Условия задачи

Дан сигнал S(t)= Е ∙Cos (π t/t_и) , | t| ≤ t_и/2 иS(t)=0, | t| > t_и/2с параметрами

• Е = (N₁+ 1) В,

• τ= (N₂+ 2)∙10^-7с

• t_и = (N₃+ 3)∙10^-6с.

Найти спектр сигнала S(t)и его энергию. Изобразить спектральную диаграмму сигнала.

τ=7*10^-7с

E=3 В

t_u=6*10^-6c.

Тогда, сигнал приобретает вид

Вид сигнала

Расчетная часть

1. Расчет и построение спектра сигнала

Решение для интеграла

Представим косинус с помощью формулы Эйлера в виде экспонент

Умножение на 1 в виде 2j/2jсделано для приведения результата вычисления к виду удобному для восприятия и построения. Получим:

Воспользуемся формулой Эйлера повторно, с целью преобразования экспоненциальных слагаемых в синус:

Помня, что косинус функция четная и отличается от синуса на π/2 получим:

Подставим исходные данные и получим:

Спектральное представление сигнала

2. Расчёт энергии сигнала:

Воспользуемся формулой понижения степени косинуса:

Подставляем в исходное выражение

Для заданных условий:

Задание 4

(N₁+N₂+N₃–четное число)

Теоретическая часть

В данной работе это задание решено прямолинейно, однако существует более простой способ с применением свойств преобразования Фурье.

1. Теорема запаздывания ( сдвиг сигнала во времени)

Сдвиг сигнала приводит к изменению аргумента спектральной плотности на ωt₀, а ее аргумент остается неизменным. Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.

2. Изменение масштаба времени

При сжатии сигнала в aраз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.

3. Теорема линейности

Это следствие линейности интеграла

4. Произведение сигналов

Изменим порядок интегрирования

Спектр произведения 2х функций равен свёртке их спектров.

5. Диффиринцирование и интегрирование сигналов

Аналогично

Видно, что при дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. При этом Модуль сигнала возрастает в ВЧ области и уменьшается в НЧ.

При интегрировании подчёркивается НЧ составляющая, а ВЧ ослабевает.

6. Теорема смещения спектра

Смещение спектра сигнала на Ω смещает на туже величину частоту несущего колебания.[2]

Условия задания

Сигнал задан аналитически:

S(t)= Е ∙, |t| ≤ t_и/2

S(t)=0, |t| ≥ t_и/2, где Е = (N₁+ 1) В,t_и = (N₁+N₂+N₃)∙10^-7с

Определить параметры спектра данного сигнала и изобразить его временную и спектральную диаграммы.

Исходные данные

t_и = (1)∙10^-6с

Е = 3В

13. Вид сигнала в временной области

Расчетная часть

Получим спектральную плотность в общем виде для треугольного симметричного импульса:

Проведём расчёт по слагаемым:

Первое слагаемое:

Второе слагаемое:

Третье слагаемое:

Произведём действия со втором и третьим слагаемым как указано в исходном примере:

Подставим в исходное выражение и получим:

Подставим данные согласно варианту и получим:

Спектр данного сигнала имеет вид:

8*10^-7

6*10^-7

4*10^-7

2*10^-7

-4*10^{7 -}2*10⁷ 2*10⁷ 4*10⁷

14. Спектральное представление сигнала.

Сигнал одиночного импульса имеет сплошной спектр внутри огибающей. Заполнение не показано.