- •Оглавление
- •57 58 Задача Больца и Майера
- •32 65 67 Уравнение Риккати. Пример
- •31 Расчет оптимальных параметров регулятора по уравнениям Риккати.
- •16. Уравнение Эйлера для многих функций и их первых производных.
- •39. Уравнение Эйлера.
- •14 41 Представление уравнений Эйлера для частных случаев.
- •13. 40 Уравнение Эйлера в развернутом виде.
- •46. Уравнение Эйлера для n – функций и их n первых производных.
- •9. Определение свойств уравнения Эйлера.
- •51. Задача Лагранжа. Синтез оптимальных систем.
- •61. Метод множителей Лагранжа.
- •18. Задача Лагранжа на условный экстремум при конечных связях.
- •49. Система уравнений Эйлера – Лагранжа при конечных связях.
- •19. Задача Лагранжа на условный экстремум при дифференциальных связях.
- •50. Система уравнений Эйлера – Лагранжа при дифференциальных связях.
- •17 47. Уравнение Эйлера - Пуассона.
- •1. Математическая постановка задачи оптимального управления.
- •2. Критерии качества.
- •60. Критерии качества методов оптимизации.
- •4. 69 Квадратичный критерий оптимизации.
- •5. 70 Задача оптимизации систем управления по расходу топлива
- •10. Функции близкие по ординате и производной
- •11. Исследование функционалов с закрепленными и подвижными границами.
- •12. 43 Определение условия трансверсальности.
- •15. 45 Определение теоремы Лежандра.
- •20. Области оптимального управления
- •21. 22 Определите гамильтониан
- •25. Теорема обn-интервалах
- •27. 64 Принцип оптимальности.
- •29. Постановка задачи аналитического конструирования регулятора.
- •30. Задача а. М. Лётова
- •33. Математическая задача определения параметров оптимальной настройки системы.
- •35. Оптимальное управление, обеспечивающее оптимальную стабилизацию режима работы объекта.
- •44. Задача о брахистохроне.
- •57. Задача Майера.
- •24 66. Системы, оптимальные по быстродействию.
- •3 68. Допустимое управление.
- •6.Определение функционала как переменной величины.
- •8. 38 Сравнительный анализ функции и функционалов.
- •1.2 . Различные виды функционалов
- •37. Формы аналитического выражения функционала.
- •7.Определение методов вариационного исчисления по исследованию функционалов на экстремум.
- •10. Функции близкие по ординате и производной
- •23. Теорема Понтрягина
- •63.Принцип максимума Понтрягина.
- •26. Постановка задачи. Постановка задачи оптимального управления.
- •28. Уравнение Беллмана.
- •62.Метод динамического программирования Беллмана.
- •34. Оптимизация типовых объектов из условия минимума квадратичного функционала.
- •36. Задача вариационного исчисления.
- •42. Граничные условия в задачах вариационного исчисления.
- •48. Вариационные задачи на условный экстремум.
- •59. Вариационная задача оптимизации при ограничениях на управление
- •1.2 . Различные виды функционалов
- •1.3 . Задача оптимального управления
- •52. Изопериметрические вариационные задачи.
- •53. Синтез оптимальных систем при изопериметрических связях.
- •54. Изопериметрическая задача. Оптимальная система по экономичности.
- •55. Изопериметрическая задача. Оптимальная система по быстродействию.
- •56. Изопериметрическая задача. Оптимальная система по производительности.
31 Расчет оптимальных параметров регулятора по уравнениям Риккати.
В инженерной практике часто ставится задача определения оптимальных значений параметров системы, структура и дифференциальные уравнения которой заданы Такая задача обычно решается при расчете параметров оптимальной настройки регуляторов. При этом могут быть использованы уравнения Эйлера-Лагранжа (или Эйлера-Пуассона), уравнения Риккати, а также частотные методы и др
Математически задачу определения параметров оптимальной настройки системы можно сформулировать следующим образом: заданы дифференциальные уравнения состояния системы
(3.186)
матрица, элементы которой зависят от искомых параметров настройки системы (kij>0,aij,bij– коэффициенты уравнения объекта);X,u– векторы координат состояния и управлений;
Требуется определить оптимальные значения параметров системы из условий экстремума выбранного критерия качества.
В ряде практических задач коэффициенты aij,bijзаданы и требуется определить коэффициентыkij.
Если рассматривается критерий качества в виде интеграла с квадратичной подинтегральной функцией, то для определения искомыхkij можно использовать уравнения вариационной задачи или Риккати.
Расчет по уравнениям Риккати. Матрицу оптимальных параметров регулятора . с можно определить по заданным уравнениям состояния (3.186) с использованием матричного уравнения Риккати. основываясь на методе принципа максимума Для линейных объектов уравнение (3.114) можно записать в виде (3.186), а минимизируемый квадратичный функционал в общем случае представить в виде
(3.194)
Где Q={qij}nxnи R={rlk}rxr– матрицы элементы которыхqij>0 иrlk>0
Известно, что вектор координат оптимальных управлений, доставляющих минимум интегралу 3.194 является линейной функцией координат состояния 3.186.
Функция гаамильтона в данном случае при ψ0 =-1 будет иметь вид
(3.195)
При оптимальном управлении
или
Откуда оптимальное управление
(3.196)
Управление 3.196 обеспечивает максимум Гамильтониана 3.195, так как при положительно определенной матрице R
Используя 3.195 и 3.196 запишем канонические уравнения
(3.197)
Для оптимального управления 3.196 необходимо из уравнений 3.197 найти вектор вспомогательных функций Wс помощью уравнения Риккати:
(3.198)
Дифференцируя которое, найдем
(3.199)
Где K(t) – матрица неизвестных коэффициентов размерностиnxn
Подставив 3.198 в уравнения системы 3.197 получим
(3.200)
Если подставить в 3.199 вместо X’ первое уравнение системы 3.200 то запишем:
(3.202)
Называемое уравнением Риккати. Решение уравнения 3.202 определяет матрицу K(t), подставляя в которую 3.198 и учитывая 3.196 получим выражение для оптимального управления
(3.203)
Для полносью управляемых объектов с постоянными во времени параметрами при tk=T=бесконечности (см.3.194)K’(t)=0 и, поэтому оптмальное управление принимает форму
(3.204)
Откуда
(3.205)
Где - положительно определенная симметричная матрица размерностиnxn, состоящяя из постоянных коэффициентовkij>=0, определяемая уравнение 3.202 с учетом
(3.206)
Оптимальное управление (3 204) минимизирует квадратичный функционал (3.194) для объектов с постоянными параметрами и tk=T=бесконечности.
Таким образом, для определения оптимальных параметров регулятора необходимо найти матрицу К(с шапочкой) и подставить в (3.205). Для объектов с переменными параметрами, а также с постоянными параметрами при конечной величине tk=Tнеобходимо определять матрицу K(t). Основная трудность решения такой задачи состоит в том. что уравнение (3.202) является нелинейным дифференциальным матричным уравнением, для интегрирования которого требуется применение вычислительных машин. В этом случае регулятор будет иметь переменные параметры, т.е Кос(t)