6. Правила сложения вероятностей. Полная группа событий

рассмотрим лишь два события — А и В. Правило сложения вероятностей применяется для подсчета вероятности осуществления событий А или В, или их обоих сразу:

Р(А + В) = Р(А) + А(В) - Р(АВ).

Если события А и В несовместимы, то:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Так как события А и В — несовместимые, то они не могут произойти одновременно, значит:

Р(АВ) = 0.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

7. Умножение. Условная вероятность. Вероятность только 1 из 3

Это правило применяется, когда требуется найти вероятность того, что события А и В произойдут одновременно. Правило умножения вероятностей состоит в следующем:

Р (АВ ) = Р (А ) х Р (В/А ).

Если А и В независимы, то Р (В/А) = Р (В), и правило выглядит так:

Р (АВ ) = Р (А ) х Р (В ).

Рассмотрим два события — Е и F, которые происходят друг за другом. Р (Е) вероятность события Е. Отсюда возникают две альтернативные ситуации:

1. F от Е не зависит, и на вероятность события F не влияет то, произошло ли уже событие Е или нет.

2. Е и F — зависимы, т.е. вероятность события F зависит от того, произошло ли уже событие Е или нет. В этом случае вероятность события F называется условной. Вероятность F при условии, что Е произошло, обозначается так:

P(F при условии Е) или P(F/E).

Если Е и F независимы, тогда: Р (F при условии Е) = Р (F).

8. Противоположное событие. Вероятность хотя бы одного события из нескольких возможных.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

9. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Пример

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p). Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Задача

Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

Решение

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Ответ

10−7; 4 · 10−6; 0,1