![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
5.2. Формулы численного интегрирования
Пусть требуется вычислить интеграл
(5.24)
Из курса математического анализа известно, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f интеграл (5.24) существует и равен разности значений для первообразной F для функции f в точках b и a:
. (5.25)
Однако в подавляющем большинстве практических задач первообразную F не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в приближенных методах вычислении интеграла (5.24), которые можно условно подразделить на аналитические и численные. Первые заключаются в приближенном построении первообразной и дальнейшем использовании формулы (5.25). Вторые позволяют непосредственно найти числовое значение интеграла, основываясь на известных значениях подынтегральной функции (а иногда и ее производной) в заданных точках, называемых узлами. В настоящей главе остановимся лишь на численных методах интегрирования функций. Сам процесс численного определения интеграла называется квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.
В зависимости от способа задания подынтегральной функции будем рассматривать два различных в смысле их реализации случая численного интегрирования.
Задача 1.
На отрезке [a,b]
в узлах
заданы значения
некоторой функцииf,
принадлежащей определенному классу F.
Тре6уется приближенно вычислить интеграл
(5.24) и оценить погрешность полученного
значения. Так обычно ставится задача
численного интегрирования в том случае,
когда подынтегральная функция задана
в виде таблицы.
Задача 2.
На отрезке [a,b]
функция f(x)
задана в виде аналитического выражения.
Требуется вычислить интеграл (5.24) с
заданной предельно допустимой
погрешностью.
Один из способов решения сформулированных задач основан на использовании различных квадратурных формул вида
(5.26)
С известным
остаточным членом
или его оценкой.
В общем случае,
как узловые точки
,
так и весовые множители (веса)
заранее не известны и подлежат определению
при выводе каждой конкретной квадратурной
формулы на основе предъявляемых к ней
требований.
Алгоритм решения задачи 1.
1. Выбирают конкретную
квадратурную формулу (5.26) и вычисляют
.
Если значения функции
заданы приближенно, то фактически
вычисляют лишь приближенное значение
для точного
.
2. Приближенно
принимают, что
3. пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода:
.
4. Определяют
погрешность входных данных
:
по погрешности
приближения значений
.
5. Находят полную
абсолютную погрешность приближенного
значения
:
.
6. Получают решение задачи в виде
.
Для достаточно
гладких функций, т.е. для функций с
ограниченным изменением производных,
погрешность квадратурных формул (4.26)
для достаточно больших n,
как правило, мала. Поэтому при достаточной
точности исходных значений
и при достаточной точности вычисления
можно ожидать, что
будет хорошим приближенным дляI.
На этих соображениях основан следующий
алгоритм.
Алгоритм решения задачи 2.
1. Представляютв виде суммы трех неотрицательных
слагаемых:
,
где
- предельно допустимая погрешность
вычисления
;
- предельно допустимая погрешность
метода;
- предельно допустимая погрешность
округления результата.
2. Выбирают n в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство
.
3. Вычисляют
с такой точностью, чтобы при подсчете
по формуле (5.26) обеспечить выполнение
неравенства
.
Для этого, очевидно,
достаточно вычислить все
с абсолютной погрешностью.
.
4. Найденную в п. 3
величину
округляют (если
)
с предельно допустимой погрешностью
до величины
.
5. Получают решение задачи в виде
.
Используемые в алгоритмах обеих задач квадратурные формулы строятся, как уже было сказано, на основании тех или иных критериев, определяющих положение узловых точек и величины весовых множителей. Такими критериями могут быть: представление интеграла в виде интегральной суммы; аппроксимация подынтегральной функции (например, многочленом) и последующее интегрирование аппроксимирующей функции; требование, чтобы формула (5.26) была абсолютно точной для определенного класса функций, и др.
Простейшие квадратурные формулы
Формулы прямоугольников. Как известно, определенный интеграл в силу своего построения есть предел интегральных сумм:
, (5.27)
каждая, из которых
соответствует некоторому разбиению
:
отрезка
и произвольному набору точек
для каждого разбиения;
.
Ограничиваясь
конечным числом слагаемых в правой
части равенства (5.27) и принимая в качестве
набора
те или иные значения аргумента из
отрезков
,
можно получить различные формы
приближенного интегрирования. Так,
принимая в качестве набора
значения левых или правых концов отрезков
,
получим соответственноформулу
левых или
правых
прямоугольников
:
, (5.28)
. (5.29)
Название этих
формул связано с их геометрической
интерпретацией. Если в плоскости Х0У
(рис 5.1) построить кривую y
= f(x),
разбить отрезок
наn
частей точками
сетки
,
то формула левых прямоугольников в
качестве приближенного значения
интеграла даст суммарную площадь
штрихованных прямоугольников (рис. 5.1,
а); а формула правых прямоугольников -
суммарную площадь штрихованных
прямоугольников (рис. 5.1, б).
Рисунок 5.1 – Графическая интерпретация формулы прямоугольников:
а) левых прямоугольников
б) правых прямоугольников
в) центральных прямоугольников
Пример 5.3. с помощью
формул левых и правых прямоугольников
вычислить
,
полагаяn
= 4.
Зная приделы
интегрирования a
= 1 и b
= 9, находим
шаг
;
тогда точками разбиения служат
,
,
,
,
,
а значения подынтегральной функции
в этих точках таковы:
Далее найдем числовое значение интеграла, пользуясь формулой (5.28):
Если вычисление определенного интеграла произвести по формуле (5.29), то получим:
Наиболее часто
используемой формулой, основанной на
идее представления определенного
интеграла в виде интегральной суммы,
является формула
прямоугольников, где
в качестве
берут середины отрезков
.
Для равномерной сетки
эта формула имеет следующий вид:
,
(5.30)
где
;
;
.
Найдем выражение для остаточного члена приближенной формулы (5.30) с этой целью представим интеграл, входящий в левую часть соотношения (4.30), в виде суммы:
. (5.31)
Предполагая, что
функция f(x)
дважды дифференцируема, т.е.
,
запишем для функцииf(x)
на каждом из отрезков
формулу Тейлора остаточным членом в
форме Лагранжа:
(5.32)
Подставим в правую часть соотношения (5.31) вместо функции f ее представление (5.32) и выполним интегрирование, используя вторую теорему о среднем значении функции:
В силу непрерывности
второй производной существует такая
точка
,
что
Используя это соотношение, окончательно имеем
(5.33)
Сравнивая формулы (5.30) и (5.33), получаем выражение для остаточного члена квадратурной формулы (5.30):
(5.34)
Таким образом, оценку погрешности квадратурной формулы (5.30) можно представить в следующем виде:
(5.35)
где
Полученные выражение для остаточного члена (5.34) и погрешности (5.35) показывают, что формула (5.30) является точной для любой линейной функции, поскольку вторая производная такой функции равна нулю, а, следовательно, остаточный член и погрешность также равны нулю.
Перейдем к оценке
погрешности приближенного значения
.
Если значения функции, используемые в
квадратичной формуле, получены, приближено
или вычисления не могут быть выполнены
абсолютно точно, то это влечет за собой
появление вычислительной погрешности
и погрешностей округления. Пусть значения
в формуле (5.30) получены с одинаковой
абсолютной погрешностью
;
тогда суммарная вычислительная
погрешность
составит
(5.36)
Эта погрешность не зависит от числа разбиений отрезка интегрирования, а пропорциональна только его длине.
Пример 5.4. Вычислить
с помощью формулы прямоугольников
интеграл
,
полагаяn
= 4. Оценить
погрешность полученного приближенного
значения.
По заданным пределам интегрирования и числу разбиений n определим шаг:
.
далее на основании формулы (5.30) имеем
Вычислив необходимые
значения функции с тремя верными в узком
смысле знаками
,
получим
Погрешность метода оценим по формуле (5.35), для чего предварительно найдем максимум абсолютной величины второй производной подынтегральной функции:
Таким образом, погрешность метода есть
Пользуясь формулой (5.36), найдем погрешность входных данных:
Следовательно, за
полную погрешность приближенного
вычисления интеграла можно принять
,
а окончательный ответ записать в виде
Формула трапеций. Перейдем теперь к другому способу построения квадратурных формул, связанному с аппроксимацией подынтегральной функции интерполяционным многочленом. Рассмотрим простейший случай аппроксимации многочленом первой степени с узлами в точках a и b:
;
.
Интегрируя правую и левую части этого равенства и используя вторую теорему о среднем значении функции при интегрировании последнего слагаемого правой части, находим:
;
.
Таким образом, предполагая, что отрезок интегрирования мал, получаем квадратурную формулу, называемую формулой трапеций:
(5.37)
с остаточным членом
;
. (5.38)
Используя выражение (5.35) для остаточного члена, опенку погрешности квадратурной формулы (5.37) можно представить в виде
, (5.39)
где
.
Полученные выражения для остаточного члена (5.38) и погрешности (5.39) показывают, что квадратурная формула (5.37) является точной для всех линейных функций, поскольку вторая производная таких функций равна нулю, а, следовательно, равны пулю остаточный член и погрешность.
Пример
5.5. Вычислить с помощью формулы трапеций
интеграл
.Оценить
погрешность полученною приближенного
значения.
На основании формулы (5.37) имеем
.
Вычислив необходимые значения функции, получим
.
Погрешность метода оценим по формуле (5.39), используя значение М=2 полученное в примере 5.4:
.
Вычислительная
погрешность, очевидно, равна нулю, так
как значения функции и
,
найдены абсолютно точно.
Итак,
окончательно имеем
.
Отметим,
что в примере 5.5 получилось гораздо
менее точное решение, чем в примере 5.4.
Однако использование в примере 5.5 формулы
трапеций имеет свои преимущества.
Во-первых, если подынтегральная функция
задана в виде таблицы ее значений в
узлах
,
то для использования формулы прямоугольников
необходимо определить значения этой
функции еще и в точках
,
что вносит дополнительные трудности и
дополнительную погрешность. Во-вторых,
в примере 5.5 значения подынтегральной
функции были вычислены всего лишь в
двух точках, в то время как в примере
5.4 - в четырех точках, что, естественно,
потребовало большего времени.
Приведенные рассуждения показывают, что ценность квадратурной формулы определяется не только формой ее остаточного члена (или погрешности), но и другими факторами, например временем счета.
Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
Рассмотрим
формулы численного интегрирования,
имеющие более сложную структуру.
Описанные выше методы численного
интегрирования являлись интерполяционными,
включая в определенном смысле и формулы
прямоугольников. Это означает, что
подынтегральная функция аппроксимировалась
интерполяционным многочленом. Если
интегрируемая функция достаточно
гладкая, а отрезок интегрирования
конечен, то можно получить достаточно
хорошие результаты. С другой стороны,
трудно рассчитывать на хорошую
аппроксимацию интегрируемой функции
многочленом, если сама функция или ее
производные невысоких порядков имеют
особенности. В таких случаях подынтегральную
функцию целесообразно представить в
виде произведения двух сомножителей:,
которые должны обладать следующими
тремя свойствами. Во-первых, весовой
множительр(х)
должен отражать все особенности
интегрируемой функции. Во-вторых, моменты
(k
= 0,1,…),
где [а, b] - отрезок интегрирования, должны вычисляться аналитически.
В-третьих, погрешность аппроксимации функции f(x) многочленом должна быть мала.
Перейдем теперь к построению самих квадратурных формул. Будем их строить в том же виде, что и раньше:
. (5.41)
В общем
случае, как уже отмечалось, формула
(5.41) имеет 2n
свободных параметров - это узлы квадратуры
и весовые множители
.
Числоn
будем предполагать фиксированным. Выбор
свободных параметров определяется теми
требованиями, которые предъявляются к
квадратурной формуле условиями
практической задачи. Такими требованиями
могут быть, например, максимально
возможная точность, минимальная
вычислительная погрешность, фиксирование
некоторых (а возможно, и всех) весовых
множителей или узлов квадратуры.
Начнем
с относительно простого случая, когда
узлы определены заранее и можно
варьировать лишь выбором весовых
множителей.
Идея интерполяционных квадратур
заключается в следующем. Аппроксимируем
функциюf
интерполяционным многочленом в форме
Лагранжа степени n-1
по n
различным узлам
:
.
Проинтегрируем правую и левую части этого равенства на отрезке [а,b], предварительно умножив их на весовую функцию р(х):
.
(5.42)
Преобразуем первое слагаемое правой части этого соотношения.
Для
этого подставим вместо
его явное выражение и поменяем местами
операции интегрирования и суммирования:
. (5.43)
Здесь
.
Первый
из множителей, входящих под знак суммы,
является числовым коэффициентом,
пропорциональным длине отрезка
интегрировании и зависящим только от
расположения узлов и свойств функции
р(х)
(по не функции f).
Предполагая
теперь, что второе слагаемое правой
части соотношения (5.42) мало, получаем
приближенную квадратурную формулу
(5.41) с заданными узламии коэффициентами
,
определяемыми следующим образом:
(i
= 1,2,…,n). (5.44)
Построенная таким образом квадратурная формула называется интерполяционной.
Перейдем к оценке погрешности формулы (5.41) с коэффициентами (5.44). Для этого проинтегрируем остаточный член интерполяционной формулы:
.
Подставляя приведенное выражение во второе слагаемое равенства (5.42), получаем
;
.
Если
функция f
имеет на отрезке итерирования непрерывную
производную порядка n,
а произведение
сохраняет
на том же отрезке свой знак, то дли
остаточного члена можно получить
следующее выражение:
;
. (5.45)
и, следовательно, оценка погрешности квадратуры принимает вид
, (5.46)
где
Полученная
оценка при указанных выше условиях
является
не улучшаемой.
Если
же произведение
не сохраняет знак па отрезке интегрирования,
но в этом случае получается лишь грубая
оценка погрешности:
,
которая может оказаться далеко не оптимальной. Полому в подобных случаях пользуются другими соображениями при построении явного выражения для остаточного члена и погрешности.
Пример
5.6. Построить квадратурную формулу
(5.41) дли отрезка
[-1,1]
с узлами
и весовой функцией
.
По существу, необходимо определить коэффициенты A, (i = 1,2,3) формулы (5.41). Используя выражение (5.44) для искомых коэффициентов, получаем
,
,
.
Таким образом, искомая формула имеет вид
.
В
практических расчетах особый интерес
представляет случай, когда узлы
квадратурной формулы задаются в виде
равноотстоящих точек отрезка [а, b]:
(i
= 1,2,…,n),
а весовая функция р(х)
тождественно равна единице. При таких
предположениях формулу (5.41) можно
преобразовать к виду
. (5.47)
При
различных n
получаем квадратурные
формулы Ньютона-Котеса.
Коэффициенты,
называемыекоэффициентами
Котеса,
определяются
из соотношения (5.44):
, (5.48)
где n >1; i = 1,2,…,n; 0!=1.
Эти коэффициенты обладают следующими полезными при их вычислении свойствами.
1. Симметричные коэффициенты (первый и n-й, второй и (n-1)-й, ...) равны между собой:
. (5.49)
2. Сумма всех коэффициентов равна единице:
.
В табл. 6 приведены значения коэффициентов Котеса для n = 2, 3, 4, 5, 6.
Таблица 6. Значения коэффициентов Котеса для n = 2, 3, 4, 5, 6
n |
i = 1 |
i = 2 |
i = 3 |
i = 4 |
i = 5 |
i = 6 |
2 |
1/2 |
1/2 |
- |
- |
- |
- |
3 |
1/6 |
4/6 |
1/6 |
- |
- |
- |
4 |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
- |
- |
5 |
7/90 |
32/90 |
12/90 |
32/90 |
7/90 |
- |
6 |
19/288 |
75/288 |
50/288 |
50/288 |
75/288 |
19/288 |
Остановимся на частном случае квадратурной формулы (5.47), получающемся при n = 3. Применяя формулу (5.48), имеем
.
Далее, используя равенства (5.49), найдем
,
.
Таким образом, искомая квадратурная формула, называемая формулой Симпсона, имеет вид
.
(5.50)
Формула (5.50) является точной для всех многочленов нулевой, первой, и второй степеней. Формула Симпсона обладает также так называемым свойством повышенной точности, которое заключается в том, что она является точной не только для многочленов второй степени, но и для многочленов третьей степени.
Оценка погрешности имеет вид
, (5.51)
где
.
Пример
5.7. Вычислить с помощью формулы Симпсона
интеграл
.
Оценить погрешность полученного
приближения.
Вычислив
необходимые значения подынтегральной
функции в точках
,
подставим их в формулу (5.50):
.
Учитывая, что
,
и используя формулу (5.51), для метода
получим погрешность
.
Найдем вычислительную погрешность
.
Складывая погрешности и округляя результат, окончательно имеем
.
Лекция № 16