устойчивость

1.5. Приложение принципа возможных перемещений

Как известно, наиболее общим принципом, позволяющим исследовать рав­ новесные состояния упругих систем, является принцип возможных перемеще­ ний: он относится не только к линейным, но и к нелинейным статическим зада­ чам; в соединении с принципом Даламбера его можно использовать и в дина­ мических задачах. Поэтому изложение энергетических соотношений мы начнем с применения принципа возможных перемещений. Согласно этому принципу равновесное состояние упругой системы характеризуется тем, что сумма работ всех внешних и внутренних сил на любых кинематически возможных переме­

боту внутренних сил при переходе от данной искривленной формы к другой, близкой к ней, а через - соответствующую работу сжимающей нагрузки. Если исходная форма стержня является равновесной, то должно удовлетворять­ ся равенство

(1.5.1)

Работа внутренних сил может быть представлена выражением

(1.5.2)

где через обозначена вариация кривизны упругой линии. Примем для кри­ визны значение (1.1.3), так как речь идет о малом отклонении упругой линии стержня от оси х; тогда

(1.5.3)

Интегрируя это выражение по частям, получим

(1.5.3а)

Повторное интегрирование дает

Пользуясь соотношениями

находим

(1.5.5)

1.6. Энергетический критерий устойчивости

При исследовании равновесных состояний консервативных систем можно вместо вариаций работы внутренних и внешних сил ввести вариацию полной потенциальной энергии системы. Как известно, работа внутренних сил на воз­ можном перемещении равна взятой со знаком минус вариации потенциальной энергии деформации:

(1.6.1) Сопоставляя (1.5.10) и (1.5.11), находим:

или

(1.6.2)

Отсюда вытекает известное выражение для потенциальной энергии деформа­

С другой стороны, по (1.5.10) находим работу внешней нагрузки, про­ изводимую силой Р при искривлении стержня:

Сумма потенциальной энергии деформации и изменения потенциала нагрузки представляет собой полную энергию упругой системы Э:

При возможном отклонении стержня от равновесного положения первая вариа­ ция от полной энергии должна быть равна нулю:

(1.6.9) что соответствует равенству (1.5.1).

Об устойчивости равновесного положения можно судить по знаку второй вариации от полной энергии. Если исходное положение устойчиво, то вторая вариация положительна:

(1.6.10) При этом энергия прямолинейной формы стержня будет минимальной по от­ ношению к значениям энергии для близких к ней искривленных форм.

Если вторая вариация от энергии отрицательна,

(1.6.11) то рассматриваемая равновесная форма будет неустойчивой.

Безразличному равновесию стержня соответствует равенство нулю второй вариации:

(1.6.12) Рассмотрим случай шарнирно закрепленного по концам стержня, сжатого силами Р по концам. Принимая для искривленной упругой линии уравнение

где h - высота сечения стержня. Тогда по (1.6.13) и будет (1.6.16)

(1.6.15)

Первая вариация от Э* равна

(1.6.16)

а вторая вариация

(1.6.17)

Любая прямолинейная форма является равновесной; при = 0 будет всегда Устойчивость равновесия зависит от соотношения между Р и Ркр; при Р < Ркр, Р > Ркр и Р = Ркр будут соответственно выполняться равенства (1.6.10), (1.6.11), (1.6.12).

1.7. Методы Ритца и Тимошенко

Энергетический критерий служит основой для эффективных при­ ближенных методов решения задач устойчивости, кратко охарактеризованных выше. Рассмотрим эти методы более подробно.

Примем, что изогнутая линия стержня при потере устойчивости прибли­ женно может быть представлена с помощью ряда

ничным условиям задачи, т. е. таким условиям, которые относятся к прогибам и углам поворота. Подставим (1.7.1) в выражение для полной энергии системы (1.6.8). Тогда энергия окажется зависящей от параметров прогиба fi. Вариацию можно при этом представить как сумму вариаций, соответствующих воз­ можным изменениям параметров fi :

(1.7.2)

Так как рассматриваемые нами изогнутые состояния являются равновесными, то вариация по (1.6.10) должна быть равна нулю:

(1.7.3)

Но вариации можно считать независимыми друг от друга; поэтому равенст­ во (1.7.3) будет иметь место, если каждый из множителей при будет равен нулю:

Судя по (1.6.8), энергия должна являться квадратичной функцией параметров fi. Вычисляя производные по fi мы получим линейные функции fi. Следовательно, равенства (1.7.4) представляют собой систему п линейных алгебраических од­

ляться равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при

(1.7.5) Уравнение (1.7.5) будет содержать нагрузку в степени п. Решая это уравнение, мы получим п значений Р. Наименьшее из этих значений и будет приближен­ но отвечать первой критической силе. Подобный метод решения вариационных задач носит название метода Ритца.

Результаты, получаемые с помощью первых приближений по методу Ритца, можно несколько улучшить, представив выражение для энергии (1.6.8) в ином виде. Пользуясь вторым из соотношений (1.5.4), напишем

э= dx. (1.7.6)

Изгибающий момент М в некотором сечении можно выразить через сжимаю­ щую силу Р и прогиб v. Затем следует идти тем же путем, что и при использо­ вании выражения (1.6.8). В этом случае нам не приходится вычислять вторых производных от v, как это приходилось делать раньше. Но при аппроксимации изогнутой линии обычно более или менее хорошо улавливается лишь общее очертание кривой, в то время как приближенные значения вторых производных сильно отличаются от истинных. Этим объясняется преимущество применения выражения (1.7.6) по сравнению с (1.6.8).

Метод Ритца в приложении к линейным задачам устойчивости может быть использован и в другой форме, указанной С. П. Тимошенко. Как мы видели, при безразличном равновесии должно быть Если рассматри­ вать весьма малые отклонения стержня, то можно принять полную энергию по­ стоянной: Э = const. Условимся, что нулевой уровень будет соответствовать критической силе, и примем для Р = Ркр:

Это можно пояснить таким образом, что при продольном изгибе потенциальная энергия деформации изгиба U оказывается в точности равной работе внешней сжимающей нагрузки W. Пользуясь теперь выражением (1.6.8), находим

Можно также воспользоваться вторым выражением для энергии (1.7.6). Обозначаем через т изгибающий момент в некотором сечении, отвечающий силе Р=1. Тогда вместо (1.7.6) можно написать

dx. (1.7.9)

Исходя из (1.7.7), находим теперь

Допустим, что изогнутая линия стержня приближенно представлена в виде ряда (1.7.1). Тогда в числителе и знаменателе дроби (1.7.8) или (1.7.10) мы по­ лучим функции параметров fi. Желая найти наименьшее значение нагрузки, приравняем нулю производные от Р по fi.

Для линейных задач мы получим тогда точно те же результаты, что и по уравнениям (1.7.4).

1.8. Метод Бубнова-Галеркина

Другой приближенный метод, предложенный И. Г. Бубновым и развитый Б. Г. Галеркиным, можно связать с вариационным уравнением задачи (1.5.12). Допустим, что изогнутая линия стержня аппроксимируется рядом того же вида (1.7.1), причем каждая из функций удовлетворяет не только геометриче­ ским, но и статическим граничным условиям задачи. Подставим выраже­ ние (1.7.1) в уравнение (1.5.12). Внеинтегральные члены, отвечающие статическим граничным условиям, должны тогда выпасть. Вместо можно подставить выражение

Под v в выражении, стоящем в скобках, понимается ряд (1.7.1). После ин­ тегрирования мы снова получим систему однородных линейных алгебраиче­ ских уравнений относительно fi , из условия совместности которых (при нетри­ виальном решении) находим критическую нагрузку. Так как уравнения (1.8.3] метода Бубнова-Галеркина и уравнения (1.8.3) метода Ритца отвечают одним и тем же энергетическим зависимостям, то получаемые по этим методам резуль­ таты должны совпадать.

Как легко заметить, в скобках под знаком интеграла в (1.8.3) содержится ле­ вая часть дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (1.1.8) Метод Бубнова-Галеркина можно обобщить, подставляя вместо этих скобок другие операторы. Такой оператор может, например, отвечать уравнении: (1.1.5); тогда будет

Но при этом результаты вычислений уже не будут, вообще говоря, совпадать с данными, полученными по методу Ритца. Если в основу вычислений берется уравнение (1.8.5), то уравнение избранной упругой линии должно быть подчи­ нено лишь геометрическим граничным условиям для прогиба.

1.9. Метод конечных разностей. Упругая шарнирная цепь. Метод коллокации. Метод последовательных приближений

Вернемся теперь к приближенным методам, относящимся по нашей клас­ сификации к статическому критерию устойчивости. Остановимся прежде всего на методе конечных разностей. Пусть имеется в виду уравнение (1.1.5). Разде­ лим общую длину стержня на п равных частей, длину каждого интервала обо­ значим через s. Вторую производную для некоторой точки, разделяющей два соседних интервала, можно заменить приближенно с помощью так называемой центральной разности:

под понимаются прогибы в соответствующих точках. Этому значению второй производной отвечает изгибающий момент от силы Р в i-й точке: М= (-Р ). Тогда уравнение (1.1.5) получит вид

(1.9.1)

Таких уравнений можно составить (п - 1); в них будут входить значения проги­ бов в концевых точках. Таким образом, получаем систему (п - 1) алгебраиче­ ских линейных уравнений относительно vi , условие совместности этих уравне­ ний (при ненулевом решении) снова приводит к определению критической на­ грузки.

Другой вариант метода конечных разностей, который получил в литературе

Вводя прежнее обозначение Р* = Рl2 /Е1, находим:

Примем для одного из концов стержня v0 = 0, a vi - заданной величиной, не рав­ ной нулю. Будем определять последовательно приращения vi , пользуясь фор­ мулами:

Считая получим:

(1.9.2)

Подставляя сюда значения х)2, я),, мы можем выразить прогиб любого узла через x>i, используя, далее, граничное условие для второго конца стержня, полу-

чаем из (1.9.2) при уравнение относительно критической нагрузки Р*. Соотношения типа (1.9.2) можно пояснить следующим образом. Допустим,

что стержень разделен на п абсолютно жестких звеньев, связанных между со­ бой упругими шарнирами. Единичному углу поворота в i-м узле соответствует момент

Если бы все звенья имели тот же угол наклона, что и первое звено, мы получи­

положение между методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей. Выражение для прогиба аппроксимируем снова с помощью ряда (1.7.1),

причем каждая из функций должна соответствовать всем граничным условиям задачи. Параметры fi, определяются таким образом, чтобы после подстанов­ ки выражения (1.7.1) основное дифференциальное уравнение задачи удовлетво­ рялось для п значений независимой переменной. Точки, в которых выполняется уравнение, называются «точками коллокации». Они могут быть выбраны, во­ обще говоря, произвольным образом, но обычно их располагают на равных расстояниях друг от друга. Если имеется характерный участок резкого измене­ ния функции, то желательно здесь располагать точки коллокации более часто; при использовании метода конечных разностей интервала в такой области так­ же «размельчают».

Энергетические методы, метод конечных разностей и метод коллокации можно объединить в том отношении, что при их применении задача сводится к

рассмотрению системы алгебраических уравнений. Подобные методы в мате­ матической физике называют прямыми.

При использовании энергетических методов нам приходилось аппроксими­ ровать упругую линию, причем погрешность результата зависела от того, на­ сколько удачно выбрано выражение для прогиба. Правда, в предыдущих пара­ графах мы могли сколь угодно близко подойти к точной величине критической силы, но для этого нужно было всякий раз вводить новый параметр прогиба. Характер дополнительной составляющей мог быть выбран нами по тем или иным соображениям. Перейдем теперь к рассмотрению метода последователь­ ных приближений, при котором новое приближение целиком основывается на предыдущем и вытекает из него, не будучи связано с интуицией автора расчета.

Сущность этого метода состоит в том, что в качестве исходной упругой линии берется любая кривая, удовлетворяющая условиям на концах. Абсолют­ ные значения ординат этой кривой могут быть выбраны произвольно, так как при критической нагрузке (если исходить из приближенного дифференциаль­ ного уравнения упругой линии) они определяются с точностью до постоянного множителя. Далее решается задача об изгибе стержня под действием данной системы внешних продольных сил. Если бы кривая была нами сразу подобрана правильно, то, определив изгибающие моменты и проинтегрировав дифферен­ циальное уравнение упругой линии, мы должны были бы получить ту же кри­ вую. Если же первоначальная кривая была подобрана лишь приближенно, то вторая кривая будет отличаться от первой. Иными словами, новая равновесная изогнутая форма окажется не той, что мы выбрали раньше. Чтобы прийти к но­ вой упругой линии, надо изменить ординаты прежней. Но так как при наличии только осевой сжимающей силы изгибающие моменты пропорциональны ор­ динатам, то это тождественно изменению в раз величины внешней нагрузки. То обстоятельство, что ординаты новой кривой отличаются в раз от ординат первоначальной кривой, указывает на то, что внешние силы надо увеличить или уменьшить в раз, чтобы получить критическую нагрузку. Но, как правило, в различных сечениях стержня мы будем получать разные отношения ординат. Можно условиться определять критическую нагрузку через отношение макси­ мальных ординат или отношение площадей, охватываемые упругой линией. Ниже будет указан также метод, когда истинное значение критической нагруз­ ки окажется взятым «в вилку», т. е. представится возможным одновременно подходить к нему сверху и снизу. От первого приближения мы можем далее перейти ко второму и т. д. При этом мы будем получать ряд значений опре­ деляющих в пределе истинную величину критической нагрузки.

Методу последовательных приближений может быть придана аналитиче екая и графическая форма.