2

, т.е. ряд сходится именно в D

Замечание: Для 1-го из этих двух рядов «по степеням z» синонимично «в окрестности z0 = 0 ». Для 2-го ряд по степеням z является рядом в окрестности z = ∞ .

Задача:

Для функции

f (z) =

написать ряд Лорана, сходящийся в кольце 1<

z − 2

< 2 .

z(z

−1)(z − 2)

∞

Т.к. центром кольца является точка

= 2 , то ряд Лорана будет иметь вид ∑ an (z − 2)n . Всего

n=−∞

таких рядов можно написать 3 штуки по числу областей регулярности функции (D1; D2 ; D3 )

(см. рис. 3.3).

f (z) =

A(z −1)(z − 2) + Bz(z − 2) + Cz(z −1)

z −1

z −

z(z −1)(z − 2)

z = 0 : 2A = 1 A = 1 2

z = 1: − B = 1 B = −1 f (z) =

−

2(z − 2)

−1

а)

б)

в)

z = 2 : 2C = 1 C = 1 2

∞

(−1) (z − 2)

а):

= ∑

z − 2

2n+2

2 z

2 2 + (z − 2) 4

n=0

z − 2

< 1

z − 2

< 2 (G )

рис. 3.3

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 6, стр. 5 из 5

б) : 1 =

= 1

1 ∑(−1)n

1 =

∑ (−1)

∞

z −1 1+ (z − 2) z − 2 1+

z − 2 n=0

(z − 2)n

n=0 (z − 2)n+1

− 2

< 1

z − 2

> 1

(G )

z − 2

− уже разложено по (z − 2)

в):

2(z − 2)

Итак,

∞ (−1)n (z −

2)n

∞

(−1)n

f (z) = ∑

− ∑

2(z − 2)

n=0

2n+2

n=0 (z − 2)n+1

Область сходимости G1 ∩G2

= D2

Задача (аналог Т.Р. № 3)

Получить все разложения

f (z) в ряд по степеням z − z0 :

f (z) =

, z

= 0

z2 + 4

В точке z0

= 0 f (z) регулярна,

следовательно 2 области регулярности (см. рис. 3.4).

D1 :

< 2

круг

D2 :

> 2

кольцо

2 различных ряда.

∞

2n+5

D1 : f (z) = z5

∑(−1) z

= ∑(−1) z

n=0

4n+1

И это ряд Тейлора.

∞

(−1)

∞

(−1)

D : f (z) = z5

= z3 ∑

= ∑

z2n−3

n=0

z2n

n=0

И это ряд Лорана.

,	z2	< 1	z	< 2	рис. 3.4

	4

4	< 1	z	> 2

z2

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 7, стр. 1 из 4

Изолированные особые точки.

1. Нули регулярной функции.

Точка z0 называется нулем n-го порядка регулярной функции f (z) , если

f (z0 ) = f ′(z0 ) = ... = f (n−1) (z0 ) = 0,	а f (n) (z0 ) ≠ 0.
Пример:
w = (z − i)3 w(i) = 0;
w′(z) = 3(z − i)2 w′(i) = 0;
w′′(z) = 6(z − i) w′′(i) = 0;
w′′′(z) = 6 w′′′(i) = 6 ≠ 0	z	0	− нуль третьего порядка для w = (z − i)3
Теорема. Если z0	- нуль порядка m - регулярной функции f (z) , то ее ряд

Тейлора начинается со степени (z − z0 )m . Доказательство:

Коэффициенты ряда Тейлора регулярной функции f (z) находятся по формуле:

C	=	1	f (n) (z		)

n		n!		0
Если z0 - нуль порядка m , то для n < m f (n) (z0 ) = 0, а f (m) (z0 ) ≠ 0
Cn = 0(n < m),Cm ≠ 0 Ряд Тейлора имеет вид:
f (z) = Cm (z − z0 )m + Cm+1 (z − z0 )m+1 + ...					(*)

Ч.т.д.

Следствие:

Чтобы f (z) - регулярная в окрестности точки z0 , имела в этой точке нуль порядка m , необходимо и достаточно, чтобы имело место следующее представление:

f (z) = (z − z0 )m ϕ(z) , где ϕ(z) - регулярна в окрестности точки z0 и ϕ(z) ≠ 0 .

Доказательство:

Из (*) следует, что
f (z) = (z − z	0	)m C	m	+ C	(z − z	0	)+ ... = (z − z	0	)m ϕ(z) , где	ϕ(z) сумма ряда Тейлора,
	0		m	m+1		0		0
стоящего в квадратных скобках, т.е. ϕ(z)								- регулярна и ϕ(z0 ) = Cm ≠ 0 .
									Ч.т.д.
Замечание:
Самостоятельно докажите «в обратную сторону».
Пример:
f (z) = z2 − sin2 z				имеет в z0		= 0 нуль порядка 4. Действительно,
f (0) = 0;

f′(0) = (2z − 2sin z cos z)|z=0 = 0;

f′′(0) = (2 − 2cos2z)|z=0 = 0;

f′′′(0) = 4sin2z |z=0 = 0;

fIV (0) = 8cos2z |z=0 = 8 ≠ 0;

С другой стороны,

ТФКП (мат. анализ часть 4)

семестр 4, лекция 7,

стр. 2 из 4

f (z) = z2 −

1− cos2z

= z2 −

cos2z =

(2z)2

(2z)4

(2z)6

= z

−

+ 2

−

+...

1−

= z2

−

4z2

16z4

−

64z6

+... =

720

−

... = z

−

−...

∞

2n−1

2n−4

= z4 ∑

= z4 ϕ(z),

ϕ(0) =

≠ 0

(2n)!

n=2

4! 24 3

Ряд, суммой которого является ϕ(z) , абсолютно сходится на всей комплексной плоскости:

22n+1

2n−2 (

2n)!

(2n)!(2n + 2)22n−1

2n−4

2n +

lim

= 0 < 1 f (z) = z4ϕ(z), где

ϕ(z)

− регулярна и ϕ (z0 ) ≠ 0.

n→∞ 2n + 2

2.Изолированные особые точки.

Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f (z) , если f (z) регулярна в некоторой окрестности точки z0 за исключением самой этой точки.

Т.к. «выколотая» окрестность точки z0 - частный случай кольца, то функция раскладывается в этой окрестности в ряд Лорана.

∞	−1	∞
f (z) = ∑Cn (z − z0 )n = ∑Cn (z − z0 )n + ∑Cn (z − z0 )n
−∞	−∞	0

3.Классификация изолированных особых точек.

Точка z0 - устранимая особая точка, если в разложении функции f (z) в ряд

Лорана	в	ее	окрестности	отсутствует	главная	часть,	т.е.
C−1 = C−2	= C−3 = ... = C−n		= ... = 0.
В этом	случае	особенность можно		устранить,	положив	f (z0 ) = C0 . Тогда

полученная функция будет регулярной как в окрестности, так и в самой точке z0 .

ТФКП (мат. анализ часть 4)

семестр 4, лекция 7,

стр. 3 из 4

Пример:

f (z) =

1− cos2z

= 0

− особая

2z2

(2z)2

(2z)4

(2z)6

f (z) =

1 − 1 +

−

...

−

−... = 1

−

−...,

2z2

2 4!

C0 = 1

главная часть отсутствует.

f (z) =

f (z), z

≠ 0

Функция

регулярна везде

1, z = 0

Теорема. Точка z0

- устранимая особая точка функции

f (z)

lim f (z) = C = const

z→z0

Доказательство:

Если z0 - устранимая, то

n C−n = 0 lim f (z) =

z→z0

= lim (C0 + C1 (z − z0 )+ C2 (z − z0 )2 + ...)= C0

= const Существует конечный предел.

z→z

Ч.т.д.

Замечание:

Самостоятельно докажите «в другую сторону». Например, для рассмотренной

выше функции lim	1− cos2z	= lim	2sin2 z	=1,	т.е. C .
	2z2		2z2
z→0		z→0			0
Особая точка z0		- полюс функции				f (z) , если главная часть ряда Лорана
состоит	из	конечного			числа		слагаемых.	Причем,	если
C−m ≠ 0, а C−m−1 = C−m−2 = ... = 0 , то точка z0						- полюс порядка m .

Пример:

sin z

f (z) =

z −

−...

−

−... z0 = 0

f (z) =

1+ z +

+ ... =

2! 3! 4!

2!z

- полюс I порядка или простой полюс.

+... z0 = 0 − полюс III порядка.

Теорема. Точка z0

- полюс порядка m lim f (z) = ∞

z→z0

Доказательство:

z0 - полюс f

(z) =

C−m

C−m+1

+ ...+ C0 + C1 (z − z0 )+ ... умножим на (z − z0 )

(z − z

)m−1

f (z)(z − z

)m = C

−m

+ C

−m+1

− z

) + ...+ C

(z − z

)m + ...

lim

(z)(z − z

= C

−m

− конечный

z→z

(C−m = const) lim f (z) =

C−m

= ∞

lim (z − z0 )

z→z0

Ч.т.д.

Замечание:

В другую сторону доказать самостоятельно.

ТФКП (мат. анализ часть 4)

семестр 4, лекция 7,

стр. 4 из 4

Следствие. Если z0

- полюс порядка m , то

f (z) =

ϕ(z)

, где ϕ(z)

регулярна в

(z − z

окрестности z0

и ϕ(z0 ) ≠ 0 .

Связь между нулем и полюсом.

Утверждение: Если

f (z)

регулярна и имеет в z0

нуль порядка m , то

имеет в

f (z)

этой точке z0 полюс m -го порядка.

Доказательство:

Пусть

f (z) = (z − z

)m ϕ

(z)

ϕ (z

) ≠ 0, ϕ

(z) регулярна в z

+ C

(z − z

)+ C

(z − z

)2 + ...

(z − z

)m ϕ (z)

(z − z

f (z)

т.к.

регулярна в z0 , следовательно раскладывается в ряд Тейлора

ϕ (z)

С0

С1

+ ...

имеет в z0 полюс порядка m.

f (z)

(z − z

)m−1

f (z)

Ч.т.д.

Особая точка z0 функции f (z) называется существенной особенностью, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых.

Пример:

1 z		1		t			t2		t3
f (z) = e	= t =		= e		= 1	+ t +		+		+... =

		z					2!		3!

1	+	1	+	1	+	1	+ ...
				2!z2		3!z3
		z
правильная
часть				глпвная часть

z0 = 0 − существенная особая точка для f (z) = e1z .

Теорема. Точка z0 - существенная особая точка функции f (z) тогда и только

тогда, когда не существует lim f (z) ни конечного, ни бесконечного.

z→z0

Доказательство:

lim f (z) устранимая или полюс.

z→z0

Ч.т.д.

Пример:

f (z) = e1z (см. выше). Докажем, что lime1z . Рассмотрим 2 различных пути, по которым z → 0 :

			z→0
γ1 : Im z = 0, Re z → 0, Re z > 0			(см. рис. 3.1)
γ	2	: Im z = 0, Re z → 0, Re z < 0	(см. рис. 3.1)
	2

Тогда lim f (z) = lim e1x = e+∞ = +∞

z→0	x→0+
пог1

lim f (z) = lim e1x = e−∞ = 0

z→0	x→0−
пог2

По γ1 и γ2	пределы разные, следовательно lime1 z .
	z→0

рис. 3.1.

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 8, стр. 1 из 6

Вычеты.

1.Определение вычета.

1.Определение.

Пусть z0 - изолированная особая точка функции f (z), z0 ≠ ∞ , а γ					-
контур, содержащий точку z0 внутри себя (и только ее одну!) – см. рис.
1.1.1.
Тогда вычетом функции f (z) в точке z0 называется число

	res f (z) =	1	∫	f (z)dz	рис. 1.1.1.
	res f (z) =	2πi		f (z)dz	рис. 1.1.1.
	z0
			γ

2. Связь вычета с коэффициентом ряда Лорана.

Т.к. z0 - изолированная особая точка, то существует ряд Лорана по степеням

окрестности U(z0 ), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

Cn =

z−∫z0

f (z)dz

γ :

=ρ

2πi

(z − z0 )n+1

Рассмотрим n = −1 n +1= 0 (z − z0 )n+1 =1

. Тогда C−1 =

∫

f (z)dz

= res f (z)

2πi

γ :

=ρ

z−z

Отсюда следует второе определение вычета:

(z − z0 ) в

res f (z) = C−1

2.Вычисление вычетов.

1.Если z0 - существенно особая точка, то вычет вычисляется только как C−1 .

Пример:

2		2		2	2				2		2	2

f (z) = ze2 z	= z 1+		+				+...	= z +		+				+... C−1 = 2 res f (z) = 2
		2		2!z		4					2!z		3
		z							z						0

главная часть

2. Если z0 - устранимая особая точка, то вычет равен нулю, т.к. для устранимой особенности C−n = 0, в том числе и C−1 = 0.


Пример:
f (z) =	tg z	. Особые точки этой функции: z0					= 0; zk = π +π k .
f (z) =		. Особые точки этой функции: z0					= 0; zk = π +π k .
	z						2
Найдем вычет в z0 . Т.к. lim			tg z		=1 ≠ ∞ z0		= 0 - устранимая C−1	= 0 res f (z) = 0.
Найдем вычет в z0 . Т.к. lim					=1 ≠ ∞ z0		= 0 - устранимая C−1	= 0 res f (z) = 0.
		z→0 z						0
3. Вычисление вычета в простом полюсе.
Теорема 1. Вычисление вычета в простом полюсе C с помощью предела.
Если z0 - простой полюс (полюс I порядка) функции f (z) , то

				res f (z) = lim f (z)(z − z0 )
				z0		z→z0

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 8, стр. 2 из 6

Доказательство:

z0 - простой полюс, следовательно, в главной части ряда Лорана содержится одно слагаемое, следовательно:

f (z) =	C−1	+ C		+ C	(z − z	)+ C		(z − z	)2 + ...
			0				2
	z − z0			1	0			0

f (z) (z − z0 ) = C−1 + C0 (z − z0 )+ C1 (z − z0 )2 + C2 (z − z0 )3 + ...

lim

f (z) (z − z

)

= lim

C + C

− z

)+ C

(z − z

+ C

(z − z

)3 + ...

= C

= res f (z)

z→z

−1

Ч.т.д.

Пример:

f (z) =

. Т.к. z0

= 1

- нуль первого порядка знаменателя, следовательно, z0 = 1 - простой

(z −1)

полюс

f (z) , следовательно

res

f (z) = lim

(z −1)

= lim z

= 1

z→1

z −1

z→1

Проверим результат с помощью ряда Лорана:

f (z) =

z −1+1

= 1 +

= 1

−

−1

z −1

пр.

чать

главная

часть

Теорема 2. Вычисление вычета в простом полюсе с помощью производной.

Если z0 - простой полюс функции

f (z) , имеющий вид

f (z) =

ϕ(z)

, где

ϕ(z) иψ (z)

ψ (z)

регулярны в z0 и ϕ(z0 ) ≠ 0, ψ (z0 ) = 0, ψ ′(z0 ) ≠ 0

(т.е. z0 - нуль первого порядка знаменателя),

то

ϕ(z)

ϕ(z0 )

res f (z) = res

ψ ′(z

ψ (z)

)

Доказательство:

Из Теоремы 1 следует:


res ϕ(z) = lim ϕ(z)(z − z0 ) = lim		ϕ(z)		= (т.к. ψ (z	) = 0) =

z0 ψ (z) z→z0 ψ (z)	z→z0 ψ (z) −ψ		(z0 )	0

(z − z0 )

Ч.т.д.

	ϕ(z)		limϕ(z)				ϕ(z0 )
lim		=	z→z0		=				.
	ψ (z)			ψ (z)
z→z0						ψ ′(z		)
( z→0)			lim			0

	z		z→0 z

Пример:

f (z) =

z + 3

. Точки zk = π k

- простые полюса (k = 0;±1;±2;...), т.к.

sin z

= 0, (sin z)′ = cos z

cos z

≠ 0 res f (z) =

zk + 3

cos zk

res f (z) =

2π n + 3

= 2π n + 3; например, res f (z) = 3

2π n

cos2π n

res

f (z) =

(2n +1)π + 3

= −(2n +1)π − 3; например, res f (z) = −(π + 3)

(2n+1)π

cos((2n +1)π )

4. Вычисление вычета в кратном полюсе.

Теорема 3. Вычисление вычета в кратном полюсе с помощью предела.

Если z0 - полюс порядка n для функции f (z) , то

res f (z) =	1	lim	f (z)(z − z		)n (n−1)

z0	(n −1)!z→z0			0

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 8, стр. 3 из 6

В частности, для полюса 2-го порядка получим:

res f (z) = lim

′

f (z)(z − z0 )

z→z

Для полюса 3-го порядка получим:

3 ′′

res f (z) =

lim f (z)(z − z0 )

2 z→z0

Доказательство:

Ряд Лорана в окрестности полюса порядка n имеет вид:

(z) =

C−n

C−n+1

+ ...+

C−1

+ C

(z − z

)+ ...

(z − z

)n−1

− z

z − z0

f (z)(z − z0 )n = C−n + C−n+1 (z − z0 )+ ...+ C−1 (z − z0 )n−1 + C0 (z − z0 )n + C1 (z − z0 )n+1 + ...

Вправой части полученного равенства только неотрицательные степени (z − z0 ) ,

следовательно, это функция, регулярная в z0

и ее окрестности. Обозначим ее через ϕ(z) .

Тогда:

f (z)(z − z0 )n = ϕ(z)

f (z) =

ϕ(z)

res f (z) =

∫

f (z)dz =

∫

ϕ(z)dz

(z − z0 )

2πi

=ρ

2πi

=ρ (z − z0 )

z−z

{по интегральной формуле Коши для производных}=

2πi

(n−1) (z

) =

ϕ(n−1) (z

) =

(n −1)!

2πi

(n −1)!

limϕ(n−1) (z) =

lim

f (z)

(z − z

)n (n−1)

(n −

(n −1)!z→z0

1)!z→z0

Ч.т.д.

Пример:

f (z) =

e2z

;

=1 - полюс 3-го порядка.

(z −1)3

e2z

′′

2z ′′

res f (z) =

lim

(z −1)

lim e

lim 2 2 e

= 2e

2 z→1

(z −1)

2 z→1

Замечание:

В тех случаях, когда разложение в ряд Лорана не вызывает затруднений, проще, по определению, найти C−1 .

Пример:

f (z) =

2 + z3

;

z1 = −3 - простой полюс

(3+ z)

= 0 - полюс 7-го порядка

2 + z3

− 27

res f (z) = lim

(z +

−3

z→−3 z7 (3+ z)

(−3)7

res f (z) =

+ z3

= ...

lim

6! z→0 z7 (3+ z)

Чем вычислять производную шестого порядка, лучше разложим f (z) в ряд Лорана по

степеням z:

			2 + z3					1				2				1			1						2			1			z		z2		z	3			z4		z5		z6
f (z) =										=					+								=				+		1	−		+		−			+			−		+		−...	=
f (z) =				z						=					+	z4				z			=		3z7		+		1	−		+		−	33		+	34		−	35	+	36	−...	=
				z	7		3	+ z				z7				z4			+	z					3z7			3z4			3 32				33			34			35		36
																	3	1
																	3	1
																				3
2				z6					1						z3			2					1		1													2			1
= ...						+...+							−			+... =					−					+...		C−1			= res			f (z) =						−
= ...	3z	7		3	6	+...+			3z		4		−	3		+... =			7		−	4				+...		C−1			= res			f (z) =				7		−	4
	3z			3					3z					3					3			3		z									0					3 3
																																	0

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 8, стр. 4 из 6

3. Особенности в бесконечности.

Пусть

f (z) - регулярна в окрестности бесконечно удаленной точки, кроме нее

самой, т.е. в

области

R <

< +∞ . В

такой

окрестности сходится

ряд Лорана вида

∞

f (z) = ∑ Cn zn . Этот ряд может принимать следующие формы:

n=−∞

∞

1) f (z) = C0 + ∑

C−n

(не содержит положительных степеней)

n=1

∞

−n

Тогда существует lim f (z) = lim C0

+ ∑

= C0 .

z→∞

n=1

≠ ∞ z0 = ∞ - устранимая особая точка.

Пример:

f (z) =

z2 + z + 2

= 1

У этой функции 2 особенности:

= ∞ - устранимая (limz→∞ f (z) = 1)

= 0 - полюс 2-го порядка ( lim f (z) = ∞ , в главной части ряда Лорана содержатся степени z до

z→0

минус второй).

∞

C−n

f (z) = Cm zm + Cm−1zm−1 +...+ C0 + ∑

(конечное

число

слагаемых с

положительными

n=1

степенями z)

∞

−n

Тогда существует lim f (z) = lim Cm zm +...

+ C0 + ∑

= ∞

z0 = ∞ - полюс. Порядок полюса

z→∞

n=1

определяется по высшей положительной степени z.

Пример:

f (z) =

1− z3

У этой функции 3 конечных особых точки (нули знаменателя – полюса 1-го порядка) и особенность в z = ∞ . Разложим f (z) в ряд по степеням z в окрестности бесконечности:

1 1

f (z) =

= −z

+...

= −z

−1

−

−...

z = ∞ - полюс 3-го

−1

1−

порядка.

0∞

3)f (z) = ∑Cn zn + ∑Cn zn (бесконечное число слагаемых с положительными степенями)

−∞ n=1

Тогда в z0 = ∞ - существенная особенность.

Пример:
f (z) =	1	+ e−2z	имеет две особые точки: в z	= 0 - полюс 2-го порядка, в z		= ∞ - существенную
	z2
			1		2

особенность.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20152.51 Mб5MAIIISKZVO.pdf
#
17.09.2019412.16 Кб9MapReduce.doc
#
10.05.201552.22 Кб210Marketing_testy_s_otvetami_1 (1).doc
#
10.05.2015175.62 Кб15Matan.doc
#
16.04.20195.07 Mб33matan.doc
#
10.05.20156.91 Mб24matan4_bel.pdf
#
10.05.2015559.27 Кб71mat_analiz_tipovik.pdf
#
13.08.2019891.39 Кб31medicina-katastrof.doc
#
10.05.2015374.73 Кб11metod1k.pdf
#
10.05.2015553.47 Кб8metodichka_Arkh_EVM_k_rabota_2011g.doc
#
10.05.2015697.34 Кб14Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc