![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
4.3.7 Разделенные разности
Рассмотрим случай, когда значение функции заданы в неравноотстающих узлах. При этом вместо конечных разностей рассматриваются разделенные разности, являющиеся в некотором смысле аналогом понятия производной и определяющиеся следующим образом.
Пусть функция y
= f(x)
задана своими значениями
,
,
,…,
,
… в узлах
произвольной сетки
.
Разделенные
разности нулевого порядка
совпадают со значениями функции в точках
.Разделенными
разностями первого порядка
называются отношения
Разделенными разностями второго порядка называются отношения
В общем случае разделенная разность k-го порядка определяется через разделенную разность(k-1)-го порядка по формуле
. (4.36)
Приведем некоторые свойства разделенных разностей
1. Разделенные
разности всех порядков являются линейной
комбинацией значений
,
а именно справедлива следующая формула:
. (4.37)
2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов, т.е. не меняется при любой их перестановке.
3. Разделенная разность удовлетворяет равенству
, (4.38)
4. Если узлы
принадлежат отрезку
и функцияf(x)
имеет на
непрерывную производнуюk-го
порядка, то существует такая точка
,
что
. (4.39)
Из этого свойства вытекает простое следствие. Пусть
есть многочлен
k-й
степени. Тогда, очевидно,
,
и соотношение (4.39) дает для разделенной
разности значение
Итак, у всякого многочлена k-й степени разделенные разности k – го порядка равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков (больше k), очевидно, равны нулю.
4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
Используя форму Лагранжа, представим интерполяционный многочлен в следующем виде:
Здесь
;
;
(k
= 1,2,…n)
– интерполяционные многочлены в форме
Лагранжа, построенные по узлам
.
Рассмотрим разности
Таким образом, используя формулу (3.37), получим
(4.40)
а интерполяционный многочлен принимает форму
(4.41)
Эта форма называется интерполяционным многочленом Ньютона с раздельными разностями.
Выражение для погрешности имеет тот же вид, что и в случае многочлена Лагранжа [см.формулу(4.9)].
Отметим, что в
формуле (4.41) интерполяционного многочлена
на узлы накладывается единственное
условие - их несовпадение. Поэтому
нумерацию узлов можно произвести в
произвольном порядке. Например, индексом
«0» часто обозначают последующий узел
таблицы, за
принимают предпоследний узел и обозначают
его
и т.д. В этом случае многочлен (4.41)
принимает форму
(4.42)
и ее называют многочленом Ньютона для интерполирования назад.
Сравнение форм
Лагранжа и Ньютона
интерполяционного многочлена позволяет
рекомендовать использование представления
в форме Лагранжа, во-первых, в теоретических
исследованиях, например при изучении
вопроса о сходимости
к
;
во-вторых, при интерполировании нескольких
функций на одной и той же сетке узлов,
поскольку в этом случае можно один раз
вычислить множители Лагранжа
и использовать
их для интерполяции всех функций.
Представление в
форме Ньютона оказывается более удобным
в практических расчетах. Действительно,
число используемых узлов и степень
интерполяционного многочлена часто
заранее не известно, а при переходе от
n
узлов к (n+1)-му
узлу в форме Ньютона добавляется лишь
один член, имеющий смысл поправки к уже
вычисленному значению. В то же время в
форме Лагранжа добавление еще одного
слагаемого сопровождается полным
пересчетом полученного ранее результата.
Кроме того, в вычислительной практике
интерполяция обычно осуществляется на
не большом отрезке длиной h<1.
При этом слагаемые формы Ньютона имеет
порядок
,…, т.е. расположены в порядке убывания,
что оказывается полезным при определении
точности результата интерполирования.