- •Раздел 5
- •I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду)
- •II. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •III. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Контрольная работа
- •I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Задание №1 для контрольной работы* . Найти общее решение дифференциального уравнения
- •II. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
- •1) Дифференциальное уравнение вида (не содержащее искомой функции у).
- •Задание №2 для контрольной работы. Даны дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
- •3) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:
- •Задание №3 для контрольной работы*.
- •III. Система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задание №4 для контрольной работы .
- •IV. Составить дифференциальное уравнение и найти решение.
- •Задание №5 для контрольной работы.
- •Раздел 6 кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •2. Тройной интеграл
- •Задания для контрольной работы.
- •Раздел 7
- •Вопросы для самопроверки.
- •Вопросы для самопроверки
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа . Ряды. Уравнения математической физики.
- •4. Разложить в ряд Фурье функцию на указанном интервале.*
- •5. Методом Фурье решить уравнение колебаний конечной струны длины 1 с граничными условиямии начальными условиями
- •Раздел 8 криволинейные и поверхностные интегралы элементы теории поля
- •Задания для контрольной работы
- •Для заметок
III. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Литература: гл. ХIII §29 упр. 180, §30 упр. 185, 186, 188, гл.ХХI §17 упр. 14.
Вопросы для самопроверки.
Дайте определение: а) нормальной системы ДУ 1 порядка; б) однородной системы в нормальной форме. Сформулируйте задачу Коши для этой системы.
Изложите метод исключения решения нормальной системы ДУ 1 порядка.
Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы 2-х линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.
Запишите в матричной форме нормальную систему и решение нормальной системы 2-х линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами.
Контрольная работа
I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Рассмотрим 2 примера решения дифференциального уравнения 1-го порядка:
а) однородного; б) линейного.
а) Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка .
Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Решение. Данное уравнение – однородное, т.к. выражения, стоящие перед dx и dy являются однородными функциями одного и того же измерения, а именно 2-го измерения. Действительно,
;
.
Для интегрирования однородного уравнения удобнее разрешить его относительно производной :
.
Полагаем ,. Подставим эти выражения в уравнение, тогда получим
или- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:
.
Заменяем переменную U через ее значение :
или- общий интеграл данного дифференциального уравнения.
б) Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
(*)
может быть решено, например, методом Бернулли, согласно которому решение уравнения (*) ищется в виде произведения 2-х функций, т.е.
.
Схема решения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение. Это уравнение – линейное, 1-го порядка, т.к. оно приводится к виду
(у и у/ содержатся в 1-х степенях, не перемножаясь друг с другом). Ищем решение этого уравнения. Положим , тогда
.
Подставим у и у/ в преобразованное уравнение и сгруппируем его члены:
,(3)
Выберем функцию V так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в 0: .
Получили уравнение с разделяющимися переменными
,,
, ,.
Для простоты положим С=1. Тогда V=x. Подставим V=x (V/=1) в уравнение (3) и последовательно находим
,,,
,.
Тогда решение дифференциального уравнения будет
.
Замечание 2. Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять искомую функцию и независимое переменное. Например, уравнение запишем в виде
,.
Следовательно, это уравнение линейное относительно функции .
Задание №1 для контрольной работы* . Найти общее решение дифференциального уравнения
1-го порядка.
1а.
|
1б. |
2а. |
2б. |
3а. |
3б. |
4а. |
4б. |
5а. |
5б. |
6а. |
6б. |
7а. |
7б. |
8а. |
8б. |
9а. |
9б. |
10а. |
10б. |
11а. |
11б. |
12а. |
12б. |
13а. |
13б. |
14а. |
14б. |
15а. |
15б. |
16а. |
16б. |
17а. |
17б. |
18а. |
18б. |
19а. |
19б. |
20а. |
20б. |
21а. |
21б. |
22а. |
22б. |
23а. |
23б. |
24а. |
24б. |