- •Определение случайного явления. Характерные черты случайных явлений
- •Опыт со случайным исходом. Случайные события. Примеры
- •Понятие вероятности. Достоверное и невозможное событие. Единицы измерения вероятности.
- •Пространство элементарных событий. Сумма и произведение событий. Несовместимые события.
- •Правила сложения вероятностей. Полная группа событий
- •Умножение. Условная вероятность. Вероятность только 1 из 3
- •Противоположное событие. Вероятность хотя бы одного события из нескольких возможных.
- •Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Пример
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Случайная величина. Примеры. Дискретные и непрерывные.
- •Закон распределения случайной велечины. Ф-я распр и ее св-ва.
- •Ряд распределения случайной вел-ны
- •Числовые хар-ки дискретных случайных велечин
- •Геометрическое распределение
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона. Элементы теории массового обсл. Простой поток.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Кривая распределения. Элемент вероятности.
- •Равномерное распределение непрерывной случайной величины.
- •Показательное распределение, его хар-ки, пример применения
- •Нормальное распределение, его плотность и кривая
- •Доверительный интервал. 3 сигма.
- •Центральная предельная теорема
- •Локальная теорема Муавра-лапласа
- •Интегральня теорема Муавра-Лапласа
-
Геометрическое распределение
Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».
Определение
Пусть — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть
Построим случайную величину — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины Y называется геометрическим с вероятностью «успеха» P , что обозначается следующим образом: .
Функция вероятности случайной величины имеет вид:
-
Биноминальное распределение
Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p
Определение
Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть
Построим случайную величину :
.
Тогда , число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с степенями свободы и вероятностью «успеха» . Пишем: . Её функция плотности вероятности задаётся формулой:
где — биномиальный коэффициент.
-
Распределение Пуассона. Элементы теории массового обсл. Простой поток.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
Определение
Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:
,
где
-
обозначает факториал,
-
— основание натурального логарифма.
Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .
Простейший поток
Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.
Число событий такого потока, выпадающих на интервал , распределено по Закону Пуассона:
Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря простейшие потоки редки на практике, однако
многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.
-
–
-
Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Кривая распределения. Элемент вероятности.
Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.
Плотность вероятности
Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .
Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:
Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что
,
где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде
то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают
-
Сво-ва пл вер.
Свойства плотности вероятности
-
Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .
-
Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.
Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
-
Замена меры в интеграле Лебега:
,
где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .