1.2. Средние величины и показатели вариации.

Средние величины.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности.

Средние, применяемые в статистике, относятся к виду степенных средних и к виду структурных средних.

Представителями первого вида являются средняя арифметическая ():

(1.3)

где: Х - значение варианта признака; m - частота признака;

и средняя гармоническая ():

(1.4)

Критерием правильности выбора вида средней является исходное соотношение. Если имеющаяся информация такова, что в нем необходимо рассчитать числитель - применяется средняя арифметическая, а если необходимо рассчитать знаменатель, то применяется средняя гармоническая. Пример такого соотношения:

Средний Суммарный возраст всех станков

возраст =

станков Число станков

Структурными средними являются мода и медиана.

Модой в статистике называется величина варианты, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Для дискретного ряда она очевидна и не нуждается в расчете, а для интервального вариационного ряда вычисляется по формуле:

(1.5)

где: М_о - значение моды; Х_Мс - начало модального интервала; i_Мо - величина модального интервала; m_Мо, _mМо-1, m_Мо+1 - частота модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине упорядоченного (ранжированного) ряда.

Значение медианы для дискретного вариационного ряда:

где: S_Мe - накопленная частота, соответствующая медианной варианте.

Значение медианы для интервального вариационного ряда:

(1.6)

где: М_е - медиана; Х_ме - начало медианного интервала; i_Ме - величина медианного интервала; S_ме-1 - накопленная частота предмедианного интервала; m_Ме - частота медианного интервала.

Показатели вариации.

Средняя величина показывая то общее, что есть в каждом индивидуальном значении варьирующего признака, ничего не говорит о колебаниях, которым подвержен признак. Эти колебания в статистике измеряются следующими показателями.

Размах вариации ( R ):

(1.7)

Среднее линейное отклонение ( d ):

(1.8)

Дисперсия ( ² ) :

(1.9)

Среднее квадратическое отклонение:

(1.10)

Приведенные четыре показателя дают абсолютные величины вариации признака.

Коэффициент вариации ( V ) дает относительную величину вариации, что позволяет сравнивать по этому показателю качественно разнородные совокупности.

(1.11)

Для качественных альтернативных признаков величина дисперсии ( ² ) определяется так:

(1.12)

где: p и q - относительные частоты альтернативных признаков.

1.3. Взаимосвязь явлений.

Метод параллельных рядов. Заключается в том, что социально-экономические показатели, связь которых определяется существом отражаемых ими явлений, располагаются двумя параллельными рядами, причем ряд факторного признака ранжируется ( т.е. располагается в порядке возрастания или убывания величин). Путем сравнения таких рядов, выявляется характер и направление связи.

Балансовый метод. Сущность его заключается в характеристике ресурсов изучаемого явления и их распределения.

Метод аналитических группировок. В основу группировки кладется факторный признак. Затем для каждой группы рассчитываются средние значения результативного признака и прослеживается, какое влияние оказывает изменение факторного признака на результативный.

Метод корреляционной таблицы. Если в методе аналитических группировок применяется распределение только факторного признака, то корреляционная таблица охватывает два ряда распределения - кроме распределения факторного признака еще и распределение результативного признака. Особенностью установления связи между признаками с помощью корреляционной таблицы является возможность оценки интенсивности связи.

Метод корреляционно-регрессионного анализа. Рассмотренные выше методы установления взаимосвязи явлений не дают аналитического выражения связи в виде математической формулы. Аналитическое выражение связи можно получить с помощью корреляционно-регрессионного метода. Он заключается в построении и анализе экономико-математической модели в виде уравнения регрессии (корреляции). Метод корреляционно-регрессионного анализа можно подразделить на следующие этапы: определение цели исследования; сбор социально-экономической информации; выбор формы связи признаков; нахождение параметров модели; анализ и интерпретация полученных результатов.

Построение уравнений регрессии.

Рассмотрим парную линейную зависимость признаков. Их статистическая связь выражается следующим уравнением регрессии:

(1.13)

где:- теоретическое (расчетное) значение результативного признака; Х - фактическое (эмпирическое) значение результативного признака; а_о и а₁ - параметры уравнения.

Задача сводится к нахождению параметров уравнения. Это производится методом наименьших квадратов, который дает следующую систему уравнений:

(1.14)

где: х и у - фактические значения факторного и результативного признаков соответственно; n - число пар данных.

Подставляя в нее эмпирические значения факторного и результативного признаков и решая ее, получим искомые значения а₀ и а₁.

С помощью метода наименьших квадратов находят параметры уравнений парной регрессии для нелинейной формы связи признаков и для уравнений множественной регрессии (когда в уравнении присутствуют несколько факторных признаков).

Измерение тесноты связи признаков.

При изучении корреляционно-регрессионной связи признаков возникает необходимость измерения тесноты их связи. Задача возникает в связи с тем, что на результативный признак кроме факторного веденного в уравнение, действуют и другие факторы. Сравнивая воздействие на результат различных факторов, можно отделить решающие факторы от второстепенных.

Для измерения тесноты связи признаков применяются следующие показатели.

Коэффициент Фехнера (К_ф). Основой его вычисления является учет направления отклонений от средней арифметической варианты каждого вариационного ряда и определение согласованности знаков этих отклонений для двух рядов, связь между которыми измеряется.

(1.15)

где: n_a - количество совпадений знаков; n_b - количество несовпадений знаков.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена (  ). Для его расчета вместо значений признаков исследуемых рядов проставляются их ранги.

(1.16)

где: d² - сумма квадратов разностей рангов факторного и результативного признаков; n - число пар наблюдений.

Коэффициент корреляции ( r ). Учитывает степень относительного влияния изменения одного признака на изменение другого.

(1.17)

или

(1.18)

Эта формула удобна для вычисления, при уже проведенных расчетах уравнения регрессии.

Коэффициент корреляции без искажений оценивает тесноту связи при ее линейной форме.

Диапазон изменения всех трех показателей тесноты связи: от -1,0 до +1,0.

Для измерения тесноты связи любой формы применяется показатель корреляционного отношения (  ).

(1.19)

Диапазон изменения  от 0 до +1,0.

В статистике принято считать связь слабой, если ее показатель меньше 0,3; средней - при показателе тесноты от 0,3 до 0,7 и тесной - при значении показателя более 0,7.

Экономическое истолкование регрессионных моделей.

Для экономического истолкования регрессионных моделей применяются функции абсолютной и относительной эластичности.

Функция абсолютной эластичности Q (X) определяется как частная производная уравнения регрессии (У) по соответствующей переменной, фактору (Х).

(1.20)

Ее экономический смысл: при изменении факторного признака Х на единицу при данном его уровне результативный признак изменяется на Q(X) единиц.

Функция относительной эластичности Е(Х) определяется как произведение Q(X) на соотношение , т.е.

(1.21)

Ее экономический смысл: при изменении факторного признака на 1% при данном его уровне результативный признак изменяется на Е(Х) %.