- •Определение случайного явления. Характерные черты случайных явлений
- •Опыт со случайным исходом. Случайные события. Примеры
- •Понятие вероятности. Достоверное и невозможное событие. Единицы измерения вероятности.
- •Пространство элементарных событий. Сумма и произведение событий. Несовместимые события.
- •Правила сложения вероятностей. Полная группа событий
- •Умножение. Условная вероятность. Вероятность только 1 из 3
- •Противоположное событие. Вероятность хотя бы одного события из нескольких возможных.
- •Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Пример
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Случайная величина. Примеры. Дискретные и непрерывные.
- •Закон распределения случайной велечины. Ф-я распр и ее св-ва.
- •Ряд распределения случайной вел-ны
- •Числовые хар-ки дискретных случайных велечин
- •Геометрическое распределение
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона. Элементы теории массового обсл. Простой поток.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Кривая распределения. Элемент вероятности.
- •Равномерное распределение непрерывной случайной величины.
- •Показательное распределение, его хар-ки, пример применения
- •Нормальное распределение, его плотность и кривая
- •Доверительный интервал. 3 сигма.
- •Центральная предельная теорема
- •Локальная теорема Муавра-лапласа
- •Интегральня теорема Муавра-Лапласа
-
Центральная предельная теорема
Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Классическая формулировка Ц.П.Т.
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание идисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть также.
Тогда
по распределению при ,
где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднеепервых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
по распределению при .
-
Локальная теорема Муавра-лапласа
Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа
Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то
где , c > 0, c — постоянная.
Приближённую формулу
-
Интегральня теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0<p<1, тогда для схемы Бернулли при n® Ґ для любых a и bсправедлива формула . Это означает, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу , где — функция Лапласа, , . |