устойчивость

1.3.Пределы применимости формул Эйлера. Равновесные формы

взакритической области

Как уже говорилось, формула Эйлера справедлива при условии, что дефор­ мация сжатия стержня вплоть до момента потери устойчивости подчиняется за­ кону Гука. Иными словами, критическое напряжение не должно превышать предела пропорциональности для данного материала:

(1.3.1)

или

(1.3.2)

Предельная «упругая» гибкость стержня, т. е. наименьшая гибкость, при кото­ рой еще можно пользоваться формулой Эйлера, будет

(1.3.3)

Условие (1.3.1) получает вид

(1.3.4)

До сих пор мы ставили перед собой цель определить первую критическую силу, предполагая, что для сжатого стержня она является предельной. Действи­ тельно, для элементов металлических конструкций достижение нагрузкой кри­ тической величины сопровождается значительными деформациями и, как пра­ вило, приводит к исчерпанию их несущей способности. Однако в некоторых случаях, например, для гибких тонких полос, приходится вести расчет, исходя из того, что элемент конструкции подвергается действию нагрузок, превосхо­ дящих критическую. Перемещения концевых сечений такого стержня обычно ограничивают, исходя из конструктивных соображений.

Таким образом, для практических целей важно исследовать закритическую деформацию сжатых стержней. Кроме того, этот вопрос имеет большое теоре­ тическое значение, так как позволяет установить случаи неприменимости ли­ нейных уравнений и уточнить критерий устойчивости.

Рассмотрим закритические равновесные формы на примере стержня, за­ щемленного нижним концом и при свободном втором конце. Будем считать, что к верхнему концу приложена сила Р, сохраняющая свое направление (рис. 1.3.1). Так как здесь прогибы уже нельзя считать малыми по сравнению с дли­ ной стержня, то мы должны воспользоваться точным выражением (1.1.2) для кривизны упругой линии. Предполагая, что напряжения лежат в пределах про­ порциональности, получим нелинейное уравнение

(1.3.5)

Аналогичным образом может быть получена зависимость между нагрузкой и прогибом верхнего конца для п = 1, 2, 3 и т. д. Отметим, что точки соответст­ вующих кривых могут быть получены по точкам первой кривой (для п — 0), ес­ ли их абсциссы умножать на (2п+1)2, а ординаты делить на (2п+1), это следует из (1.3.27) и (1.3.28). Несколько таких кривых приведено на рис. 1.3.4.

f / i

Рис. 1.3.4. Диаграммы «прогиб - нагрузка» при нагрузках, превышающих первую и высшие критические силы

гиба; при п = 1 получим одну точку перегиба, при п = 2 — две и т. д. Упругие линии для случаев и= 1 и п = 2 представлены на рис. 1.3.5.

Для значений нагрузки, мало отличающихся от первой критической вели­ чины, можно установить простую приближенную зависимость между Р и f. Положим п — 0; тогда по (1.3.27) и (1.3.28)

(1.3.29)

Выражение для полного эллиптического интеграла может быть представлено в виде ряда по степеням sin

(1.3.30)

При достаточно малом ограничиваясь первыми двумя членами ряда, находим

(1.3.30 а)

С другой стороны, во втором из равенств (1.3.29) можно положить

(1.3.31)

Тогда из (1.3.30) получим:

(1.3.32)

Таким образом, первый участок кривой рис. 1.3.5 можно с известным при­ ближением заменить отрезком квадратной параболы. Судя по формуле (1.3.30) и графикам рис. 1.3.5, в закритической стадии стрела прогиба стержня возрас­ тает весьма быстро. Если нагрузка превышает критическую лишь на 1%, то стрела прогиба должна составить уже около 0,18l. Для стержней в металличе­ ских конструкциях напряжения при подобных значениях прогиба обычно пре­ вышают предел пропорциональности. Следовательно, исследование закрити­ ческой деформации имеет смысл только по отношению к стержням большой гибкости.

1.4. Различные критерии устойчивости и методы решения задач

Рассматривая сжатый стержень, различным образом закрепленный по кон­ цам, мы использовали один из наиболее употребительных критериев потери ус­ тойчивости: мы исследовали, при каких условиях наряду с начальным состоя­ нием равновесия возникают соседние, новые равновесные формы. Такой под­ ход к решению задач устойчивости будем называть статическим.

Другой критерий относится к потенциальной энергии, накапливаемой сис­ темой, и может быть назван энергетическим. Исследуем переход от начального равновесного состояния к изогнутому и определим приращение потенциальной энергии деформации, а также работу внешних сил. Если энергия деформации окажется больше работы внешних нагрузок, то, очевидно, система будет воз­ вращаться к начальному положению равновесия; следовательно, его положение можно считать устойчивым. Напротив, условие неустойчивости состоит в том, что работа внешних сил превышает потенциальную энергию деформации. При безразличном равновесии (в линейной постановке задачи) приращение энергии деформации должно быть равно работе внешних сил. Если внешние силы яв­ ляются консервативными, т. е. если работа их зависит только от начального и конечного положений точек приложения и не зависит от траекторий перемеще­ ния этих точек, то можно ввести понятия потенциала внешних сил и полной по­ тенциальной энергии системы. Тогда данный критерий можно сформулировать в применении к полной энергии системы, вернее, к ее приращению при перехо­ де от начального равновесного состояния к соседнему.

Третий, наиболее общий путь состоит в исследовании движения системы, вызываемого некоторыми малыми возмущениями начального равновесного со­ стояния. Такой критерий может быть назван динамическим. Если малые воз­ мущения вызывают динамические перемещения системы, лежащие в опреде­ ленных пределах, то начальное состояние является устойчивым. Точнее, при наличии устойчивости всегда можно подобрать такие начальные возмущения, чтобы при последующем движении системы перемещения ее точек не вышли за некоторые, наперед заданные границы. Если речь идет о консервативной сис­ теме, на которую действуют консервативные заданные силы, а работа реакций связей и сил сопротивления равна нулю, то такая система будет совершать соб­ ственные колебания около положения равновесия. Критерием потери устойчи­ вости будет при этом - как уже было сказано в п. 1.1 - обращение в нуль час­ тоты собственных колебаний.

Энергетический критерий, как он был сформулирован выше, является, по существу, статическим, так как относится только к потенциальной энергии сис­ темы и позволяет анализировать лишь различные равновесные формы. Однако энергетический критерий можно применить и при динамической постановке задачи, если ввести в рассмотрение кинетическую энергию системы и исследо­ вать изменение функции, включающей как потенциальную, так и кинетическую энергии.

Определяя критическую нагрузку, отвечающую точке разветвления равно­ весных состояний, мы имеем в виду некоторую идеальную систему. Мы счита­ ем, например, что ось сжатого стержня является строго прямолинейной, что на­ грузка приложена в центре тяжести сечения, что материал является однород­ ным и т. д. В реальных конструкциях такие условия, как правило, не выполня­ ются. Можно определить характер устойчивости идеальной системы, изучая поведение близкой к ней несовершенной системы и устремляя параметры, ха­ рактеризующие эти несовершенства, к нулю. Как мы увидим ниже, влияние на­ чальных несовершенств резко возрастает, когда нагрузка приближается к кри­ тической величине, вычисленной для соответствующей идеальной конструк­ ции, это и служит критерием устойчивости идеальной системы, который можно назвать критерием начальных несовершенств.

Приводят ли перечисленные выше критерии устойчивости той или иной системы к одному и тому же результату? Как мы убедимся ниже, в задачах, от­ носящихся к консервативным системам, такое совпадение имеет место, поэтому применение различных критериев может служить для проверки правильности решения задачи. В случае же неконсервативной системы следует пользоваться динамическим критерием, так как статический (или энергостатический) подход может в ряде случаев привести к ошибочным результатам.

Определение критической нагрузки как точки бифуркации равновесных форм сводится, как мы видим, к решению линейной задачи; к такой задаче и от­ носились перечисленные нами критерии устойчивости. Если же исследуется послекритическое поведение системы, то задача является нелинейной. Своеоб­ разие нелинейной задачи состоит в том, что здесь одной и той же системе на­ грузок может соответствовать несколько различных деформированных состоя­ ний, одни из которых являются устойчивыми, а другие - неустойчивыми. Так, например, в случае сжатого стержня при нагрузках, незначительно превышаю­ щих первую критическую величину, мы получали две устойчивые изогнутые формы стержня (при изгибе стержня в одну и другую сторону) и неустойчивую форму - прямолинейную. Правда, при определении точки бифуркации мы так­ же сталкиваемся с серией различных равновесных состояний, но от каждого из них можно непосредственно перейти к другому, соседнему; в нелинейной же системе равновесные формы могут резко различаться между собой. Допустим, что тяжелый шарик перемещается по поверхности более сложной конфигура­ ции, имеющей не одно, а два углубления (рис. 1.4.1, а - б). Если шарик перво­ начально находится в левой «ямке», то его поведение при отклонении от устой­ чивого равновесного состояния А зависит от характера возмущений. Если ша­ рик получит малое отклонение или малую начальную скорость, то он будет ис­ пытывать ограниченные колебания около А, не выходя за пределы ямки. Если же шарик получит достаточно большой толчок, то он может перескочить через неустойчивое равновесное положение В, попасть в правую «ямку» и начать ко­ лебаться около нового равновесного состояния С. Вероятность перескока ша­ рика из одной ямки в другую зависит от того, насколько высок разделяющий их барьер. Например, в случае, показанном на рис. 1.4.1, б, эта вероятность боль-

ше, чем в случае рис. 1.4.1, а. Так как высота Н пропорциональна разности по­ тенциалов силы веса шарика, то она характеризует потенциальный барьер, пре­ одоление которого необходимо при перескоке.

Выбрав тот или иной критерий, мы должны далее принять определенный метод решения задачи. Если применяется статический или динамический кри­ терий, то можно исходить из дифференциальных уравнений равновесия или движения для отклоненных положений и непосредственно интегрировать эти уравнения. Этот путь возможен, однако, лишь в простейших задачах. В более сложных случаях приходится пользоваться различными приближенными мето­ дами определения критической нагрузки. Так, например, дифференциальное уравнение равновесия или движения может быть заменено уравнением в конеч­ ных разностях, в зависимости от числа интервалов задача будет решена с той или иной степенью точности. Другой путь заключается в том, что дифферен­ циальное уравнение - линейное или нелинейное - заменяется интегральным, т. е. таким, которое включает под знаком интеграла функции, характеризующие отклоненные состояния системы. Тогда для решения задачи можно применить метод последовательных приближений, позволяющий шаг за шагом уточнять характер равновесных форм системы и, в линейных задачах, величину критиче­ ской нагрузки. Теория интегральных уравнений содержит также ряд других пу­ тей определения наименьшего параметра, характеризующего разветвление

(бифуркацию) решений; это значение параметра соответствует интересующей нас критической нагрузке.

Пользуясь энергетическим критерием, мы должны представить себе, какой характер имеют отклоненные положения системы, и составить выражения для потенциальной энергии деформации и работы внешних сил. В линейных зада­ чах критическая нагрузка приближенно определяется путем непосредственного сопоставления этих величин. Чаще всего энергетический подход осуществляет­ ся с помощью метода Ритца, в котором отклоненное положение равновесия или движения характеризуется с помощью нескольких независимых парамет­ ров. Подобная аппроксимация отклоненного состояния применяется и в методе Бубнова-Галеркина, который может быть обоснован из энергетических сооб­ ражений - исходя из принципа возможных перемещений, — но, с другой сторо­ ны, может трактоваться как «формальный» прием приближенного интегриро­ вания дифференциальных уравнений, когда форма интегральной кривой может быть заранее оценена из физических представлений.

Все перечисленные выше методы позволяют приближенно решать те или иные краевые задачи теории упругости, поскольку вместе с дифференциальны­ ми уравнениями задачи должны быть заданы граничные условия для переме­ щений или усилий. Существует, однако, путь — он назван ниже методом проб, - когда задача ставится как задача с начальными условиями: например, для стержня задается прогиб и угол поворота для одного из концевых сечений. Граничные условия, относящиеся ко второму концевому сечению, выполняют­ ся после пробных попыток путем варьирования параметра нагрузки, входящего в дифференциальное уравнение. Трактовка проблемы о собственных значениях как задачи с начальными условиями имеет особенно большое значение в связи с применением электронных вычислительных машин; здесь могут быть успеш­ но применены методы оптимального программирования.

Мы познакомились уже с одним из «статических» методов исследования устойчивости сжатого стержня - непосредственным интегрированием диффе­ ренциального уравнения упругой линии для отклоненного положения. В после­ дующих разделах мы на том же простом примере познакомимся с другими кри­ териями устойчивости и методами решения задач.