Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Юго-Западный государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

устойчивость

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

1.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

1.10. Применение интегральных уравнений. Приближенное определение первой критической нагрузки

Пользуясь методом последовательных приближений, мы задавались той или иной упругой линией - совпадающей в случае шарнирно опертых концов стержня с эпюрой изгибающих моментов от сжимающих сил и находили но вую упругую линию путем интегрирования; сравнение первоначальных и вновь найденных ординат позволяло определить приближенное значение критической нагрузки и установить, какая форма изогнутой оси ему соответствует. Идя по этому же пути, но исходя из более общих соображений, можно составить инте гральное уравнение задачи - уравнение, заключающее неизвестную функцию прогиба под знаком интеграла.

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.10.1. К выводу интегрального уравнения задачи

Рассмотрим стержень, шарнирно опертый по концам. Определим прогиб в некотором сечении х, пользуясь формулой Максвелла-Мора:

(1.10.1)

где М - изгибающий момент в текущем сеченииот заданных сил, - момент в том же сечении от единичной силы, приложенной в точке с координатой х. Как видно из рис. 1.10.1, эти моменты будут (при сжимающей силе Р):

		при
М =	М =	(1.10.2)

при

Воспользуемся безразмерными параметрами
		(1.10.3)
и представим (1.10.1) в	виде
		(1.10.4)
Будем в дальнейшем	опускать индексы при х и	Введем обозначения
(в безразмерных величинах)

(1.10.5)

Учтем также, что в общем случае момент инерции сечения / и модуль Е пере- и выразим их через некоторые приведенные

(1.10.6)

тогда выражение (1.10.4) примет вид

(1.10.7)

Функция как легко видеть из (1.10.5), является симметричной относительно переменных х и

(1.10.8)

Обозначим
				(1.10.9)
тогда вместо (1.10.7) получим
				(1.10.10)
Судя по (1.10.9), функция		также оказывается симметричной:
				(1.10.11)
Уравнение (1.10.10)	содержит	функцию	под знаком интеграла, причем
пределы интегрирования конечны и постоянны. Если функция				в рас-
сматриваемом интервале непрерывна, то уравнение (1.10.10)				является одно-
родным интегральным	уравнением	Фредголъма	второго рода.	Теория Фред-

гольма распространяется также на функции К, для которых интеграл

(1.10.12)

имеет конечное значение. В нашей задаче это требование всегда выполняется.

Функция	носит название ядра, а величина - параметра	уравнения.
Уравнение (1.10.10) имеет, вообще говоря, тривиальное решение:		отве-

чающее прямолинейной форме равновесия стержня.		Нетривиальное решение
у(х) появляется в	точках разветвления (бифуркации)	равновесных состояний;
соответствующие	этим точкам значения параметра	называются характе-

ристическими или фундаментальными числами, а также особыми или собст венными значениями параметра, а нетривиальные решения - собственными,

характеристическими или фундаментальными функциями. Характеристиче ские числа уравнения (1.10.10) определяют в нашем случае первую и высшие критические нагрузки.

Таким образом, для определения первой критической нагрузки необходимо определить наименьшее характеристическое число интегрального уравнения; последнее заменяет дифференциальное уравнение задачи вместе с граничными условиями.

Интегральные уравнения решаются с помощью различных приближенных методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод после довательных приближений, который уже рассматривался в 1.9. Другой метод заключается в замене интегрального уравнения конечной системой линейных алгебраических уравнений, для чего правая часть (1.10.10) преобразуется по одной из формул приближенного интегрирования.

Но для определения характеристических чисел можно воспользоваться также теорией симметричных интегральных уравнений Гильберт -Шмидта. Этот путь приводит к примечательным формулам, выражающим первое харак теристическое число через так называемые следы ядра. В первом приближении можно принять

(1.10.13)

где S2 - второй след ядра, определяемый по формуле (1.10.12). Такой метод ин тересен тем, что определение критической нагрузки (характеристического чис ла) как бы отделяется от установления формы потери устойчивости (собствен ной функции), в то время как в предшествующих случаях эти задачи вы полнялись одновременно. Можно показать, что приближенное значение крити ческой нагрузки по (1.10.13) всегда лежит ниже истинного.

Формулу (1.10.13) для двойного интеграла можно преобразовать сле дующим образом. Разделим площадь интегрирования на два равных треугольника (рис. 1.10.2) линией тогда, производя интегрирование по пло щади одного из этих треугольников, получим:

S2 = 2

(1.10.14)

Мы составляли до сих пор интегральное уравне ние, рассматривая задачу в линейной постановке. Если принять точное выражение (1.1.2) для кривизны изо гнутой оси, то интегральное уравнение задачи окажет ся нелинейным. В литературе по нелинейным инте гральным уравнениям рассматривается вопрос о пра вомерности их линеаризации при определении бифур кационных точек задачи.

Рис. 1.10.2. К определению величины S при симметричном ядре

1.11. Динамический критерий устойчивости

Мы разобрали методы, основанные на статическом и энергетическом под ходах к задаче об устойчивости стержня. Обратимся теперь к третьему, дина мическому критерию и рассмотрим собственные колебания сжатого стержня, шарнирно опертого по концам.

Выпишем дифференциальное уравнение изогнутой оси типа (1.1.6):

(1.11.1)

где q - интенсивность поперечной нагрузки. В случае колебательного движения прогиб v будет функцией не только координаты х, но и времени t; v=v(x,t). Поэтому полные производные по х должны быть заменены на частные. Пользу ясь принципом Даламбера, примем в качестве интенсивности распределенной нагрузки силу инерции массы стержня, приходящуюся на единицу длины. Обозначая через р вес единицы длины стержня, получим:

(1.11.2)

где g - ускорение силы тяжести. Вводя обозначение к2 =Р/Е1, придем к уравнению

(1.11.3)

Будем искать решение уравнения (1.11.3) в виде произведения двух функций:

v(x,t) = X(x)T(t);

(1.11.4)

тогда вместо (1.11.3) получим:

или

(1.11.5)

Левая часть этого уравнения зависит только от х, а правая - только от t; урав нение может удовлетворяться лишь в том случае, если левая и правая части яв ляются постоянными величинами:

(1.11.6)

(1.11.7)

Второе из этих уравнений преобразуется к виду

Интеграл этого уравнения представим в форме

(1.11.9) частота колебаний со определяется формулой

(1.11.10)

Уравнение (1.11.6) перепишем в виде

(1.11.11)

соответствующее характеристическое уравнение будет

(1.11.12) Это уравнение имеет два действительных корня и два мнимых. Вводя обозначения

(1.11.13)

выпишем решение уравнения (1.11.11) в форме

(1.11.14) Выражение (1.11.14), определяющее форму колебаний, должно удовлетворять

граничным	условиям (1.1.10). Первые два			условия, относящиеся к	сечению
х = 0, дают: А-С = 0; два		других	приводят	к равенствам: В-0, Dsin	s2l = 0.
Считая	находим:
	S2	=	n = 1 , 2 , 3 , . . .		(1.11.15)
Отсюда по	(1.11.13)
					(1.11.16)

Частота п-го тона колебаний по (1.11.10) оказывается равной

(1.11.17)

Обозначим через а)0п частоту п-ro тона колебаний стержня при отсутствии силы Р:

			(1.11.18)
Тогда окончательно
			(1.11.19)
Эта формула является «ключевой» для дина
мического анализа устойчивости стержня. Час
тота колебаний стержня с образованием одной
полуволны {п = 1) делается равной нулю, когда
сила Р достигает	критического	значения
Таким образом, наступление моно
тонной неустойчивости стержня характеризуется
здесь обращением в нуль частоты собственных
колебаний. На графике	получаем пря
мую, пересекающую ось ординат в		точке би	Рис. 1.11.1. Зависимость между частотой
			Рис. 1.11.1. Зависимость между частотой

фуркации равновесных форм (рис. 1.11.1).	колебаний и сжимаюшей силой

1.12. Критерий начальных несовершенств

До сих пор нами рассматривались идеальные стержни с прямолинейной осью, нагруженные сжимающей силой строго по центру тяжести поперечного сечения. Между тем реальные элементы конструкций всегда обладают извест ной начальной прогибью; приложенные к ним сжимающие силы обычно дейст вуют с некоторым эксцентриситетом; наряду с осевыми силами могут быть приложены те или иные поперечные нагрузки. Все эти факторы играют роль «возмущений», влияющих на поведение системы. Исследование «не совершенных» систем важно, прежде всего, с практической стороны, так как позволяет приблизить расчетную схему к реальным конструкциям. Правда, все перечисленные факторы являются, как правило, случайными, поэтому обосно ванно оценить их эффект можно лишь с привлечением статистических мето дов. Однако построение статистических зависимостей требует предварительно го определения того, как ведет себя система при некотором заданном возмуще нии. Кроме того, рассмотрение несовершенной системы в ряде случаев позво ляет определить критическую нагрузку для ее идеальной модели: мы знаем уже, что эффект различных возмущений особенно сильно сказывается вблизи критической нагрузки. Рассмотрим последовательно влияние всех важнейших возмущающих факторов. Начнем со случая, когда стержень, шарнирно опертый по краям, имеет начальную погибь

(1.12.1)

и сжимается силой Р, направление которой проходит через концевые шарниры. Дифференциальное уравнение (1.1.5) получает вид

(1.12.2)

где под v понимается дополнительный прогиб, возникающий в процессе де формации, под Vi - полный прогиб:

(1.12.3) Вводя прежнее обозначение к = Р/Е1, получим

d2v	= k2v = -k2v0 .	(1.12.4)
dx2

Пусть, например, в начальном состоянии стержень изогнут по полуволне сину соиды (рис. 1.12.1):

(1.12.5)

Решением уравнения (1.12.2), при у = 0и х = 0, l, будет

Стрела дополнительного прогиба f оказывается равной

				(1.12.7)
где под Ркр понимается критическая сила (1.1.15). Пол-
ная стрела прогиба	определится формулой
				(1.12.8)
	кр
Поведение системы оказывается качественно отлич
ным от того, которое было характерно для «классиче
ской» задачи устойчивости. Прогиб возникает уже при
малых значениях силы Р, в то время как в случае цен
трального сжатия при нагрузке		стержень		должен
оставаться прямолинейным. Скорость нарастания проги
ба зависит от «возмущающего фактора» - стрелы на
чального прогиба. При достаточно малых			кривая
лежит весьма близко от оси ординат. В то же время при
нагрузке, приближающейся к критической, прогиб быст
ро нарастает; функция	является	нелинейной.		Когда
Р приближается к Ркр, получаем		стрела		прогиба
возрастает беспредельно.	Напомним, что		материал

стержня мы считаем здесь идеально упругим и что за
дачу решаем, исходя из линейного дифференциального	Рис-1 12.1. Стержень с
уравнения	начальной прогибью

Одним из путей решения задачи о собственных значениях как задачи с на чальными возмущениями является применение метода инвариантного вло жения. Решая задачу об устойчивости стержня, допустим, что стержень имеет начальную погибь, либо что сила приложена с некоторым эксцентриситетом. Тот результат, что при силе, приближающейся к критической, для стержня за данной длины прогибы стремятся к бесконечности, можно трактовать иначе, считая заданной силу и варьируя длину стержня: при длине, близкой к «крити ческой», прогибы также должны бесконечно возрастать. Для стержня длиной l, имеющего шарнирные опоры, наряду с координатой х, характеризующей поло жение некоторой точки стержня вдоль оси, введем переменную z. Длина отрез ка оси, определяемая z, как бы «вкладывается» в фактическую длину стержня l и является основным варьируемым параметром - длиной воображаемого стержня. Далее, используя исходное уравнение и граничные условия задачи, можно составить уравнение относительно какой-либо характерной функции, обращающейся в бесконечность при В качестве такой функции можно избрать, например, угол наклона упругой линии на одном из концов отрезка z. Описанный путь решения интересен тем, что позволяет рассматривать задачи самого широкого класса.

1.13. Эксцентричное сжатие. Приближенное решение
	Рассмотрим, далее, другой					возмущающий		фак
	тор - эксцентриситет в приложении нагрузки. Пусть
	стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается
	действию сил Р, точка приложения которых отстоит
	от центра тяжести сечения на расстоянии е. Предпола
	гается, что плечо е лежит в плоскости наименьшей
	жесткости стержня (рис. 1.13.1).
	Дифференциальное			уравнение			(1.1.5)	получит
	здесь вид
			=	- Р ( v	+		e)	(1.13.1)
	или
		d2v + k2v =			-	k2e.		(1.13.2)
		dx2
	Общее	решение	соответствующего однородного
Рис. 1.13.1. Шарнирно	Уравнения будет
опертый стержень под
действием эксцентрично	v	= A	cos	kх + В		sin	kх.	(1.13.3)
приложенных сил
	Сюда надо присоединить частное решение v = — е;
полное решение получает вид
	v = A cos kх + В sinkx — е.							(1.13.4)
Удовлетворяя граничным условиям задачи v = 0 при х = 0, l, найдем:
	А=е,	В = е tg						(1.13.5)

Решение (1.13.4) теперь можно представить в следующем виде:

(1.13.6)

или

(1.13.7)

Стрела прогиба равна при х =1 /2

Отметим, что и здесь	зависимость между f и Р будет нелинейной и что при
Р —>РКр получим f —» 0	0 .

Решим ту же задачу с помощью метода Бубнова - Галеркина. Примем урав

нение упругой линии в виде
v = fsin	(1.13.9)

Составим уравнение типа

(1.13.10)

и подставим вместо v выражение (1.13.9); после инте грирования получим:

(1.13.11)

Это уравнение имеет ту же структуру, что и зависимость (1.12.7), относившаяся к синусоидальной начальной прогиби.

Если такого же типа нагружению подвергается стер жень с одним защемленным концом и другим свободным концом (рис. 1.13.2), то уравнение (1.13.1) получит вид

=	P(e+f-v)	(1.13.12)	Рис. 1.13.2. Стержень с
или			защемленным концом под
или			действием эксцентрично
			действием эксцентрично
+ k2v	= k2(e + f).	(1 13 13)	приложенной нагрузки

Подчиняя решение условиям v = 0, dv/dx = 0 при х = 0, найдем:

v = (е + l)(1 - cos kх).

(1.13.14)

Полагая х = l, получим:

(1.13.15)

Зависимость между l и Р оказалась точно такой же, что и в случае шар нирно опертых концов.

1.14. Эксцентричное сжатие. Точное решение

Рис. 1.14.1. К точному решению задачи об эксцентричном сжатии стержня

Подойдем к той же задаче об эксцен тричном сжатии, исходя из точного диф ференциального уравнения упругой ли нии. На рис. 1.14.1 изображен стержень длины l в изогнутом положении; сила Р действует на плече е и сохраняет верти кальное направление. Кроме того, здесь же показан фиктивный стержень длиной l1 конец которого лежит на линии дейст вия силы Р. Очевидно, по отношению к этому фиктивному стержню можно ис пользовать соотношение (1.3.23), связы вающее стрелу прогиба f1 с параметрами (оставляем знак плюс):