12 Дәріс. Сызықты динамикалық объекттерді идентификациялау. Тура әдістері

 

Дәрістің мазмұны:

-   сызықты объекттерді идентификациялау әдістері;  арнайы түрдегі сигналдар көмегімен идентификациялау.

 

Дәрістің мақсаты:

-   өтпелі функция көмегімен сызықты объекттерді идентификациялау әдістерін оқып білу.

 

Сызықты болатын немесе жеткілікті дәлдікпен сызықты модельдермен аппроксимацияланатын объекттерді идентификациялау әдістерін қарастырамыз.

Сызықты объекттің динамикалық сипаттамаларын тәжірибелі жолмен анықтау әдістерін үш негізгі топтарға бөлуге болады.

Тура әдістер деп аталатын әдістері бірінші топты құрастырады. Бұл топтың әдістерімен келесідей сипаттамалар анықталады: жиілік аймағында – амплитудалық және фазалық сипаттамалары, уақыт аймағында – импульсті өтпелі және өтпелі функциялары. Бұл топтың әдістері объект кірісіне арнайы сигналдарды беруді талап етеді, кей кезде оны жасау мүмкін емес немесе рұқсат етілмейді.

Белгілі құрылымы бар модельдердің параметрлерін қалпына келтіру әдістері екінші топты құрастырады.

Объекттің белгісіз динамикалық сипаттамаларын объект туралы бар болатын априорлы ақпарат негізінде таңдалынатын аналитикалық өрнектермен аппроксимациялауда негізделген әдістері үшінші топтың әдістері болып табылады.

 

12.1 Динамикалық сипаттамаларды тура әдістермен анықтау

 Тура әдістерде идентификациялау арнайы түрдегі сигналдар көмегімен орындалады. Басқару жүйелерде іске асырылған бірінші әдістері жиілік, сатылық және импульсті әсерлерді қолданумен орындалды. Осы әдістердің көбісі тек қана сызықты жүйелерге қолданылады. Егер сигналдар деңгейлері кішкене шамалар болса, олар сызықтандырылған жүйелерге де қолдануы мүмкін.  Бұл әдістер арнайы сигналдарды талап етеді: өтпелі функция (сатылы өтпелі функция) бойынша идентификациялау үшін сатылы сигналдарды, импульсті өтпелі функциямен идентификациялау үшін кірісте импульсты сигналдарды  және жиілік сипаттамаларды анықтау үшін әртүрлі жиіліктердегі синустық кірістегі сигналдарды.

Объекттің әдеттегідей кірістегі сигналдардың орнына айтылған арнайы сигналдары қолданылатын болғандықтан, бұл әдістер идентификацияны, әрине, басқару процесінен тыс кезде өткізілетінін талап етеді. Сондықтан бұл әдістер тек қана сызықты стационарлы жүйелерге қолданылады, себебі осындай жүйелерде кіріс сигналдардың бір түріне алынған кіріс/шығыс қатынасы  басқа түрдегі кіріс сигналдарына да сақталады.

Аталған кіріс сигналдарының үшеуінің ішінде сатылы кіріс сигналы қолдануға ең қарапайым болып табылады, ал синусоидалдық сигналдарды кіріске беру синусоидалдық әсерлерді жасап, жиілікті сәйкес диапазонда өзгерту керек. Импульсті әсер бойынша идентификациялау үшін импульсті кіріс сигналын жасап, қолдануымен байланысты техникалық қиындықтар пайда болады. Бұл әдісті сызықтандырылған жүйелерге қолдануға болмайды, себебі анықтама бойынша импулс амплитудасы кіші шама бола алмайды.

 

12.2 Өтпелі функция бойынша идентификациялау

         Идентификациялау кезде қолданылатын қарапайым кіріс сигналы сатылы сигнал болып табылады. Осындай сигнал жүйе кірісінде, мысалы, кіріс клапанды кенет ашу (жабу), басқару кернеуді қосу (өшіру), т.б. жолдарымен орнатылады, сонымен бірге олардың барлығын арнайы аппаратураны қолданбай орнатуға болады.  Идеалды сатылы сигналдың өсу уақыты нөлге тең, бірақ мұны физикалық іске асыру мүмкін емес, себебі ол кезде өсу жылдамдылығы шексіз үлкен шама болуы керек. Сондықтан кез келген нақты сатылы сигнал идеалды сатылы сигналының тек қана аппроксимациясы болады. Бірақ, егер де сигналдың өсу уақыты жоғарғы гармониканың периодынан әлдеқандай кіші болса, идентификациялау қателігі кіші шама болады. Бөгеттері бар процестерде немесе өлшеулерге шулар әсер еткен болса, шуларға фильтрлеу процедурасын қолдану қажет.

Өтпелі процесс көмегімен идентификациялау басқару процесінен тыс автономды орындалады, сондықтан тек қана стационарлы процестерге қолданылады. Бірақ сатылы әсерлер жүйелерді жұмысқа қосқанда және де олардың әдеттегідей жұмыс кезінде де көп деген жүйелерге әсер ететін болғандықтан, жүйе жұмысын бұзбай өтпелі функцияларды жазып алуға болады. Осында қарастырып отырған әдістің артықшылығы болады. Сонымен бірге, жүйе стационарлы деп есептеу керек, себебі идентификациялау нәтижелері сатылы сигналды қолданғаннан да кейін дәл болады деп есептелінеді. Сонымен бірге сатылы сигналдың амплитудалары диапазонында жүйе сызықты деп есептелінеді.

Сонымен, жүйенің беріліс функциясын анықтау үшін оның өтпелі функциясының графигін қолданамыз. Осындай әдісті сызықты жүйелердің көбісіне (1 және 2 ретті және жоғарғы дәрежелі апериодтық жүйелерге) қолдануға болады. Өтпелі функциялар көмегімен графикалық идентификациялау әдісті бірінші ретті процестерге қолданғанда дәлдігі жоғарырақ болады.

Өтпелі процестің графигі берілген болсын. t₀=0 уақыт моментінде  x шамасы секіру жолымен а шамасына өзгереді. Объект теңдеуін жазу керек. Ізделінетін теңдеудің түрі бірінші ретті объект үшін келесідей болады

                               немесе   .                                 (12.1)

Теңдеудің T және k параметрлерін анықтау керек.

Осы параметрлерді анықтаудың бірнеше әдісін қарастырайық:

а) біріншіден берілген бастапқы шарттарда теңдеудің аналитикалық шешімін табамыз. Осы шешімге T және k параметрлері кіреді. Графикалық және аналитикалық шешімдерді салыстырып, шешімнің аналитикалық өрнегінің парметрлерін табамыз. Бастапқы шарттар: t=0 болғанда  y=0 және t>0 болғанда x=a үшін теңдеудің жалпы шешімінің өрнегі келесі түрде жазылады:

                                                         (12.2)

Графикте екі нүктені алайық (бұл жеткілікті). Осы нүктелердің координаттарын шешім өрнегіне қойып, екі T және k белгісіздерді анықтау үшін екі теңдеуді аламыз:

Бірақ бұл теңдеулер трансцендентті, сондықтан олардан T және k мәндерін есептеу өте қиын.  Алынған шешімнің дәлдігі төмен, себебі графиктің тек қана екі нүктесі қолданылды;

б) дәлдігі жоғарырақ шешімді алу үшін графикті ∆t қадамымен y₁, y₂ , y₃,…ординаталарға бөлеміз. Алынған нүктелер үшін, жалпы шешімді қолданып, келесіні жазуға болады

         

т.с.

Келесіні есептейміз

 т.с.                                                             

e  деп белгіліп, келесіні жазамыз

,  , т.с.

Сонымен бірге

    және  т.с.

q мәндеріндегі айырмашылықтар тәжірибе және y(t) мәндерін анықтаудың қателіктерімен байланысты. Алынған q_i мәндерінің орта арифметикалық  мәнін есептеп, уақыт тұрақтысын келесі өрнектен  нақтылауымызға болады:

Сол сияқты, келесілерді есептеп

   және  т.с.,

нақтыланған k_орта мәнін анықтаймыз;

в) практикада жиі қолданылатын келесі қарапайым әдіс.

t ∞-ке ұмтылған жағдайда y(t) = k*a болады, яғни асимптота ординатасы бойынша  (асимптота ординатасы K=ka) k мәнін анықтауға болады. k коэффициенті шығудағы сигналдың тұрақталған мәнімен кірудегі сигналдың амплитудасы арасындағы қатынасты көрсетеді.

t = T   болғанда, функция

y (t)=b· = b· (1-e^-1) = b· (1-0.37) = 0.63·b.

Сонымен, бірінші ретті жүйенің өтпелі функциясы өзінің тұрақталған мәнінің 63% жеткендегі уақыт бөлігі жүйенің T уақыт тұрақтысы болады. Графикте өтпелі процестің тұрақтанған шамасының 63% белгілеп, осы нүктенің абсциссаның табамыз (Т параметрін).

г) Т тұрақтыны келесі жолмен де анықтауға болады. Шешімді дифференциалдап, t мәнін 0-ге ұмтылдырамыз, сонда

,                              (12.6)

мұнда α шамасы t = 0 болған кездегі функция графигіне жанаманың көлбеу бұрышы. Сонда T=.  Сонымен, T шамасы  - координаттар басынан жанама асимптотамен қиылысатын нүктеге дейінгі уақыт өсінің кесіндісі.

Бұл ең қарапайым, бірақ дәлдігі төмен шешім. Себебі жанаманы дәл өткізу және асимптотаның b ординатасын дәл анықтау өте қиын. Сонымен бірге, шешім графиктің тек қана бастапқы және соңғы нүктелерін қолданады.

         Егер де өтпелі функция τ уақытысына кешіксе, яғни сатылы әсерді бергеннен кейін τ уақытысы бойынша нөлге тең болса, онда жүйенің уақыттық кешігуі бар, ол үшін Лаплас түрлендіруі e^-τs шамасы болады.

Сонда өтпелі функция келесі өрнектермен жазылады

                      (12.7)     

Ал беріліс функцияны келесі түрде аламыз .