устойчивость

Угол наклона верхнего торца при х = l найдется тогда по формуле

(1.14.5)

Рассматривая рис. 1.14.1, выпишем зависимость между f и f1:

(1.14.6)

Подставляя сюда выражения (1.14.1), (1.14.2) и (1.14.5), находим:

(1.14.7)

Интегрируя выражение (1.3.19) для ds, получим полную длину стержня l:

(1.14.8)

Подобный интеграл, в отличие от (1.3.21), носит название неполного эллип­ тического интеграла первого рода. Эти интегралы также табулированы. Уравнения (1.14.6), (1.14.7) и (1.14.8) содержат три неизвестные величины: стрелу прогиба f, параметры Пользуясь ими, можно для каждого задан­ ного эксцентриситета е установить зависимость между нагрузкой Р и стрелой прогиба f.

Эти данные можно сопоставить с приближенным решением. Если считать,

Сравнивая с (1.14.2), найдем:

что совпадает с (1.13.15).

1.15. Влияние поперечной нагрузки

Перейдем к случаю, когда наряду с осевой силой действует некоторая по­ перечная нагрузка. Пусть шарнирно опертый стержень, сжатый силой Р, под­ вергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q (рис. 1.15.1).

Рис. 1.15.1. Стержень при продольно-поперечном изгибе

Уравнение (1.1.5) получает вид

(1.15.1)

или, при к2 - P/EI,

(1.15.2)

Соединяя общее решение однородного уравнения и частное решение, находим

Окончательно:

(1.15.5)

Стрела прогиба равна

(1.15.6)

Мы получили зависимость между f и Р того же типа, что и для эксцентрич­ но сжатого стержня.

В случае, если вместо распределенной нагрузки имеется сосредоточенная сила Q посередине пролета, таким же путем находим уравнение упругой линии для одной из половин стержня

и стрелу прогиба

(1.15.8)

Решим ту же задачу об одновременном действии осевой и поперечной на­ грузок с помощью метода Бубнова-Галеркина. В случае равномерно распреде­ ленной нагрузки выпишем уравнение

(1.15.9)

Вводя в качестве аппроксимирующей кривой полуволну синусоиды

(1.15.10)

придем к уравнению

(1.15.11)

Подставляя вместо v (1.15.10) и интегрируя, находим

(1.15.12)

Здесь числитель представляет собой приближенное значение стрелы прогиба стержня при действии одной поперечной нагрузки:

(1.15.13)

коэффициент равен 1/76,7 вместо известного значения 5/384 = 1/76,8. Поэтому формулу (1.15.12) можно переписать в виде

где W- момент сопротивления сечения.

Учитывая моменты, отвечающие продольной сжимающей и поперечной на­ грузкам, найдем:

(1.15.15)

сжимающие напряжения считаются здесь положительными.

Как видим, при продольно-поперечном изгибе принцип независимости дей­ ствия сил неприменим; величина (1.15.15) не равна сумме напряжений, вызы­ ваемых продольной и поперечной нагрузками в отдельности. Поэтому при про­ верке стержня на «устойчивую прочность» (термин Н. В. Корноухова) умно­ жают все нагрузки на коэффициент запаса п и сравнивают максимальное на­ пряжение не с допускаемым, а с напряжением, принимаемым за предельное.

2 . У С Т О Й Ч И В О С Т Ь СЖАТЫ Х С Т Е Р Ж Н Е Й ЗА П Р Е Д Е Л А М И УПРУГОСТИ . Б О Л Е Е О Б Щ И Е ЗАДАЧИ У С Т О Й Ч И В О С Т И

2.1. Экспериментальные зависимости

Исходные соотношения и расчетные формулы, приведенные в главе 1, справедливы при условии, что критические напряжения - или максимальные напряжения при продольно-поперечном изгибе - не превышают предела про­ порциональности материала Между тем для элементов реальных конструк­ ций во многих случаях это условие не выполняется. Поэтому исследования ус­ тойчивости стержней, относящиеся к неупругой области, имеют существенное практическое значение.

До последнего времени наиболее распространенными являлись методы рас­

образцов, изготовленных из одного и того же материала, незначительны. В уп­ руго-пластической области критические напряжения меняются в зависимости от диаграмм при сжатии, часто отличающихся друг от друга даже для образцов, принадлежащих к одной и той же партии. Влияние возмущающих фак­ торов - эксцентриситета нагрузки, начальной погиби, остаточных напряжений от прокатки, сварки, правки и т. д. - в неупругой области также оказывается более значительным, чем в упругой. Поэтому анализ данных экспериментов и составление расчетных формул желательно проводить с помощью статистиче­ ских методов.

Различными авторами были предложены формулы для расчета на продоль­ ный изгиб за пределами упругости, из которых наиболее приемлемыми оказа­ лись следующие:

ответствует временному сопротивлению, наиденному при сжатии образцов ма­ лой длины. В случае же материала, имеющего диаграмму с ясно выраженной площадкой текучести (мягкая сталь), критическое напряжение, как правило, не

составлении эмпирических формул является соответствие их конкретным дан­

ным серии опытов на продольный изгиб для стержней различной гибкости. б) Гиперболическая формула

(2.1.2)

здесь некоторое напряжение, - эмпирический коэффициент. в) Параболическая формула

(2.1.3)

Постоянные можно подобрать таким образом, чтобы парабола на графике плавно переходила в гиперболу Эйлера, имея с ней при общую касательную. Однако решающим здесь является соответствие формулы экспери­ ментальным данным.

Если принять в (2.1.2) то получим формулу суммирования опасностей, охватывающую с известным приближением как упругую, так и пластическую области:

(2.1.4а)

или иначе

(2.146) несколько иной вид:

Пусть главные центральные оси инерции сечения будут у0 и z0 (рис. 2.2.2); примем, что выпучивание происходит в направлении у0. Считая, что попереч­ ные сечения остаются при изгибе стержня плоскими, и отсчитывая у от ней­ тральной линии z, получим:

где р — радиус кривизны упругой линии. Напряжения в зонах догружения и разгрузки будут соответственно

(2.2.2)

Результирующая дополнительных усилий должна быть равна нулю, поэтому

или

(2.2.3)

Здесь через Ai и S; обозначены статический момент и площадь относитель­ но нейтральной оси той части сечения, в которой имеет место догружение, а через А2 и S2 — части сечения, в которой происходит разгрузка. Приравнивая сумму моментов внутренних сил относительно нейтральной линии внешнему моменту, находим:

или

(2.2.4)

Обозначим через Трезультирующий или приведенный модуль, равный

(2.2.5)

где / - момент инерции всего сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести. Величину Т называют также модулем Кармана. Уравнение изогнутой оси приобретает вид, аналогичный (1.1.5):

(2.2.6)

Полагая для случая шарнирного опирания концов стержня М - — Pv, при­ дем к уравнению

(2.2.7)

Величину Т можно при / = const считать не зависящей от х, так что все дан­ ные, полученные в главе 1 для упругого продольного изгиба, можно распро­ странить на упругопластическую область при условии замены Е на Т. Сюда же относятся результаты, полученные с помощью энергетических методов, так как для любого волокна стержня по-прежнему принята линейная зависимость меж­ ду приращениями напряжений и деформаций.

2.3. Влияние формы сечения. Случаи двутаврового и прямоугольного сечений

момент воспринимается только полками двутавра и, благодаря определенным условиям закрепления стержня, выпучивание происходит в направлении оси у. Обозначим через h расстояние между центрами тяжести полок, площадь каж­ дой из полок равна половине площади сечения, т. е. F/2. Пусть расстояние h делится нейтральной при изгибе линией на отрезки h1 (со стороны догру­ жения) и h2 (со стороны разгрузки). Из (2.2.3) получаем:

отсюда

(2.3.1)

Моменты инерции I1 и I2 равны

Момент инерции всего сечения относительно центральной оси будет

(2.3.2)

Формула (2.2.5) приобретает вид

(2.3.3)

Это означает, что для сжатого стержня критическое напряжение практически не

Отклонения в величине Т для разных форм сечения незначительны, так что в практических расчетах и для других видов сечения можно пользоваться фор­ мулой (2.3.3) либо (2.3.6).

2.4. Случай сосредоточенной силы в пролете

Допустим, что стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается дей­ ствию сил Р1,Р2 и Р1 + Р2 и что сила Р2 приложена в некотором промежуточном сечении, расположенном на расстояниях l1 и 12 от концов (рис. 2.4.1). Примем, что момент инерции сечения в верхней части

равен l1 , а в нижней - I2.

Обозначим через / отклонение точки при­ ложения силы Р2 при выпучивании стержня. Дифференциальное уравнение упругой линии для верхнего участка будет

(2.4.1)

здесь учитывается составляющая реакции опо­ ры, равная координата Х1 отсчитывается от 0. Для нижнего участка получаем

Воспользуемся обозначениями

(2.4.3)

Рис. 2.4.1. Случай силы, тогда уравнения (2.4.1) и (2.4.2) перепишутся приложенной в пролете следующим образом: