15. 45 Определение теоремы Лежандра.

Второе необходимое условие экстремума (условие Лежандра)

Исследуем на экстремум (максимум или минимум) функционал

теорема Лежандра, выражает второе необходимое условие экстремума: для того чтобы функционал (2.1.1) в задаче с закрепленными границами достигал на кривой x1(t)  минимума (максимума), необходимо, чтобы вдоль этой кривой выполнялось условие

Пример 2.1.4. Исследуем, выполняется ли это условие для экстремалей (2.1.14) функционала (2.1.12).

Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае

и, следовательно, на кривых (2 1 14) функционал (2 1.12) достигает минимума.

20. Области оптимального управления

21. 22 Определите гамильтониан

Гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем.

Г. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала

при дифференциальных связях 

при заданных граничных условиях и ограничении на управление Здесь есть n-мерный вектор фазовых координат, - m-мерный вектор управления, U - замкнутое множество допустимых значений управления и.  Г. ф. в этой задаче имеет вид 

где - сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы). Если есть минимум в поставленной задаче и (тогда можно считать равным -1), то где

Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде 

Оптимальное управление при каждом t должно доставлять максимум Г. ф.:

25. Теорема обn-интервалах

частный случай задачи об оптимальном быстродействии, когда уравнения объекта линейны и имеют вид

(2.1)

В этом случае функция

(2.2)

Сопряженная система записывается так:

(2.3)

Пример 2. Пусть объект управления описывается уравнением

(2.8)

Требуется определить функцию управления u(t), удовлетворяющую неравенству , которое переводит этот объект из состояния

(2.9)

в нулевое положение

(2.10)

за минимальное время.

Вводя обозначения, запишем уравнение объекта в форме

(2.11)

Функция

(2.12)

а сопряженная система (2.3) имеет вид

(2.13)

Из (2.12) заключаем, что искомое оптимальное управление имеет вид

(2.14)

Разрешая последнюю систему трех уравнений относительно ψ₃, получим дифференциальное уравнение

(2.15)

для определения функции ψ₃(t).

Теорема об n-интервалах.

каждая из компонент оптимального управления представляет собой кусочно-постоянную функцию, точками разрыва которой являются точки обращения в нуль функции

На рис. 2 приведен график изменения во времени одной из этих функций.

Рисунок 2 – График изменения во времени функции

Каждую точку разрыва оптимального управления будем называть точкой переключения. Число переключений каждого из управлений  определяется числом нулей функции и может быть очень большим. Существует, однако, один важный случай, когда число переключений этих управлений допускает точную оценку.

Этот случай составляет содержание теоремы об n-интервалах.

Теорема 1 ( об n-интервалах). Если корни характеристического уравнения объекта (2.1) действительны, то число переключений каждого из управлений u₁(t),…,u_m(t)   не превышает n-1.

При доказательстве теоремы ограничимся для простоты случаем n=3,m=1. Кроме того, будем полагать, что объект управления описывается системой (2.11), при этом корни уравнения объекта (2.11) попарно различны. Однако приводимое ниже доказательство полностью повторяется для общего случая, описанного теоремой.

Обозначим через –— корни характеристического уравнения объекта. Тогда очевидно, что корни характеристического полинома уравнения (2.15) равны  и, следовательно, функция ψ₃(t) являющаяся решением этого уравнения, имеет вид

(2.16)

где k₁, k₂, k₃— постоянные интегрирования.

Поскольку число корней (нулей) функции ψ₃(t)  определяет число переключений оптимального управления, то теорема 1 будет доказана, если справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Если  попарно различные действительные числа, то функция (2.16) не может иметь более двух действительных корней. Доказательство. При n=1 утверждение справедливо (уравнение не имеет действительных корней). Предположим, что утверждение доказано для случая, когда в(2.16) имеется лишь два слагаемых, и докажем ее для трех слагаемых.

Допустим противное, что функция (2.16) имеет не менее трех действительных корней. Умножив ее на , получим функцию

(2.17)

которая также имеет не менее трех действительных корней. Из математического анализа (теорема Ролля) следует, что между двумя действительными корнями функции лежит по крайней мере один корень ее производной.

Следовательно, производная функции (2.17) имеет не менее двух действительных корней. С другой стороны, эта производная определяется выражением

(2.18)

в которой числа и попарно различны, и, следовательно, она имеет не более одного действительного корня (выше полагалось, что утверждение доказано для случая, когда (2.16) содержит менее трех слагаемых). Полученное противоречие доказывает утверждение и теорему 1.