- •Лекция № 1 Место и роль дисциплины в общеобразовательной структуре
- •Алгебра случайных событий
- •Понятие вероятности случайного события.
- •Лекция №2 Статистическая устойчивость вероятности события.
- •Аксиоматическое определение вероятности (по Колмагорову).
- •Элементарные теоремы теории вероятности.
- •Теорема вероятности полной группы событий.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Лекция № 3. Теорема о полной вероятности
- •(Схема независимых последовательных испытаний длиной n)
- •Биноминальное распределение (1) случайной величины
- •Геометрическая вероятность случайного события
- •Лекция №4 Полиномиальное распределение (схемы)
- •Ассимтотические приближения биноминального распределения (для схемы Бернулли)
- •3Способа аппроксимации данной формулы:
- •Лекция №5 Случайная величина
- •Функция распределения для непрерывной случайной величины
- •Лекция №6 Числовые характеристики случайной величины
- •Моментные характеристики
- •Центрированные моменты Центральные моменты
- •Дисперсия для непрерывной случайной величины
- •Лекция № 7
- •Примеры распределения случайной величины.
- •Лекция № 8
- •Лекция № 9
- •Лекция № 10
- •Лекция № 11 Теорема числовых характеристик
- •Лекция № 12 Центральные предельные теоремы
- •Случайные процессы
- •Свойства случайного процесса
- •Лекция № 13
- •Лекция № 14 Разложение апериодических случайных процессов.
- •Спектральная плотность случайного процесса.
- •Лекция № 15
- •Лекция № 16
- •Основные задачи математической статистики
- •Лекция №17 Задача оценивания параметров распределения Формальная постановка задачи
- •Лекция №18 Представление об интервальных оценках
- •Лекция 19 Логическая схема проведения испытаний статистической гипотезы.
- •Лекция № 20 Корреляционный и регрессионный анализ
- •Лекция № 21 Анализ временных рядов
Лекция №4 Полиномиальное распределение (схемы)
Цветов шаров в урне больше 2-х, 1,2,……….N –цвета.
Из урны, содержащей такие шары, формируется выборка длиной n. Длина выборки n –это число выборок m:
m1- шаров с номером 1-ого цвета,
m2-шаров с номером 2-ого цвета,
- шаров с N-цветом.
Фиксируем номер шара и число выборки и используем принцип пересчета.
- вероятность появления объекта с номером N в одном элементарном опыте.
Распределение полинома - проводится серия независимых опытов, испытаний. В отдельном опыте может произойти один из N исхода.
Ассимтотические приближения биноминального распределения (для схемы Бернулли)
Проводятся испытания длиной N. Многие решения, которые базируются на этой схеме, используют вероятность такого события. Требуется определить вероятность того, что из n независимых испытаний успех произойдет m раз.
(*) - формула биноминального распределения
Если серия испытаний продолжительна. Преобразовать при большихN, чтобы улучшить ее наглядность.
3Способа аппроксимации данной формулы:
1. замена формулы (*) законом Пуассона. Если считать, что n, ,mp==const
Если на графике отложить целочисленные значения m, будет огибающая.
2. Локальная теорема Муавра-Лапласса, она предлагает вариант заме6ны (*) с помощью:
q=1-p,
n – число испытаний
- локальная теорема Муавра-Лапласса
р - малая, но конечная величина
3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Р{a
Важное место занимает оценка точности этих исследований. Формируется выборка множества объектов респондентов, называемая выборкой. Попадание респондента в выборку есть случайное событие.
P(A)
Требуется определить V выборки, n-частота событий, рассчитанная по которой вероятность отличается от заданной вероятности Р не больше, чем на .
(***)
- малая величина
Из уравнения (***) найдем значение аргумента функции Ф.
Лекция №5 Случайная величина
Случайная величина – это базовая вероятностная модель, которая широко используется при описании вероятностных явлений, в различных областях техники и науки, в том числе при проектировании информационных систем.
Случайной величиной называют функцию (известную функцию), которая ставит в однозначное соответствие случайному событию число:
X= φ (A); (1)
где X – случайная величина;
φ (А) – известная функция (правило);
А - случайное событие.
Если подставим случайное событие, то получим число. Смысл введения модели случайной величины заключается в том, чтобы от случайного события перейти к числовому образу этого события или перейти к числу.
Общая схема этого отображения
С событием А связан некий эксперимент, представленный множеством элементарных исходов:
А Е: Ώ = (ω1, ω2,…,ωn);
Чтобы определить событие А, нужно сформировать множество Ώ, и на нем определить те элементарные исходы, которые связаны с событием А:
Ai = (ωi1, ωi2,…, ωik) (*);
C числом связана числовая ось
x
x1 x
Берем произвольную точку x и относительно этой точки располагаем те элементарные события, которые связаны с событием Аi. Пользуясь определением случайной величины (1) рассмотрим расположение чисел x1,которое определяется по правилу (1) как функция ωi1, получаем точку x1:
x1 = φ (ωi1); x2 = φ (ωi2); …; xn = φ (ωin).
Первое условие
Используя такое представление для произвольного события А для некоторого числа x, можно ввести событие:
ξ= φ (ωi); (1а)
где ξ - точка на числовой оси;
φ (ωi) –элементарное случайное событие.
Событие А заключается в том, что ξ будет меньше, чем точка, выбранная на числовой оси:
А : ξ < x;
Тогда это событие произойдет. После того как выберем точку, необходимо выяснить попадет ли выбранное событие А, при этом нас интересует случайное событие левее точки x. Значение x будет увеличиваться.
С точкой x связаны, таким образом, некоторые вероятностные свойства рассматриваемого события, чтобы описать зависимость вероятностных свойств этого события ( с учетом определения (1)) мы можем говорить о соответствующей случайной величине x; следует ввести функцию Fξ(x), которая отражает закономерность случайной величины ξ от положения точки x на числовой оси. Эту функцию будем обозначать
Fξ(x) = P {ξ ≤x}; (2)
Вероятность такого события, что значение случайной величины будет больше нами выбранного значения x. По правилу (1а) конкретное значение ξ в формуле (1а), тогда подставим ωi – элементарный исход, получим конкретное значение случайной величины – реализация случайной величины.
Второе условие
Чтобы не вводить дополнительного обозначения для случайной величины, будем в общем случае обозначать ее заглавной X.
ξ = X, тогда функция F(x) по выражению (2):
F(x) = P {X ≤x}; (3)
Третье условие
Функцию F(x) называют функцией распределения случайной величины, хотя на самом деле распределяется вероятность этой случайной величины.
Виды представления случайных величин
1.Учитывая, что правило формирования случайной величины (1), правила формирования случайного события Ai, которому соответствует случайная величина X, соответствует событию Ai.
Если возьмем каждое благоприятствующее событие φ (ωi2) подставим в (1), получим одно из значений случайной величины – реализацию случайной величины.
X = (x1,x2,…,xk)
Случайная величина есть множество реализаций. Поскольку элементарные исходы независимые события, то и реализации есть независимые случайные числа.
2.Описание вероятностных свойств случайной величины. В общем случае задается выражением (2) или функцией F(x) распределения вероятностей. По определению функция F(x) – равная описывающая вероятность события, как X≤x, есть сумма тех реализаций, не превышающих x:
F(x) = P {X≤x}=∑ P(xi)
xi≤x
Чтобы уточнить особенность функции следует разделить все множество случайных величин на 2 группы:
1) Дискретные случайные величины; дискретной случайной величиной называют случайную величину, множество реализаций которой конечна, либо счетно (все реализации можно пронумеровать числами натурального ряда ).
2) Если число реализаций бесконечно, то такие случайные величины называют непрерывными, которые определены на отрезке [a,b], и на нем может принимать любое значение.
Рассмотрим общие свойства функции распределения случайной величины X. Если случайная величина может принимать любые значения внутри отрезка [a,b], то функция F(x) должна обладать такими свойствами:
F(a) = 0, т.к. нет таких реализаций (a<x);
F(b) = 1;
P {α≤X≤β} = F(β) - F(α).
Для дискретной случайной величины ее вероятностные свойства удобно задавать в виде таблицы:
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
P(xi) |
P(x1) |
P(x2) |
… |
P(xn) |
x – реализации.
Закон распределения дискретной случайной величины
P(x)
P(x4)
P(x2)
P(x1) P(x5)
P(x3)
x
x1 x2 x3 x4 x5
Этот график еще называют полигон вероятности.
n
∑ P(xi) = 1
i=1
Построим функцию распределения дискретной случайной величины:
F(x) = P {X ≤x};
F(x)
1
P(x1) x
a x1 x2 x3 xn b
Если есть ≥, то в точке а может появиться случайная величина, если <, то в точке а вероятность равна 0.