15.2 Сигналдардың корреляциялық функцияларын анықтау

Корреляциялық функцияларын бағалау үшін тәжірибелерді көп мөлшерде өткізіп, оның әрқайсысында кездейсоқ функциялардың жүзеге асыруларын жазып, содан кейін әр t кесіндісінде кездейсоқ функцияның орта мәнін анықтау керек. Басқа сөзбен айтқанда, жүзеге асырулар бойынша орта мәнді анықтау қажет.

Кездейсоқ сигналдардың статистикалық сипаттамаларын бірнеше емес, жалғыз тәжірибеден анықтаған, басқа сөзбен айтқанда, [0, T] уақыт аралығындағы орта мәнін табу ыңғайлы болар еді.

         Уақыт бойынша орта мәні жиынтық бойынша орта мәнімен бірдей болатын қасиеті бар стационарлы кездейсоқ функция эргодикалық функция деп аталады (математикалық күтім немесе корреляция функциясы бойынша). Эргодикалық гипотезасы ансамбль бойынша орталандыруды уақыт бойынша алынған жалғыз іске асыру бойынша орталандырумен алмастыруға мүмкіндік береді.

         Уақыттың екі  t₁ және t₂ = t₁ + τмоменттеріндегі кездейсоқ процестің екі мәнінің орта шамасыкорреляциялық (кей-кездеавтокоррреляциялық) функция деп аталады. Стационарлы кездейсоқ процесс үшін корреляциялық функция тек қана τ = t₂ - t₁шамасынан тәуелді болады

                                    (15.2)

         сонымен бірге R_xx(τ) = R_xx(-τ) .

Корреляциялық функция кездейсоқ процестің әртүрлі уақыт моменттеріндегі мәндерінің арасындағы байланысты сипаттайды. Уақыт интервалы τ өскен сайын корреляциялық функция кемиді – кездейсоқ процестің бір-бірінен уақыт бойынша алыс орнатылған мәндері арасындағы байланыс кемиді. τ = 0 (t₁ = t₂) болғанда орталықтанған кездейсоқ процесс үшін корреляциялық функцияның мәні дисперсиясына тең.

Уақыттың екі  t₁ және t₂ = t₁ +τ моменттеріндегі екі кездейсоқ процестерінің мәндерінің орта шамасы өзара корреляциялықфункция деп аталады. Стационарлы кездейсоқ процесс үшін корреляциялық функция тек қана τ = t₂ - t₁ шамасынан тәуелді болады

                  (15.3)

Өзара корреляциялық функция екі кездейсоқ процестерінің әртүрлі уақыт моменттеріндегі мәндерінің арасындағы байланысты сипаттайды. Уақыт интервалы τ өскен сайын өзара корреляциялық функциясының да мәндері кемиді.

         Өлшеулердің көлемі шектелген болғандықтан, бұл функциялардың орнына олардың келесідей бағалары қолданылады

                           (15.4)

мұнда 0≤τ≤T_R, уақыт периоды T_R келесі шарттан анықталады: τ > T_R болғанда корреляциялық функция берілген диапазоннан (әдетте 5%) шықпайды:

                  │R(τ )│ ≤ 0.05R_max (5% кем корреляцияны есепке алмауға болады).

Әрине, T_R мәні R_xx(τ) мен R_xy(τ) үшін әртүрлі болады. Бірақ бізге объекттің динамикалық сипаттамалары керек, ал олар  R_xy(τ) функциясында көрсетіледі, сондықтан T_R =T_Rxy деп алуға болады.        Сонымен, бастапқы ақпарат келесі корреляциялық функцияларына түрленеді: < , , 0≤τ≤T_R>.

Компьютерлер көмегімен есептеулерді өткізгенде T интервалы ұзындығы ∆t болатын N тең бөлшектерге бөлінеді, τ және t дискретті мәндерді (∆t-ға еселі) қабылдайды

τ = k·∆t  k = 0,1,2,3…, t = k_t  ·∆, k_t =1,2,3…

Онда интегралды келесі жуықтаған қосындымен алмастыруға болады

        

Келесі формула жиі қолданылады

                    (15.5)

k=0,1,…, N, – ығысу интервалы(k=0, …, N-1), N – корреляциялық функцияның өлшенетін координаталар саны, x –интервалдағы x-тің орта мәні.

(15.5) бойынша корреляциялық функцияны анықтаудың дәлдігі бақылау T интервалының ұзындығымен, корреляцияның τ_maxмаксималды уақыт мәнімен, уақыт бойынша дискреттеудің ∆t қадамымен, 0<=τ<=τ_maxинтервалында анықталатын корреляциялық функцияның ординаталары санымен анықталады. Корреляцияның максималды уақыт мәні деп келесі шартты  |R(τ)|<= 0,05·R_max қанағаттыратын τ мәнін түсінеміз.

         Корреляциялық функцияны анықтаудың жалпы сұлбасы:

1.     Зерттелетін кездейсоқ процестердің іске асырулары орталықтанады.

2.     Алдын ала жиілік анализ өткізіледі. Оның нәтижесінде зерттелетін сигналдардағы жоғарғы f_max және төменгі f_minгармоникалары бағаланады.

3.     Сигналдың корреляциялануының максималды уақыты анықталады:

                                    τ_max=

Корреляциялық функцияны қажетті дәлдікпен есептеу интервалы таңдалынады. Мысалы, кездейсоқ процестің орталықтанған іске асырулары үшін корреляциялық функцияны 2% дәлдігімен анықтау үшін T ≈16· τ_max деп аламыз.

Котельников теоремасы негізінде уақыт бойынша дискреттеу қадамы таңдалынады: ∆t  <= .Дискреттеудің деңгейлер саны таңдалынады. 2% дәлдік үшін - 14 деңгей.

4.     Есептелінетін координаттар саны анықталады:  N=.

5.      (15.5) алгоритмі бойынша есептеулер өткізіледі.