Корреляционно-регрессионный анализ
На основании произведенных расчетов проведем корреляционно-регрессионный анализ
Форма уравнения регрессии – линейная.
График зависимости результативного признака от факторного, составленный по исходным данным
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
14a + 386938008 b = 4.58
386938008 a + 1.3855347726526E+16 b = 134817795.02
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0, a = 0.3269
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 0 x + 0.3269
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
|
x |
y |
x2 |
y2 |
x • y |
|
40486053 |
0.43 |
1.6391204875188E+15 |
0.18 |
17247058.58 |
|
5855297 |
0.27 |
34284502958209 |
0.0716 |
1566291.95 |
|
9763769 |
0.28 |
95331185085361 |
0.0787 |
2739713.58 |
|
50794306 |
0.36 |
2.5800615220216E+15 |
0.13 |
18473889.09 |
|
18172203 |
0.17 |
3.3022896187321E+14 |
0.0277 |
3025671.8 |
|
15109953 |
0.34 |
2.2831067966221E+14 |
0.11 |
5123785.06 |
|
56703043 |
0.35 |
3.2152350854598E+15 |
0.12 |
20016174.18 |
|
18108216 |
0.27 |
3.2790748670266E+14 |
0.0749 |
4956218.72 |
|
41369543 |
0.42 |
1.7114390880288E+15 |
0.17 |
17284195.07 |
|
33895473 |
0.29 |
1.1489030898937E+15 |
0.0867 |
9982216.8 |
|
19791497 |
0.4 |
3.9170335350101E+14 |
0.16 |
8007639.69 |
|
35002926 |
0.33 |
1.2252048285615E+15 |
0.11 |
11417954.46 |
|
25963338 |
0.44 |
6.7409492010224E+14 |
0.19 |
11434254.06 |
|
15922391 |
0.22 |
2.5352253515688E+14 |
0.0495 |
3542732 |
|
386938008 |
4.58 |
1.3855347726526E+16 |
1.58 |
134817795.02 |
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
В нашем примере связь между признаком Y фактором X умеренная и прямая.
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.000668 x + 1162.5
Коэффициент регрессии b = 0.000668 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.000668. В нашем примере связь прямая.
. Коэффициент эластичности.
Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.
Коэффициент эластичности находится по формуле:
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
Бета – коэффициент
Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к увеличению среднего значения Y на 0.49 среднеквадратичного отклонения Sy.
Ошибка аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
Эмпирическое корреляционное отношение.
где
Индекс корреляции.
Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = 0.49.
Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:
Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.
Коэффициент детерминации.
R2= 0.492 = 0.2437
т.е. в 24.37 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 75.63 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).