- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
5.1. Численное дифференцирование
При решении многих практических задач возникает необходимость получить значения производных различных порядков функции f, заданной в виде таблицы или сложного аналитического выражения. В этих случаях применить непосредственно методы дифференцированного исчисления либо невозможно, либо затруднительно. Тогда используют приближенные методы численного дифференцирования.
Простейшие выражения для производных получаются в результате дифференцирования интерполяционных форм.
Итак, рассмотрим следующую задачу. На сетке в узлахзаданы значенияфункцииf, непрерывно дифференцируемой n+1+m раз. Требуется вычислить производную и оценить погрешность.
Один из возможных способов решения этой задачи заключается в следующем. Построим для функции f по узлам интерполяционный многочлен с остаточным членом, так что
f (x)= . (5.1)
Продифференцируем правую и левую части соотношения (5.1) m раз и положим :
. (5.2)
Для достаточно гладких функций, т.е. для функций с ограниченными производными, необходимым количеством узлов и заданной точностью величиной, величина мала иявляется хорошим приближенным для, так что можно положить
. (5.3)
В практических расчетах численное дифференцирование оказывается весьма чувствительным к ошибкам в исходной информации, отбрасыванию членов ряда к другим подобным операциям. Кроме того, высокая точность интерполирования [малость] совсем не гарантирует высокой точности интерполяционной формулы для производной [малости]. Поэтому численное дифференцирование следует применять осторожно и, как правило, для небольших m.
Учитывая сказанное, а так же то, что вычисление высших производных может быть сведено к последовательному вычислению низших, остановимся более подробно на получении расчетных формул для ив узлах равномерной сетки. Для получения производных в узловых точках целесообразно использовать интерполяционный многочлен Стирлинга и его остаточный член. Так дифференцируя многочлен Стирлинга и его остаточный член поx и полагая (), получим следующие выражения для производной:
(k=1) (5.4)
(k=2) (5.5)
Дифференцируя многочлен Стирлинга два раза по x и вычисляя значение второй производной в точке имеем
(k=1) (5.6)
(k=2) (5.7)
Для вычисления производной точно в середине между узлами применяют многочлен Бесселя. В этом случае соответствующие формулы для производной имеют вид
(k=1) (5.8)
(k=2) (5.9)
Практический интерес представляют также так называемые формулы одностороннего дифференцирования, позволяющие вычислить по узлам(i=0,1,…,k,… или i=0,- 1,…,- k,…). Построение этих формул удобно провести с помощью первого и второго интерполяционных многочленов Ньютона.
Дифференцируя первый многочлен Ньютона по x и вычисляя значение производной в точке (t = 0) для k=1 и k=2 получим соответственно следующие формулы:
(5.10)
(5.11)
Аналогично, дифференцируя второй многочлен Ньютона, для k=-1 и k= - 2 соответственно имеем
(5.12)
(5.13)
Приведем снова все формулы второго порядка, выразив входящие в них конечные разности непосредственно через значение функции . Из соотношений (5.4), (5.6) и (5.8) имеем
(5.14)
(5.15)
(5.16)
Соотношения (5.11) и (5.13) соответственно дают
(5.17)
(5.18)
Из формул (5.17), (5.18) видно, что с уменьшением шага сетки уменьшается и погрешность метода. Однако если значения функции заданы приближенно, например, с одинаковой абсолютной погрешностью, то при использовании формул численного дифференцирования суммарная погрешность будет содержать дополнительное слагаемое, обратно пропорциональное(m – порядок производной). Поэтому уменьшение h разумно лишь в определенных пределах.
Иллюстрируя сказанное, рассмотрим правую часть формулы (5.16). Суммарная погрешность ее составляет
. (5.19)
Приравнивая нулю, получаем точку экстремума функции:
. (5.20)
Так как , то- точка минимума, причем:
. (5.21)
Аналогично, из формулы (5.15) для оптимального шага получаем выражение
(5.22)
А из формулы (5.17) и (5.18) – выражение
(5.23)
Таким образом, при вычислении производных предварительно следует определить оптимальный шаг исходной таблицы значений .
Пример 5.1. Вычислить идля функции, заданной в виде таблицы (табл. 5.1), содержащей значениесо всеми верными в широком смысле знаками. Оценить погрешность результата.
Таблица 5.1. Данные к примеру 5.1
x |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
f |
0,1823 |
0,2626 |
0,3364 |
0,4054 |
0,4700 |
Для вычисления требуемых производных применим соответственно формулы (5.18) и (5.15). Тогда, используя равенства (5.21) и (5.22), а также исходные данные, получим следующие значения для оптимального шага:
при вычислении ;
при вычислении .
Так как табличные данные не позволяют выбрать в качестве шага 0,22, то за Принимаем ближайшее возможное число 0,2. Следовательно,
,
причем суммарная погрешность не превышает
;
и
,
причем суммарная погрешность не превышает
.
В некоторых случаях для определения производной задается только таблица значений функции. Тогда оценить погрешность невозможно. Приближенные значения производной вычисляются непосредственно по одной из формул (5.17) – (5.23) без учета погрешности.
Пример 5.2. Вычислить ,для функцииf(x), заданной в виде таблицы (табл. 5).
Таблица 5. Данные к примеру 5.2
x |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
y=f(x) |
0,18 |
0,26 |
0,34 |
0,41 |
0,47 |
На основании формул (5.17) и (5.19) получаем:
Лекция № 15