Задачи для самостоятельного решения:

14.1 Постойте полигон относительных частот по данному распределению выборки и функцию распределения:

а) б)

	2	4	5	7	10			1	4	5	8	9
	0,15	0,2	0,1	0,1	0,45			0,2	0,2	0,3	0,2	0,1

14.2 Постойте гистограмму относительных частот по данному распределению выборки и функцию распределения:

интервалы
	0,15	0,2	0,5	0,1	0,05

14.3 В результате опроса 20-ти потенциальных потребителей некоторого товара о размере максимально допустимой для них цены на этот товар были получены следующие данные: 40, 25, 30, 50, 35, 20, 50, 32, 15, 40, 20, 40, 45, 30, 50, 25, 35, 20, 35, 40 (цены в рублях). Получите оценку функции спроса. Пусть расходы на изготовление единицы товара равны 10 руб. По какой цене продавать этот товар (в предположении, что производитель товара – монополист на рынке)?

Тема 2: статистические оценки параметров

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистической оценкой неизвестного параметрагенеральной совокупности называют функциюот наблюдаемых случайных величин.

Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. Способ оценивания - это общее правило (функция ), а значение оценки – это конкретное число, которое меняется от выборки к выборке (значение функции), т. е. значения оценокпредставляют собой наблюдаемые значения случайной величины. Значение оценки лишь по случайному совпадению может совпасть с оцениваемой характеристикой генеральной совокупности, обычно присутствует определённая ошибка. Для того чтобы оценка была «наилучшей», желательно, чтобы она удовлетворяла требованиям несмещённости, состоятельности и эффективности.

Оценка неизвестного параметрагенеральной совокупности называетсянесмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру: . В противном случае оценка называетсясмещённой. Требование несмещённости гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка неизвестного параметраназываетсясостоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

или .

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объёма выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании.

Несмещённая оценка параметраназываетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объёма.

Для генеральной совокупности обычно оценивают такие параметры распределения как вероятность биномиального распределения, математическое ожидание количественного признака (генеральную среднюю), дисперсию. Оценки различаются в зависимости от способа отбора объектов в выборку, от вида распределения количественного признака.

Утверждение 1. Несмещённой и состоятельной оценкой вероятности биномиального распределения (генеральной доли) для повторной выборки является выборочная доля:, причём её дисперсия равна:, где.

Утверждение 2. Несмещённой и состоятельной оценкой вероятности биномиального распределения (генеральной доли) для бесповторной выборки является выборочная доля:, причём её дисперсия равна:, где.

Утверждение 3. Несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания количественного признака (генеральной

средней ) является выборочная средняя:

.

Утверждение 4. Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок является смещённой и состоятельной оценкой генеральной дисперсии. Несмещённой оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

, где .

Однако точечная оценка является лишь приближённым значением неизвестного параметрадаже в том случае, если она несмещённая, состоятельная и эффективная и для выборки малого объёма может существенно отличаться от. Чтобы получить представление о точности и надёжности оценкипараметра, используют интервальное оценивание.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, который с заданной надёжностьюγ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой математического ожидания (генеральной средней) нормально распределённого количественного признака X:

• при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал:

,

где n – объём выборки, t – значение аргумента функции Лапласа , при котором(1+γ)/2 (см. Приложение 2);

• при неизвестном служит доверительный интервал:

,

где - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение,- находят по таблице:

Таблица значений при уровне значимости:

n	5	6	7	8	9	10	11
t	2,78	2,57	2,45	2,37	2,31	2,26	2,23
n	12	13	14	15	16	17	18
t	2,20	2,18	2,16	2,15	2,13	2,12	2,11
n	19	20	25	30	35	40	45
t	2,10	2,093	2,064	2,045	2,032	2,023	2,016
n	50	60	70	80	90	100	120
t	2,009	2,001	1,996	1,991	1,987	1,984	1,980

При n>120 значения можно вычислять по формуле:

, где .

Интервальной оценкой неизвестной вероятности p биномиального распределения с надёжностью служит доверительный интервал:, где

,

,

где n – объём выборки, t – значение аргумента функции Лапласа

, при котором (см. Приложение 2),- относительная частота.

При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближённых границ доверительного интервала:

; .

Пример 15.1 Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n = 50:

	2	5	7	10
	16	12	8	14

Найдите несмещённую оценку генеральной средней.

Решение: Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя, которая вычисляется по формуле:

. Вычислим для данных задачи:

■

Выборочную среднюю и дисперсию признака можно вычислить с помощью статистических функций в EXCEL:

СРЗНАЧ(число1; число2; …) – возвращает среднее арифметическое своих аргументов;

ДИСП(число1; число2; …) – оценивает дисперсию по выборке.

Пример 15.2 Найдите исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объёма n = 20:

	0,1	0,5	0,7	0,9
	6	12	1	1

Решение: Сначала найдём выборочную дисперсию по формуле: =0,049875. Затем «исправим» её, домножив на коэффициент n/(n-1). Исправленная дисперсия: =0,0525.

■

Пример 15.3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n =10:

	-2	1	2	3	4	5
	2	1	2	2	2	1

Оцените с надёжностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение: Найдём выборочную среднюю: =2.

Найдём исправленное среднее квадратическое отклонение:

=2,4. Найдём при уровне значимостипо таблице на стр.159: приn =10 значение t=2,26. Следовательно, подставляя в формулу значения=2,=2,4,t=2,26 и n =10, получим искомый доверительный интервал:

.

■

Пример 15.4 Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причём выигрыш появился 5 раз. Найдите доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надёжностью .

Решение: Найдём относительную частоту выигрыша: =

=0,0125. Найдём t из соотношения: =. По таблице функции Лапласа (см. Приложение №2) находимt=1,96.

Учитывая, что n=400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближённые формулы:

==. Итак, искомый доверительный интервал:

.

■