- •Лекция № 1 Место и роль дисциплины в общеобразовательной структуре
- •Алгебра случайных событий
- •Понятие вероятности случайного события.
- •Лекция №2 Статистическая устойчивость вероятности события.
- •Аксиоматическое определение вероятности (по Колмагорову).
- •Элементарные теоремы теории вероятности.
- •Теорема вероятности полной группы событий.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Лекция № 3. Теорема о полной вероятности
- •(Схема независимых последовательных испытаний длиной n)
- •Биноминальное распределение (1) случайной величины
- •Геометрическая вероятность случайного события
- •Лекция №4 Полиномиальное распределение (схемы)
- •Ассимтотические приближения биноминального распределения (для схемы Бернулли)
- •3Способа аппроксимации данной формулы:
- •Лекция №5 Случайная величина
- •Функция распределения для непрерывной случайной величины
- •Лекция №6 Числовые характеристики случайной величины
- •Моментные характеристики
- •Центрированные моменты Центральные моменты
- •Дисперсия для непрерывной случайной величины
- •Лекция № 7
- •Примеры распределения случайной величины.
- •Лекция № 8
- •Лекция № 9
- •Лекция № 10
- •Лекция № 11 Теорема числовых характеристик
- •Лекция № 12 Центральные предельные теоремы
- •Случайные процессы
- •Свойства случайного процесса
- •Лекция № 13
- •Лекция № 14 Разложение апериодических случайных процессов.
- •Спектральная плотность случайного процесса.
- •Лекция № 15
- •Лекция № 16
- •Основные задачи математической статистики
- •Лекция №17 Задача оценивания параметров распределения Формальная постановка задачи
- •Лекция №18 Представление об интервальных оценках
- •Лекция 19 Логическая схема проведения испытаний статистической гипотезы.
- •Лекция № 20 Корреляционный и регрессионный анализ
- •Лекция № 21 Анализ временных рядов
Лекция № 13
Если рассматриваем фиксированную реализацию, то получим число. При фиксированном времени получим случайную величину. Базируясь на модели случайной величины перейдем к системе случайных величин.
Второй способ описания случайного процесса.
Реализуем следующую модель: имеется некоторое множество функций
Рассматриваемое явление во времени может развиваться по одной из перечисленных функций, по какой именно в данной реализации, в данном опыте исследователю неизвестно, и нет оснований закономерно выбрать эту реализацию. Выбор по которой из реализаций будет развиваться наблюдение определяется результатом случайного эксперимента.
Какой случайный исход произойдет в реализации . Пользуясь однозначным соответствием между номером элементарного исхода и номером функции считают, что в этом случае процесс будет развиваться по функции
.
Неизвестно по какой из этих функций будет из меняться явление. Всякая совокупность функций образует случайный процесс. В результате эксперимента встретился результат - это означает, что мы провели случайный эксперимент и на этом случайность исчерпана, далее все будет развиваться по формуле. Номер элементарного исхода соответствует номеру функции из множества х.
Функция называетсявыборочной. В таком представлении случайный процесс определяется как множество выборочных функций. Явление развивается по выборочным функциям. После того, как такой подход определен, возникает вопрос о выборе выборочных функций. Ответ на этот вопрос связан с профессиональной деятельностью инженера. В электротехнике в состав таких символических образных функций вводят гармонические функции. (cosx, sinx).
Зная выход и вход можно определить свойства характеристик. Структуру можно построить из более простых, элементарных блоков. Нужно выбрать в качестве тестовой функции некоторую функцию. Будем использовать в качестве тестовой функции гармоническую функцию.
Разложение случайного процесса по координатным функциям.
Из предыдущего пункта становится ясной необходимость представления случайного процесса Ф(t) в виде специальных функций “приспособленных” к анализирующей деятельности специалиста в данной предметной области.
Так, например, в области электротехники, теории управления связи широкое распространение в качестве тестовых функций широко используются гармонические функции. В других областях используются другие наборы функций - полиномы Чебышева и т.д. В общем случае говорят о координатных функциях – разложение по координатным функциям.
Запишем формальное определение этой задачи: будем рассматривать такие случайные процессы, которые можно представить в виде суммы
, где - случайная величина, дисперсия, которая известна,
- известная координатная функция.
Для того чтобы проводить анализ перейдем к центрированному случайному процессу, т.е. вычтем из этого процесса математическое ожидание, тогда останется только сумма.
, такая неслучайная функция является корреляционной функцией – это математической ожидание от произведения двух сечений.
Можно использовать теорему об операторах математического ожидания и суммирование запишем = что бы выделить особенность правой части выделим слагаемые =. Необходимо исследовать особенности суммы. Выделим те слагаемые, в которыхi=j и запишем в виде первого слагаемого.
- математическое ожидание от произведения двух случайных величин , можно считать, что это центрированные случайные величины, так как их математическое ожидание равно 0.
- корреляционный момент. Если все случайные величины попарно некоррелированны, то корреляционный момент для каждой пары равен нулю, то остается только первая часть
Правило построения корреляционной функции.
Нужно знать дисперсию и функцию. Поскольку представление не приятно в практическом смысле, то вводят упрощение. Рассмотрим разложение корреляционной функции по гармоническим функциям для стационарных случайных процессов. Функции- это гармонические функции. Стационарный процесс в широком смысле означает, что математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени,
Чтобы получить описание такого процесса, нужно обратить внимание на особенности функции корреляции. Разложение зависит от вида функции корреляции, аргументом которого выступает .
Различают два типовых вида функции корреляции:
1)когда функции корреляции симметрична относительно оси координат и затухает на интервале времени Т.
k()
-Т Т
Если такой случайный процесс обладает такой функцией корреляции, то его называют квазипериодическим.
Выделим особенности процесса. Для того, что бы это сделать, разложим функцию корреляции в ряд Фурье. Это означает, чтоможем представить
= - четная функция.=будет содержать только четные функцииcosx. Коэффициент будет определяться как:
(**). Нужно выразить
В общем случае:
Случайные величины не коррелированны, поэтому вторую часть записывать ненужно.
Для случая в левой части - дисперсия случайного процесса.
Дисперсия случайного процесса, координатными функциями которого являются гармонические функции, а координатные коэффициенты не коррелированны, равна сумме дисперсий координатных коэффициентов. Смысл выражения (**) устанавливает i-я координатная функция cosw. Представим этот результат в виде графика:
D
Dwwww
W
Рис.1.
T – определяем по графику функции корреляции. Рассчитываем D. С ростом w величина D уменьшается (рис.1) – спектр стационарного квазигармонического случайного процесса.
Свойства.
1. Спектр дискретен. Гармоническая функция с фиксированными частотами.
2. Выделяем ту частоту w, дисперсией координатного коэффициента, которого можно пренебречь. Эту частоту определяем как ширину спектра случайного процесса:
Практический смысл ширины спектра состоит в том, что эта величина определяет набор квазигармонических, несущих основную мощность сигнала., моделью которой является случайный процесс. Очень часто случайные процессы являются моделями. Случайный процесс – это абстрактный объект.