ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Оптимизация технологического процесса.

Методы оптимизации функции 1-ой переменной

Цель работы

Ознакомление с методами одномерной оптимизации (поиска максимума и

минимума).

Оптимизация функций одной переменной

Постановка задачи

На практике часто возникает задача нахождения экстремума некоторой целевой функции F(x). Такая функция одного параметра x описывает некоторую кривую на плоскости.

На определённом интервале функция может иметь одно(рис. 1а) или несколько экстремальных значений (рис. 1б).

Функция, изображённая на рис. 1а называется унимодальной.

Рис. 1. Функции одного параметра x описывающие некоторую кривую на плоскости.

Функция на рис. 1б имеет несколько экстремумов(максимумов или минимумов). Из них главный(оптимальное решение для рассматриваемого интервала) называется глобальным.

Унимодальная функция не обязательно должна быть гладкой(рис. 2 а), она может быть ломаной (рис. 2б), разрывной (рис. 2в).

52

а) гладкая б) ломаная в) разрывная

Рис. 2. Унимодальные функции

Рассматриваемые методы справедливы для функций на рисунке2а, а для

1)если F(x1) > F(x2),то xопт < x2, т.е. оптимум не может находиться правее, интервал [x2 , x] из дальнейшего рассмотрения исключается

2)если F(x1) < F(x2), то хопт > x1

3)если F(x1) = F(x2), то x1 < хопт < x2

Рис. 3. Определение значений целевой функции в двух точках интервала

задания функций

53

изменения x (если это особо не оговорено) накладываются ограничения в виде неравенств a < x < b, где a и b – границы интервала поиска. В пределах отрезка

[a , b] функцию считаем унимодальной, т.е. содержащей один максимум.

С помощью численных методов мы непосредственно находим максимум

(минимум) функции F(x) в некотором интервале, в котором, как предполагается,

лежит максимум (минимум). Иногда это единственно возможная стратегия поиска.

На пример, стоимость проведения химического процесса может зависеть от

температуры процесса. Инженер знает, что стоимость является функцией отT,

хотя может и не знать явного вида функции. Однако он может поставить

1.Задаются границы a и b, в пределах которых имеется максимум функции.

2.Интервал [a,b] разбивается на определенное количество шагов.

54

3.Функция табулируется в пределах заданного интервала, каждое вычисленное значение функции сравнивается с максимальным(заданным до начала табулирования).

4.Находится максимальное значение функции на заданном интервале с определенным шагом и выводится на печать.

БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА ИМЕЕТ ВИД:

Начало

1a, b, dx

2max = -1010

Конец

да

7

max = F

8

xmax = x

9

x = x + dx

Рис. 4. Блок – схема алгоритма нахождения максимума функции Естественно, что с уменьшением шага изменения аргумента точность

вычисления максимума увеличивается.

Можно воспользоваться и следующим алгоритмом:

1.Найти значение максимума по алгоритму, представленному выше.

2.Для дальнейшего рассмотрения выбрать отрезок[xmax-dx, xmax+dx] и

выполнить вычисление максимума с шагом, например, dx/10.

55

3. Сравнить два найденных значения.

max1 – значение максимума с шагом dx и max2 – значение максимума с шагом dx/10. Если |max2-max1| <=E (где Е – заданная степень точности вычисления),

то закончить решение задачи max2и вывести на печать, если нет, то вычисление продолжить дальше, повторяя п.2.

Такую задачу удобнее решать, используя процедуру нахождения максимального значения функции.

Блок – схема решения задачи имеет вид:

4

dx = dx/10

Конец Рис. 5. Блок – схема алгоритма нахождения максимума функции

56